MathProf - Platonische Körper - Reguläre - Regelmäßige - Polyeder

Fachthema: Platonische Körper
MathProf - Geometrie - Ein Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte aus der Naturwissenschaft mittels Simulationen, 2D- und 3D-Computeranimationen für den Unterricht, die Weiterbildung, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Analysen räumlicher Gebilde, welche als Platonische Körper bezeichnet werden.
In diesem Programmteil wird unter anderem das Berechnen der Werte wichtiger Eigenschaften sowie die Darstellung von Körpern dieser Art ermöglicht. Das Programm erlaubt die Ausgabe der Anzahl von Kanten, Ecken und Flächen sowie der Winkel, welche zwischen zwei Flächen dieser regulären Polyeder vorhanden sind. Zudem wird das Volumen und der Flächeninhalt derer ausgegeben.
Reguläre Polyeder sind die geometrischen Körper Tetraeder (Vierflächner), Oktaeder (Achtflächner), Hexaeder (Sechsflächner), Ikosaeder(Zwanzigflächner) und Dodekaeder (Zwölfflächner) bzw. Pentagondodekaeder. Diese Gebilde lassen sich in diesem Unterprogamm grafisch darstellen und untersuchen. Zudem können die Inkugel und die Umkugel dieser 3D-Körper berechnet und dargestellt werden.
Nach dem Berechnen der Werte aller relevanter Größen des entsprechenden Körpers, erfolgt dessen Darstellung. Ein frei bewegbares und drehbares, 3D-Koordinatensystem lässt die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema im dreidimensionalen Raum zu. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Animationen durch den Rechner mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Platonische Körper - Platon - Körper - Reguläre Polyeder - Duale Körper - R3 - Regelmäßige Polyeder - Regelmäßige Körper - Konvexe Polyeder - Tetraeder - Oktaeder - Hexaeder - Ikosaeder - Dodekaeder - Kubus - Volumen - Dreiseitige Pyramide - Vierflächner - Sechsflächner - Achtflächner - Zwölfflächner - Zwanzigflächner - Pentagondodekaeder - Flächeninhalt eines Tetraeders - Flächeninhalt eines Oktaeders - Flächeninhalt eines Hexaeders - Ecken - Kanten - Flächen - Flächeninhalt eines Ikosaeders - Flächeninhalt eines Dodekaeders - Platonische Polyeder - Reguläre Polyeder - Volumen eines Tetraeders - Volumen eines Oktaeders - Volumen eines Hexaeders - Volumen eines Ikosaeders - Winkel von Polyedern - Winkel zwischen zwei Flächen - Volumen eines Dodekaeders - Inkugel - Umkugel - Radius - Kantenlänge - Seitenflächen - Tabelle - Präsentation - Punkte - Bild - Dreidimensional - 3D - Grafik - Liste - Plotter - Grafik - Zeichnen - Plotten - Untersuchen - Untersuchung - Formel - Bilder - Beispiel - Rechner - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Berechnen - Eigenschaften - Was ist - Was sind - Bedeutung - Was bedeutet - Zahlen - Mathematik - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Definition - Oberfläche - Flächeninhalt - Raum - Räumlich - Seiten - Würfel - Höhe - Mantelfläche - Rauminhalt - Simulation - Seitenlänge - Graph - Übersicht - Innenwinkel - Koordinatensystem - Grafische Darstellung - Kanten eines Tetraeders - Kanten eines Oktaeders - Kanten eines Hexaeders - Kanten eines Ikosaeders - Kanten eines Dodekaeders - Konvexer Körper - Netz - Animation - Formeln - Gitter - Modell - Körpernetz - Polyeder zeichnen - Tetraeder im Würfel - Oktaeder im Würfel - Ikosaeder im Würfel - Dodekaeder im Würfel - Polyedersatz - Eulerscher Polyedersatz - Ecken und Kanten von Platonischen Körpern |
Platonische Körper und deren Eigenschaften
Modul Platonische Körper
Das Unterprogramm [Geometrie] - Platonische Körper ermöglicht die Berechnung, sowie die dreidimensionale räumliche Darstellung Platonischer Körper.
Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der durch eine endliche Zahl ebener Flächen (Polygone) begrenzt ist. Diese sind über Kanten und Ecken miteinander verbunden. Je zwei Flächen besitzen eine gemeinsame Kante. Die Schnittpunkte der Kanten von drei, oder mehr Polygonen bilden die Ecken des Polyeders. In ihnen berühren sich stets drei, oder mehr Polyederflächen. Gilt für sämtliche Ecken eines Polyeders, dass die Summe der Flächenwinkel der Flächen, die diese Ecken bilden, kleiner als 360° ist, so bezeichnet man ihn als konvex. Platonische Körper sind nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Platon (428-348 v. Chr.) benannt.
Polyeder werden als regulär bezeichnet, wenn deren Flächen regulär und identisch sind (reguläre Polyeder). Hieraus folgt, dass auch alle Kanten und Ecken gleich sind. Eine Fläche wiederum ist regulär, wenn alle ihre Kanten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Im dreidimensionalen Raum existieren nur exakt fünf regelmäßige Polyeder, die von untereinander kongruenten (deckungsgleichen) Vielecken begrenzt werden. Sie werden als Platonische Körper bezeichnet. Dies sind:
-
Tetraeder (Vierflächner - Dreiseitige Pyramide)
-
Oktaeder (Achtflächner)
-
Hexaeder (Sechsflächner, Würfel)
-
Ikosaeder (Zwanzigflächner)
-
Dodekaeder (Zwölfflächner)
Das Programm ermittelt bei der Ausführung von Berechnungen für den entsprechenden Körper in Abhängigkeit von der eingegebenen Kantenlänge:
- Volumen
- Oberfläche
- Inkugelradius
- Kantenkugelradius
- Umkugelradius
- Anzahl der Ecken
- Anzahl der Kanten
- Anzahl der Flächen (Vielecke)
- Kanten pro Fläche
- Kanten pro Ecke
- Winkel zwischen zwei Flächen
Eulerscher Polyedersatz
Der Eulersche Polyedersatz sagt: Bei jedem konvexen Polyeder mit e Ecken, f Flächen und k Kanten gilt: e + f - k = 2.
Beispiel Ikosaeder:
Anzahl Ecken: 12
Anzahl Flächen: 12
Anzahl Kanten: 30
Es gilt: e + f - k = 2 -> 12 + 20 - 30 = 2
Formeln
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines Platonischen Körpers benötigt werden.
Höhe: h = √6·a / 3
Oberfläche: A = √3·a²
Volumen: V = √2·a³ / 12
Radius der Umkugel: ru = √6·a / 4
Kantenkugelradius: rk = √2·a / 4
Radius der Inkugel: ri = √6·a / 12
Oktaeder:
Oberfläche: A = 2·√3·a²
Volumen: V = √2·a³ / 3
Radius der Umkugel: ru = √2·a / 2
Kantenkugelradius: rk = a / 2
Radius der Inkugel: ri = √6·a / 6
Hexaeder:
Oberfläche: A = 6·a²
Volumen: V = a³
Radius der Umkugel: ru = √3·a / 2
Kantenkugelradius: rk = √2·a / 2
Radius der Inkugel: ri = a / 2
Ikosaeder:
Oberfläche: A = 5·√3·a²
Volumen: V = 5/12·a³·( 3 + √5)
Radius der Umkugel: ru = √10 + 2·√5·a / 4
Kantenkugelradius: rk = ( 1 + √5 )·a / 4
Radius der Inkugel: ri = a / 12·√3 /( 3 + √5 )
Dodekaeder:
Oberfläche: A = 3·a²·√25 + 10·√5
Volumen: V = a³ / 4·(15+ 7 + √5)
Radius der Umkugel: ru = √1 + √5·a / 4·√3
Kantenkugelradius: rk = ( 3 + √5 )·a / 4
Radius der Inkugel: ri = √(25 + 11·√5)/10·a / 2
Mit:
a: Kantenlänge
Ecken - Kanten - Flächen
Nachfolgend aufgeführt ist eine Übersicht, die Auskunft über die Anzahl der Ecken, Kanten und Fläche einzelner platonischer Körper gibt.
Körper | f | n | e | m | k |
Tetraeder | 4 | 3 | 4 | 3 | 6 |
Hexaeder | 6 | 4 | 8 | 3 | 12 |
Oktaeder | 8 | 3 | 6 | 4 | 12 |
Dodekaeder | 12 | 5 | 20 | 3 | 30 |
Ikosaeder | 20 | 3 | 12 | 5 | 30 |
mit:
e: Anzahl der Ecken
f: Anzahl der Flächen
k: Anzahl der Kanten
m: Anzahl der Kanten je Ecke
n: Anzahl der Vieleckseiten je Kante
Begrenzungsflächen:
Tetraeder: 4 gleichseitige Dreiecke
Oktaeder: 8 gleichseitige Dreiecke
Ikosaeder: 20 gleichseitige Dreiecke
Hexaeder: 6 Quadrate
Dodekaeder: 12 regelmäßige Fünfecke
Ein Tetraeder ist ein regelmäßiges Polyeder, welches vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen besitzt und über sechs Kanten gleicher Länge verfügt. Ein reguläres Tetrader wird auch als dreiseitige Pyramide bezeichnet. Es hat vier Ecken.
Ein Hexaeder (Würfel) ist ein Körper, welche sechs kongruente Quadrate als Seitenflächen besitzt und über zwölf Kanten gleicher Länge verfügt. Es hat acht Ecken.
Ein Oktaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, welches acht kongruente Dreiecke als Seitenflächen besitzt und über zwölf Kanten gleicher Länge verfügt. Es hat sechs Ecken.
Ein Dodekaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, welches 12 kongruente Fünfecke als Seitenflächen besitzt und über dreißig Kanten gleicher Länge verfügt. Es hat zwanzig Ecken.
Ein Ikosaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, welches 30 Dreiecke als Seitenflächen besitzt und über zwölf Ecken verfügt, in welchen sich je fünf Seitenflächen berühren. Es hat zwölf Ecken.
Screenshots
Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Dodekaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Hexaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Ikosaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Oktaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Tetraeder
Bei der Kantenkugel handelt es sich um eine Kugel, die alle Kanten des gegebenen Polyeders berührt. Die Inkugel eines Polyeders ist die Kugel, die alle Flächen des gegebenen Polyeders berührt. Die Kugel auf der alle Ecken des gegebenen Polyeders liegen, wird als Umkugel bezeichnet.
Berechnung und Darstellung
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Platonischen Körpern (regulären Polyedern) durchzuführen und sich diese darstellen zu lassen:
- Selektieren Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder ...) den Körper mit dem Berechnungen durchzuführen sind.
- Geben Sie den Wert der Kantenlänge des Polyeders in das dafür vorgesehene Feld ein.
- Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse in der dafür zur Verfügung stehenden Listbox ausgegeben.
- Wählen Sie mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox Auswahl die Art, wie Sie Körper dargestellt bekommen möchten. Hierzu stehen die weiter unten aufgeführten Möglichkeiten zur Verfügung.
Bei Wahl einer Rohr- oder Liniengitterdarstellung kann durch die Aktivierung der daraufhin benutzbaren Kontrollkästchen Tetraeder, Oktaeder, Hexaeder, Ikosaeder oder Dodekaeder bestimmt werden, welche der Körper in Form von Draht- bzw. Rohrgittermodellen (gemeinsam) dargestellt werden sollen.
- Legen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Ohne Kugel, Inkugel, Kantenkugel, Außenkugel) fest, ob lediglich die Darstellung des Körpers erfolgen soll, oder ob dessen In-, Kanten- bzw. Außenkugel ebenfalls grafisch ausgegeben werden soll.
- Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
Die Ausgabe der grafischen Darstellung kann auch durch Ausführung eines Doppelklicks auf einen entsprechenden Eintrag in der linksseitig angeordneten Tabelle eingeleitet werden.
Darstellung - Optionen
Im Formularbereich Darstellung können Sie durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:
-
Punkte: Darstellung der Eckpunkte des Körpers ein-/ausschalten
-
Punkte als Kugeln: Darstellung der Eckpunkte des Körpers als (kleine) Kugeln ein-/ausschalten
-
Punkte beschriften: Beschriftung der Eckpunkte des Körpers ein-/ausschalten
Durch die Bedienung der aufklappbaren Auswahlbox in diesem Formularbereich werden zudem folgende Optionen zur Verfügung gestellt, das Layout eines dargestellten Körpers zu beeinflussen:
-
Gefüllt - Kanten als Rohre einzeln: Darstellung der Körperkanten als Rohre, inkl. der Füllung von Flächen
-
Gefüllt - Kanten als Linien einzeln: Darstellung der Körperkanten als Linien, inkl. der Füllung von Flächen
-
Gefüllt - Ohne Kantenmarkierung einzeln: Darstellung der Körperkanten, ohne Begrenzungsmarkierung und ohne die Füllung von Flächen
-
Rohrgitterdarstellung einzeln: Darstellung eines einzelnen Körpers in Form eines Rohrgittermodells, ohne die Füllung von Flächen (Körpernetz)
-
Liniengitterdarstellung einzeln: Darstellung eines einzelnen Körpers in Form eines Liniengittermodells, ohne die Füllung von Flächen (Körpernetz)
-
Rohrgitterdarstellung mehrfach: Gleichzeitige Darstellung eines, oder mehrerer Körper in Form von Rohrgittermodellen, ohne die Füllung von Flächen (Körpernetz)
-
Liniengitterdarstellung mehrfach: Gleichzeitige Darstellung eines, oder mehrerer Körper in Form von Liniengittermodellen, ohne die Füllung von Flächen (Körpernetz)
Darstellung - Bedienhinweise
In diesem Unterprogramm besteht die Möglichkeit, sich Darstellungen auf folgende Art und Weise ausgeben zu lassen:
-
Standard: Statische Darstellung von Platonischen Körpern im Raumkoordinatensystem (voreingestellt)
-
Man.: Manuelle Drehung und Verschiebung von Platonischen Körpern im Raumkoordinatensystem, durch die Bedienung von Rollbalken
-
Autosim.: Drehung und Verschiebung von Platonischen Körpern im Raumkoordinatensystem, durch die Ausführung einer Autosimulation
Nach Aktivierung der Kontrollschalter Man. bzw. Autosim. werden Rollbalken mit nachfolgend aufgeführten Bezeichnungen zur Verfügung gestellt, bei deren Bedienung Folgendes durchgeführt wird:
-
α: Drehung des Platonischen Körpers, um den eingestellten Winkel, um die x-Achse
-
β: Drehung des Platonischen Körpers, um den eingestellten Winkel, um die y-Achse
-
γ: Drehung des Platonischen Körpers, um den eingestellten Winkel, um die z-Achse
-
x: Verschiebung des Platonischen Körpers, um den eingestellten Wert, entlang der x-Achse
-
y: Verschiebung des Platonischen Körpers, um den eingestellten Wert, entlang der y-Achse
-
z: Verschiebung des Platonischen Körpers, um den eingestellten Wert, entlang der z-Achse
Bzgl. der Funktionalität von Schaltflächen gilt es Folgendes zu berücksichtigen:
Schaltfläche Start Sim.:
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Start Sim. werden die Farben der Polyederflächen vom Programm mit Hilfe eines Zufallsgenerators erzeugt, ansonsten verwendet es die durch Konfiguration voreingestellten Flächenfüllfarben.
Schaltfläche Start Rot.:
Wurde der Kontrollschalter Autosim. aktiviert, so führt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Start Rot. eine Autosimulation durch und bewegt den entsprechenden Polyeder entlang der gewählten Achse(n), bzw. dreht ihn um diese. Alle gewählten Bewegungen werden gleichzeitig und gemeinsam ausgeführt. Für die Auswahl der auszuführenden Bewegungen wird ein Bedienformular zur Verfügung gestellt. Auf diesem wählen Sie, durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen, die Art der durchzuführenden Simulationen. Mit Hilfe des Rollbalkens Rotationsgeschwindigkeit legen Sie die bei Durchführung der Simulation zu verwendende Rotationsgeschwindigkeit fest. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok, so wird die Simulation ausgeführt. Beenden können Sie diese wieder, wenn Sie die Schaltfläche Stop Rot. bedienen.
Rollbalken Bereich:
Durch die Positionierung des Rollbalkens im Formularbereich Bereich-Auswahl legen Sie den zur grafischen Ausgabe zu verwendenden Darstellungsbereich fest.
Schaltfläche F:
Flächenfüllfarben können Sie festlegen, indem Sie die Schaltfläche F bedienen. Aktivieren Sie hierauf den entsprechenden Kontrollschalter zur Auswahl des Vielecks, dem die Farbwerte zugewiesen werden sollen und bewegen Sie die drei zur Verfügung stehenden Schieberegler zur Einstellung der RGB-Werte (Rot, Grün, Blau) bis die entsprechende Füllfarbe im gewünschten Farbton angezeigt wird. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok. Sollen diese Farbeinstellungen sitzungsübergreifend gespeichert werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Speichern. Diese Farbeinstellungen werden nur verwendet, wenn keine Farbsimulation aktiviert wurde.
Schaltfläche B:
Nach der Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche B kann durch die Aktivierung des Kontrollschalters Solide oder Transparent festgelegt werden, ob die Füllung der Polyederflächen solide oder transparent erfolgen werden soll.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Weitere Videos
Weitere Videos zum Fachthema Platonische Körper finden Sie auf Youtube unter den folgenden Adressen:
Video 1 - Platonische Körper
Video 2 - Platonische Körper
Video 3 - Platonische Körper
Video 4 - Platonische Körper
Allgemein
Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
Weitere Themenbereiche
Beispiel
Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Tetraeder (Dreiseitige Pyramide), der Eingabe des Zahlenwerts 5 in das Feld Kantenlänge, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse für das Tetraeder mit der Kantenlänge 5 aus:
Kantenlänge: 5
Volumen V: 14,731 VE
Oberfläche O: 43,301 FE
Inkugelradius ri= 1,021
Kantenkugelradius rk= 2,85
Umkugelradius ru= 3,061
Anzahl der Ecken: 4
Anzahl der Kanten: 6
Anzahl der Flächen: 4
Kanten pro Fläche: 3
Kanten pro Ecke: 3
Winkel zwischen zwei Flächen: γ = 70° 32'
Grafische Darstellung - Beispiel 6 - Hexaeder und Ikosaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 7 - Hexaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 8 - Ikosaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 9 - Ikosaeder, Hexaeder und Dodekaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 10 - Tetraeder
Grafische Darstellung - Beispiel 11 - Dodekaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 12 - Dodekaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 13 - Dodekaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 14 - Tetraeder
Grafische Darstellung - Beispiel 15 - Ikosaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 16 - Dodekaeder
Grafische Darstellung - Beispiel 17 - Dodekaeder
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Platonische Körper
Wikipedia - Tetraeder
Wikipedia - Würfel
Wikipedia - Oktaeder
Wikipedia - Dodekaeder
Wikipedia - Ikosaeder
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
Startfenster des Unterprogramms Platonische Körper
MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Archimedische Körper
MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.