MathProf - Integrationsmethoden (Integralrechnung)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Integrationsmethoden (Integralrechnung)

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Integrationsverfahren] - Integrationsmethoden ermöglicht die Gegenüberstellung und Untersuchung verschiedener Integrationsmethoden.
 

Integrationsmethoden I

MathProf - Trapez -Methode

Die Wahl des Registerblatts Integrationsmethoden I ermöglicht den Vergleich folgender Methoden zur Ermittlung von Flächen unter Funktionen in expliziter Form:
 

  • Simpson-Methode
  • Rechteck-Methode
  • Trapez-Methode

Bei Anwendung der entsprechenden Verfahren werden ausgegeben:

  • Simpson-Methode: Fläche zwischen Funktion und Abszisse, die durch die Verwendung des Simpson-Verfahrens bei vorgegebener Stützstellenanzahl ermittelt wird.
  • Rechteck-Methode: Fläche zwischen Funktion und Abszisse, die durch die Verwendung des Rechteck-Verfahrens bei vorgegebener Stützstellenanzahl ermittelt wird.
  • Trapez-Methode: Fläche zwischen Funktion und Abszisse, die durch die Verwendung des Trapez-Verfahrens bei vorgegebener Stützstellenanzahl ermittelt wird.
     
  • Integral: absolute Fläche (Vergleichswert), die mittels einem genauen Verfahren und einer relativ hohen Stützstellenanzahl errechnet wird.

Die prozentualen Angaben des relativen Fehlers bei einzelnen Verfahren beziehen sich hierbei auf den mittels eines genauen Verfahrens errechneten Wert (Integral).

MathProf - Simpson - Integral

Möchten Sie diese Verfahren einander gegenüberstellen, so gehen Sie wie folgt vor:

  1. Aktivieren Sie das Registerblatt Integrationsmethoden I.
     
  2. Definieren Sie die mathematische Funktion, mit welcher Sie Untersuchungen durchführen möchten, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =.
     
  3. Legen Sie die Intervallgrenzen fest, über welche die Integration durchgeführt werden soll (Bereich von x1 = und bis x2 =).
     
  4. Bestimmen Sie die Anzahl zu verwendender Stützstellen durch eine Bedienung des Rollbalkens Anz. Stützstellen.
     
  5. Wurde der Funktionsterm, gemäß den geltenden Syntaxregeln formuliert, so erfolgt die numerische Auswertung nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch die Aktivierung des Kontrollschalters Rechteck-Methode, Trapez-Methode oder Simpson-Methode aus, welches Verfahren benutzt werden soll.
     
  8. Das Programm verwendet nach Aufruf der grafischen Darstellung für die zu verwendende Stützstellenanzahl den im Eingabefeld Anzahl Stützstellen festgelegten Wert. Durch eine Bedienung des Rollbalkens Anzahl Stützstellen kann dieser hierauf verändert werden.
     
  9. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular


Bei Ausgabe einer grafischen Darstellung bei Wahl des Registerblatts Integrationsmethoden I wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

MathProf - Rechteck - Methode

Durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalters kann hierauf das anzuwendende Verfahren selektiert werden.

Integrationsmethoden II

MathProf - Rechteckregel - Trapezregel


Unter dem Registerblatt Integrationsmethoden II werden folgende Integrationsmethoden zur Durchführung einer numerischen Analyse gegenübergestellt:

  • Rechteckregel (Obersummen)
  • Rechteckregel (Untersummen)
  • Trapezregel
  • Simpson-Verfahren
  • 3/8-Regel
  • 4. Newton-Cotes-Formel
  • 5. Newton-Cotes-Formel
  • 6. Newton-Cotes-Formel
  • 7. Newton-Cotes-Formel
  • Tschebychow-Verfahren
  • Gauß-Quadratur

Es stehen zwei nebeneinander angeordnete, aufklappbare Boxen zur Verfügung, um Integrationsverfahren auszuwählen. Bei Auswahl der Gauß-Quadratur ist durch die Bedienung des dafür vorgesehenen Steuerelements die Anzahl zu verwendender Stützstellen (zw. 2 und 6) festzulegen. Es wird ermöglicht, Vergleiche zwischen den Verfahren bzgl. derer Methodik anzustellen. Die Berechnungen werden mit vorgegebenen Stützstellenanzahlen durchgeführt.

 

MathProf - Trapezregel - Integral


Um zwei dieser o.a. Verfahren zu vergleichen, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Aktivieren Sie das Registerblatt Integrationsmethoden II.
     
  2. Definieren Sie die mathematische Funktion, mit welcher Sie Untersuchungen durchführen möchten, gemäß den geltenden Syntaxregeln im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =.
     
  3. Wählen Sie zwei zu vergleichende Verfahren aus den aufklappbaren Auswahlboxen.
     
  4. Legen Sie den Intervallbereich, über welchen das entsprechende Verfahren angewandt werden soll, durch die Eingabe von Werten in die entsprechenden Felder fest (Bereich von x1 = und bis x2 =).
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die errechneten Werte werden mitsamt der Angabe der hierfür verwendeten Anzahl von Stützstellen in den Tabellen ausgegeben.
     
  6. Die Fläche die zwischen der Funktion und der Abszisse, innerhalb des vorgegebenen Intervallbereichs eingeschlossen wird, können Sie betrachten indem Sie die Schaltfläche Darstellen bedienen.

 Bedienformular


MathProf - Integration - Methode

Nach der Wahl des Registerblatts Integrationsmethoden II wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular zur Verfügung gestellt, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist. Hierauf können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Darstellung der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Anzeige der Integrationsbereichsmarkierung ein-/ausschalten

Hinweise

 

In diesem Programmteil können ausschließlich Funktionen untersucht werden, die über den gewünschten Integrationsbereich stetig sind und innerhalb dieses Intervalls keinen negativen Funktionswert besitzen. Trifft dies nicht zu, so erhalten Sie eine Fehlermeldung.

Prüfen können Sie dies, indem Sie vor der Durchführung von Berechnungen das Kontrollkästchen Funktionsanalyse aktivieren und daraufhin die Schaltfläche Darstellen bedienen.

Die entsprechende Funktion wird dargestellt. Der gewählte Integrationsbereich wird markiert. Hieraus kann entnommen werden, ob die Funktion im gewählten Bereich negative Funktionswerte besitzt. Wählen Sie hierauf den Integrationsbereich derart, dass eine Berechnung nur über einen Bereich durchgeführt wird, innerhalb dessen die Funktion keine negativen Werte besitzt und veranlassen Sie die Durchführung der Berechnungen. Vor der erneuten Untersuchung eines Integrationsverfahrens ist dieses Kontrollkästchen wieder zu deaktivieren.

Eine Verwendung von Funktionsparametern (Zeichen P) ist nicht möglich.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Ober - und Untersummen

Ober - und Untersummen - Interaktiv

Integration

Integration - Interaktiv

 

Beispiele


Beispiel 1 - Integrationsmethoden I:

Die drei zur Verfügung stehenden Integrationsverfahren sollen am Beispiel der Funktion f(x) = sin(x) einander gegenübergestellt werden. Hierzu ist ein Integrationsbereich 0 x 3 festzulegen und die Berechnungen sind mit den Stützstellenanzahlen 4, 8, 10, 20 und 50 aufeinanderfolgend durchzuführen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie das Registerblatt Integrationsmethoden I, definieren Sie im Eingabefeld f(x) = den Term SIN(X) und geben Sie in die Felder Bereich (Intervallgrenzen) von x1 = und bis x2 = die Werte 0 und 3 ein. Positionieren Sie hierauf aufeinanderfolgend den Rollbalken Anz. Stützstellen auf die entsprechenden Werte für Stützstellenanzahlen und klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche Berechnen.

 

Nach Durchführung der fünf Untersuchungen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

 Anzahl Stützstellen: 4 8 10 20 50
 Simpson-Methode: 1,9937 1,9902 1,9900 1,9900 1,9900
 Rechteck-Methode: 1,8429 1,9402 1,9539 1,9757 1,9852
 Trapez-Methode: 1,8958 1,9666 1,9750 1,9863 1,9894


Da die exakte Fläche unter der Kurve in diesem Bereich 1,99 FE beträgt, kann entnommen werden, dass die Simpson-Methode die schnellste Konvergenz aufweist.

Beispiel 2 - Integrationsmethoden II:

Es gilt, die Integrationsverfahren Trapez-Regel und Simpson-Regel unter Verwendung der Funktion f(x) = cos(x)-x², für einen Untersuchungsbereich 0 x 2 einander gegenüberzustellen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Integrationsmethoden II.

Nach der Definition des Terms COS(X)-X^2 im Eingabefeld f(x) = und der Festlegung des Integrationsbereichs durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 2 in die entsprechenden Felder Bereich (Intervallgrenzen) von x1 = und bis x2 =, erhalten Sie nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Trapez-Verfahren

 Stützstellenanzahl Wert
 2 -2,167771
 5 -1,822859
 10 -1,773736
 20 -1,761460
 50 -1,758024
 100 -1,757533
 200 -1,757410
 500 -1,757376
 1000 -1,757371
 2000 -1,757370


Simpson-Verfahren

Stützstellenanzahl Wert
 4 -1,757044
 10 -1,757361
 20 -1,757369
 50 -1,757369
 100 -1,757369
 200 -1,757369
 500 -1,757369
 1000 -1,757369
 2000 -1,757369


Aufgrund der Tatsache, dass die exakte Fläche unter der Kurve in diesem Bereich ~1,757369 FE beträgt, kann auch hierbei geschlussfolgert werden, dass die Simpson-Methode die schnellste Konvergenz aufweist.
 

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