MathProf - Analyse affiner Abbildungen

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Analyse affiner Abbildungen

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Affine Abbildung] - Analyse affiner Abbildungen ermöglicht die Bestimmung der Koeffizienten einer affinen Abbildung, anhand vorgegebener transformierter Bildpunkte und Originalbildpunkte.

 

MathProf - Affine Transformation

 

Mit Hilfe dieses kleinen Unterprogramms besteht die Möglichkeit, die Parameter einer Abbildungsmatrix (und eines Translationsvektors) ermitteln zu lassen, die zur Durchführung einer affinen Transformation benötigt werden, wenn die Punktkoordinaten eines Originals, wie auch einer Abbildung bekannt sind. Werden die Ortspunkte eines Objekts (Ursprungsabbildung oder transformierte Abbildung) verändert, so ermittelt das Programm die entsprechenden Koeffizienten der Matrix und des Translationsvektors die die Durchführung einer derartigen Transformation ermöglicht und gibt diese aus.

 

Weiteres siehe Affine Abbildung.

 

Um diese Zusammenhänge untersuchen zu können, stellt das Modul ein Original, sowie eine Abbildung mit jeweils drei frei positionierbaren Punkten zur Verfügung (Dreiecke).

 

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:

  1. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punktes exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  2. Um die Lage eines Punktes mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  3. Soll das Programm eine Untersuchung bzgl. Fixelementen durchführen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchens Analyse.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular


MathProf - Affine Transformation - Punkte

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung der Dreiecke ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Affine Abbildung

 

Beispiel

 

Legen Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Punkte durch die Eingabe der entsprechenden Koordinatenwerte die Punkte des Ursprungsdreiecks und des transformierten Dreiecks, wie folgt fest:

 

Für die Ursprungskoordinaten:

 

A (8 / 2)

B (18 / 6)

C (13 / 1)

 

Für die transformierten Koordinaten:

 

A' (-2 / -6)

B' (-6 / 6)

C' (-10 / -6)

 

Hierauf ermittelt das Programm die zur Durchführung dieser Transformation benötigten Koeffizienten der Abbildungs- und Translationsmatrix mit:

 

 

Zudem gibt es nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Analyse für die Eigenschaften der Abbildung bzgl. Fixelementen aus:

 

Es existiert ein Fixpunkt bei F (10 / 9,2)

Eigenwerte: 2,233 | -1,433

Eigenvektor 1: 0,583 | 1

Eigenvektor 2: -8,583 | 1

Gleichung der Fixgeraden 1: Y = 1,717·X-7,965

Gleichung der Fixgeraden 2: Y = -0,117·X+10,365
 

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