MathProf - Winkel an Parallelen - Wechselwinkel - Nebenwinkel

Modul Winkel an Parallelen

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Das Unterprogramm [Trigonometrie] - [Winkel  an Kreis und Parallelen] - Winkel an Parallelen ermöglicht die Untersuchung grundlegender Zusammenhänge zu Winkeln an Parallelen.

 

Grundsätzlich gelten folgende fundamentale Zusammenhänge bei einem Dreieck:
 

• Die Summe aller Nebenwinkel und Wechselwinkel beträgt 180° (Winkelsumme der Nebenwinkel und Wechselwinkel)
• Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt stets 180° (Winkelsumme der Innenwinkel)
• Stufenwinkel und entgegengesetzte Winkel sind gleich groß

 

Nachfolgend aufgeführt ist eine Übersicht verschiedener, in diesem Zusammenhang relevanter Winkelarten:

 
Stufenwinkel:

Stufenwinkel besitzen paarweise gleichgerichtete Schenkel. Ihre Winkelgrößen sind gleich.



Wechselwinkel:

Wechselwinkel besitzen paarweise entgegengesetzt gerichtete Schenkel. Ihre Winkelgrößen sind gleich.



Scheitelwinkel:

Winkel an zwei Geraden, die einen gemeinsamen Scheitel, jedoch keinen gemeinsamen Schenkel besitzen, heißen Scheitelwinkel. Zwei Scheitelwinkel sind gleich groß, da jeder dieser zum gleichen Nebenwinkel auch Supplementwinkel ist.



Scheitelwinkel:

α₁ = α₂
β₁ = β₂

Nebenwinkel:

α₁ + β₁ = 180°
α₂ + β₂ = 180°
β₁ + α₂ = 180°
β₂ + α₁ = 180°
 
Supplementwinkel:

Zwei Winkel, welche sich zu 180° ergänzen, heißen Supplementwinkel.

Komplementärwinkel:

Zwei Winkel, welche sich zu 90° ergänzen, heißen Komplementärwinkel.

Nebenwinkel:

Mit Nebenwinkel werden Winkel bezeichnet, welche eine besondere Lage besitzen und Supplementwinkel sind.
 
 

Grafisch untersuchen können Sie die Zusammenhänge bzgl. der Winkel an Parallelen die ein Dreieck schneiden, wenn Sie Folgendes ausführen:

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters die Seite(n) des Dreiecks, für welche Sie die Ergebnisse grafisch dargestellt bekommen möchten (Winkel an AC, Winkel an BC, Winkel an AC und BC).
    
2. Möchten Sie den Abszissenwert des Punktes C exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Lage des Punktes C mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts. Eine Bewegung ist lediglich in horizontaler Richtung möglich.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Die Länge der Strecke AB ist vorgegeben und kann nicht verändert werden.

 

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes des Dreiecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Dreieck füllen: Farbfüllung des Dreiecks ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Winkel am Dreieck

Innenwinkel des Dreiecks

Winkel am Kreis

 

Wurde der Kontrollschalter Winkel an AC aktiviert und die horizontale Lage des Punktes C bei x = 4 festgelegt, so werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Länge der Strecke BC = a = 8,246

Länge der Strecke AC = b = 12,806

Länge der Strecke AB = c = 12

 

Punkt A (-6 / 0)

Punkt B (6 / 0)

Punkt C (4 / 8)

 

Innenwinkel des Dreiecks:

 

Winkel CAB: 38,66°

Winkel ACB: 65,376°

Winkel ABC: 75,964°
 

Die Fläche des dargestellten Dreiecks beträgt A = 52,802 FE.

Die Werte aller rot gekennzeichneten Winkel betragen 38,66°.

Die Werte aller blau gekennzeichneten Winkel betragen 141,34°.

 

Hieraus wird ersichtlich, dass die Summe der Winkel (Winkelsumme) einer blau und einer rot markierten Fläche jeweils 180° beträgt, dass Stufenwinkel und deren entgegengesetzte Winkel gleich groß sind und die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks stets 180° beträgt. Verändern Sie die Position des Punktes C, so kann dies überprüft werden.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Winkel zu finden.
 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Winkel am Kreis

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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