MathProf - Gerade in Punkt-Richtungs-Form - Lagebeziehung von Geraden - Geradengleichung - Punktrichtungsgleichung einer Gerade

MathProf - Mathematik-Software - Gerade in Punkt-Richtungs-Form | Vektorrechnung

MathProf - Vektorgeometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gerade in Punkt-Richtungs-Form | Vektorrechnung

Online-Hilfe
für das Modul Lineare Algebra und analytische Geometrie
zur Durchführung von Untersuchungen mit Geraden im Raum im 3D-Koordinatensystem, beschrieben durch vektorielle Geradengleichungen in Punkt-Richtungs-Form (Punktrichtungsgleichung bzw. Parametergleichung).

Das Programm ermöglicht die Darstellung der Lagebeziehung zweier Geraden im Raum sowie der Lagebeziehung von Punkt und Gerade (Abstand Punkt-Gerade) im Raum.

Zudem erlaubt der implementierte Rechner die Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden sowie das Berechnen des Abstands zweier Geraden, dem Schnittpunkt zweier Geraden und dem Schnittwinkel zweier Geraden. Auch die Spurpunkte einer Gerade werden ausgegeben und der Abstand parallel liegender Geraden kann berechnet werden.


Der 3D-Plotter verfügt über ein frei bewegliches und drehbares, dreidimensionales Koordinatensystem und ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und geltender Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Animationen mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Berechnen des Schnittwinkels windschiefer Geraden - Parameterdarstellung von Geraden im Raum - Parameterform einer Gerade im Raum - Geradengleichung in Punkt-Richtungsform - Parametergleichung einer Gerade - Windschiefe Geraden im Raum - Parallele Geraden - Abstand Punkt-Gerade - Punktrichtungsgleichung einer Gerade - Lagebeziehung Gerade-Gerade - Abstand zweier Geraden - Lage zweier Geraden - Abstand einer Gerade vom Ursprung - Abstand Gerade Punkt - Abstandsberechnung Punkt Gerade - Abstandsberechung Gerade Gerade - Vektorielle Parametergleichung einer Gerade - Abstand windschiefer Geraden - Orthogonale Geraden

 

Gerade im Raum in Punkt-Richtungs-Form (3D)

 

Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Gerade in P-R-Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen (Vektorrechnungen) mit Geradengleichungen in Punkt-Richtungs-Form im Raum (Parameterdarstellung).

 

MathProf - Gerade - Zwei Punkte - Schnittpunkt - Abstand - windschiefe Geraden - Schnittwinkel - Gerade im Raum - Spurpunkte - Punktrichtungsgleichung

 

Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Unterprogramms sind:

  • Eigenschaftsanalyse einer Gerade in Punkt-Richtungs-Form (Spurpunkte)
  • Darstellung einer Gerade in Punkt-Richtungs-Form (sowie eines Punktes, oder einer weiteren Geraden)
  • Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form (Abstand Punkt-Gerade)
  • Ermittlung des Schnittpunkts und des Schnittwinkels zweier Geraden
  • Ermittlung des Abstands zweier Geraden

Definitionsformen von Geraden (Geradengleichung)

Mögliche Definitionsformen von Geraden in diesem Unterprogramm sind:

Parameterdarstellung (Parameterform) einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 1

Darstellung einer Geraden in Zwei-Punkte-Form:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 2

Zusammenhänge

Relevante Zusammenhänge zu diesem Fachthema sind nachfolgend aufgezeigt.

Abstand eines Punktes Q von einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 3

rQ: Ortsvektor des Punktes Q

Abstand zweier Geraden:

Abstand zweier windschiefer Geraden, welche in Punkt-Richtungs-Form definiert sind:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 4

Zwei Geraden welche in Punkt-Richtungs-Form definiert sind, schneiden sich wenn dieses Spatprodukt verschwindet:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 5

Schnittpunkt zweier Geraden:

Der Schnittpunkt zweier windschiefer Geraden, welche in Punkt-Richtungs-Form definiert sind, kann ermittelt werden durch die Gleichsetzung der Vektorgleichungen:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 6

Schnittwinkel zweier windschiefer Geraden:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 7

Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Geraden in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

d: Abstand einer Geraden vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Gerade
SP: Schnittpunkt zweier Geraden
SW: Schnittwinkel zweier Geraden
g,g1,g2: Gerade in 2-Punkte- oder Punkt-Richtungs-Form
α,β,γ Neigungswinkel einer Geraden bzgl. entspr. Achsen
r,r1,r2: Ortsvektor einer Geraden
a,b: Richtungsvektor einer Geraden
P,P1,P2,P3: Punkte
λ: Parameterwerte für Richtungsvektoren einer Geraden
g1-g2: Gerade 1 - Gerade 2

 

Screenshots


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Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Darstellung einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form

 

Um eine Gerade, welche in Punkt-Richtungsform definiert ist, darstellen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Wählen Sie den Kontrollschalter Gerade in P-R-Form.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Geraden in die hierfür vorgesehenen Felder r1 und a ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Eigenschaftsanalyse einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form


MathProf - Gerade - Vektor - Spurpunkte - Durchstoßpunkt - Winkel - Richtungswinkel - Geraden im Raum

Die Untersuchung einer Geraden auf deren Eigenschaften können Sie durchführen lassen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

  1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in P-R-Form.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Geraden in die hierfür vorgesehenen Felder r1 und a ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

Die im Folgenden aufgeführten Details einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse ermittelt:

  • Abstand d der Geraden vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Gerade
  • Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Achsen
  • Streckenlänge der Geraden zwischen zwei Punkten P1 und P2
  • Definition der Geraden in 2-Punkte- sowie Punkt-Richtungs-Form

Abstand eines Punktes von einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Gerade - Abstand - Punkt - Lagebeziehung - Geradengleichung - Schnittwinkel - Spurpunkte

 

Um den Abstand eines Punktes von einer Geraden ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Wählen Sie den Kontrollschalter Gerade in P-R-Form und Punkt.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Geraden in die hierfür vorgesehenen Felder r1 und a ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und legen Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern (x,y,z) des Unterformulars fest.
     
  5. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lage des Punktes und der Geraden grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Ermittlung der gegenseitigen Lage zweier Geraden (Schnittpunkt, Schnittwinkel, Abstand)
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Gerade - Abstand - Windschiefe Geraden -  Schnittwinkel - Schnittpunkt - Gerade im Raum - Spurpunkte

 

Um den Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Möchten Sie die Lagen einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form und einer Geraden in 2-Punkte-Form analysieren, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in P-R-Form und Gerade in 2-P-Form. Um die Lagen zweier Geraden in Punkt-Richtungs-Form zu untersuchen, aktivieren Sie den Kontrollschalter 2 Geraden in P-R-Form.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der ersten Gerade in die dafür vorgesehenen Felder r1 und a im Hauptformular ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Geben Sie die Koeffizientenwerte, bzw. Punktkoordinaten der Vektoren der zweiten Geraden in die dafür vorgesehenen Felder im Unterformular ein.
     
  6. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  7. Möchten Sie sich die Lagen der Geraden grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Liegen beide Gerade parallel, so ermittelt das Programm deren Abstand.

Soll bei Ausgabe der Darstellung eine Strecke eingezeichnet werden, die vertikal zu den Geraden steht, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Abstandslinie.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Grafische Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Option können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten
  • Vektoren: Darstellung der Orts- und Richtungsvektoren der Geraden ein-/ausschalten
  • Geradenpunkte: Darstellung zweier Punkte, durch welche die Gerade verläuft ein-/ausschalten (bei Darstellung einer Gerade in 2-Punkte-Form sind dies die Punkte, welche durch Rollbalkenpositionierung festgelegt wurden)
  • Abstandslinie: Darstellung der vertikalen Abstandslinie zwischen zwei Geraden ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien der Geraden ein-/ausschalten
  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Eigenschaften einer Gerade in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, sich die Eigenschaften einer Gerade ausgeben zu lassen, welche wie nachfolgend gezeigt beschrieben wird:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 8

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Geraden g und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, ermittelt das Programm folgende Ergebnisse:

Zwei Punkte, durch welche Gerade g verläuft:

P1 (4 / -1 / -7)

P2 (5 / -6 / -9)
 

Richtungswinkel der Gerade g:

α = 79,48°

β = 155,905°

γ = 111,417°

 

Abstand der Geraden g vom Koordinatenursprung: d = 6,955
 

Spurpunkte der Gerade g:

Sx (0 / 19 / 1)

Sy (3,8 / 0 / -6,6)

Sz (0,5 / 16,5 / 0)
 

Länge der Strecke zwischen den Geradenpunkten P1 und P2: 5,477

Beispiel 2 - Abstand eines Punkts von einer Gerade in Punkt-Richtungs-Form:

Es ist der Abstand des Punktes P (1 / 2 / -3) von einer Geraden ermitteln zu lassen, welche durch folgende Gleichung beschrieben wird:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 9

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Geraden g und einer Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in P-R-Form und Punkt, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts P im Unterformular, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:

Der Abstand des Punktes P von der Geraden g beträgt: d = 6,895

Beispiel 3 - Lage einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form und einer Gerade in 2-Punkte-Form:

Es ist eine Analyse bzgl. der Lagen zweier Geraden durchzuführen. Die erste Gerade sei beschrieben mit:

Gerade - Raum - Vektor - Gleichung - 10

Vorgehensweise und Lösung:

Die zweite Gerade verlaufe durch die beiden Punkte P1 (1 / 0 / 3) und P2 (0 / 2 / 2).
 

Nach der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Geraden g1 und einer Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in P-R-Form und Gerade in 2-P-Form, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2 im Unterformular zur Definition der zweiten Gerade g2 in 2-Punkte-Form, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:
 

Die Geraden schneiden sich nicht (liegen windschief). Ihr Abstand beträgt d = 1,809.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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