MathProf - Punkt-Steigungs-Form einer Gerade - Punkt-Richtungs-Form einer Gerade

MathProf - Mathematik-Software - Gerade | Punkt-Richtungs-Form | Steigung | Abstand

Fachthema: Punktrichtungsform einer Gerade

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gerade | Punkt-Richtungs-Form | Steigung | Abstand

Online-Hilfe
für das Modul zur Praktizierung interaktiver Analysen
mit linearen Funktionen.

Dieses Teilprogramm ermöglicht die grafische Darstellung und Durchführung von Untersuchungen mit einer oder zwei Geraden, welche in Punkt-Richtungsform definiert sind.


 Eine Zuordnung, bei welchem jedem Element der Menge A exakt ein Element der Menge B zugeordnet wird, wird als Funktion bezeichnet. Eine lineare Funktion wird durch die Formel y = m·x +b (Hauptform) ausgedrückt. Sie werden als Geradengleichungen in Punkt-Steigungs-Form, Punkt-Richtungsform bzw. als Parametergleichungen bezeichnet.

Bei der Definition zweier Geraden dieses Typs werden hierbei unter anderem der Schnittpunkt zweier Geraden, der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden sowie die Winkelhalbierende von zwei Geraden dieser Art berechnet und ausgegeben.

Ebenso werden deren Achsenschnittpunkte mit der x-Achse sowie mit der y-Achse ermittelt. Auch erfolgt das Berechnen der Nullstelle, der Steigung und des Steigungswinkels dieser Geraden in der Ebene. Proportionale Funktionen der Form y = m
·x und somit Ursprungsgeraden können in diesem Programmmodul ebenfalls dargestellt und analysiert werden.

Die Berechnung der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar.

Neben dem Zeichnen linearer Funktionen dieser Art lassen sich Wertetabellen für derartige Funktionen im Unterprogramm Funktionswertetabellen ausgeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Geraden - Punkt-Steigungs-Form - Allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion - Lineare Funktionsgleichung - Steigung einer Gerade berechnen - Geradengleichung in Punktsteigungsform - Analyse der Eigenschaften von Geraden - Schnittpunkt zweier Geraden berechnen - Winkel zwischen zwei Geraden berechnen - Lineare Funktionen zeichnen - Lineare Funktionen darstellen - Lineare Funktionen berechnen - Steigung einer linearen Funktion - Steigung einer Geraden - Hauptform der Geradengleichung - Lineare Funktionen in Punkt-Steigungs-Form zeichnen - Lineare Zuordnung - Proportionale Zuordnung - Zuordnungsvorschrift - Lineare Funktionen in Punkt-Steigungsform darstellen - Steigungsfaktor einer Gerade - Steigungsformel - Steigungsfaktor - Punktrichtungsgleichung einer Gerade - Neigungswinkel einer Gerade - Gerade in der Ebene - Gleichung einer Geraden - Gerade bestimmen - Geradengleichung bestimmen - Gerade plotten - Gerade verschieben - Horizontale Gerade - Waagerechte Gerade - Gerade aus Punkt und Steigung berechnen - Abstand Ursprung Gerade - Ursprungsgerade - Proportionale Funktionen darstellen - Windschiefe Geraden - Nullstellen linearer Funktionen - Y-Achsenabschnitt einer Geraden berechnen - X-Wert berechnen - Y-Wert berechnen - Achsenschnittpunkte von Geraden berechnen - Parameter - Steigungswinkel - Steigungsfaktor - Rechner - Gleichung - Nullstelle - Berechnen - Darstellen - Graph - Plotten - Punktsteigungsform einer Geraden - Anstieg einer linearen Funktion - Grafische Darstellung von Geraden - Schneidende Geraden - Gegenseitige Lage von Geraden

  
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Punkt-Steigungs-Form einer Geraden

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Punkt-Richtungs-Form können Geraden in Punkt-Richtungs-Form (Punktsteigungsform) untersucht werden.

 

MathProf - Gerade - Punkt-Richtungs-Form - Steigung - Nullstelle - Schnittwinkel - Gleichung - Abstand - Punktsteigungsform - Lineare Funktionen - Steigungswinkel - Achsenschnittpunkte - Punktsteigungsform - Lineare Funktion - Geradengleichung - y-Achsenabschnitt - Punkt-Steigungs-Form - Punktrichtungsgleichung einer Gerade - Achsenschnittpunkte

 

Geradengleichungen in der Ebene können u.a. in einer der folgenden Formen definiert werden:

  • Achsenabschnittsform

  • Punkt-Richtungs-Form (Steigungsform)

  • Zwei-Punkte-Form

  • Hessesche Normalenform

  • Allgemeine Form

In diesem Modul können Sie lineare Funktionen untersuchen, die in Punkt-Richtungs-Form (Punktsteigungsform) vorliegen. Geraden, die in dieser Form beschrieben werden, besitzen in Punkt A (x1;y1) die Steigung (den Steigungsfaktor):

Gerade - Punkt-Richtungsform - Gleichung
(Steigungsformel)

Die Gleichung einer Gerade dieser Form besitzt die Gestalt y = mx+b.

Jeder lineare Zuordnung ist eine proportionale Beziehung. Eine proportionale Zuordnung ist eine Sonderform der linearen Zuordnung. Hierbei handelt es sich um eine lineare Zuordnung, welche einen Achsenabschnitt von 0 besitzt. Die Zuordnungsvorschrift für proportionale Beziehungen lautet y = p
x. Eine Funktion mit einer derartigen Zuordnungsvorschrift wird als proportionale Funktion bezeichnet. Die Graphen derartiger Funktionen sind Geraden. Eine lineare Zuordnung besitzt die allgemeine Form f(x) = m⋅x+b. Geraden dieser Art lassen sich in diesem Teilprogramm darstellen und untersuchen. Ist b = 0, so liegt eine proportionale Funktion vor, ist m = 0, so handelt es sich um eine konstante Funktion.

Das Programm ermittelt für eine Funktion dieser Art:

  • Achsenabschnitt b der Geraden
  • Gleichung der Geraden in Punkt-Richtungs-Form (Punktsteigungsform)
  • Abstand der Geraden vom Ursprung
  • Nullstelle der Geraden
  • Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Form
  • Schnittpunkt zweier Geraden dieser Form
  • Achsenschnittpunkte der Geraden

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden dieser Art durchzuführen:

  1. Stellen Sie mit dem Schieberegler Steigung m auf dem Bedienformular den Wert für die Steigung m der Geraden ein.
     
  2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punkts (z.B. Punkt A) exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Um die Position eines Fangpunkts mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  4. Sollen gleichzeitig zwei Geraden dieser Art dargestellt und der Schnittpunkt sowie die Winkelhalbierenden dieser ausgegeben werden, so aktivieren Sie die Kontrollkästchen 2 Geraden und die Kontrollkästchen SP sowie WH.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Gerade - Winkelhalbierende - Punkte - Lagebeziehung  - Geradengleichung


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt beschriften: Beschriftung relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Achsenabschnittsform einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

 

Beispiel für eine lineare Funktion in Punkt-Steigungsform


Nach Eingabe der Koordinatenwerte des Punktes A (6 / 2) und der Festlegung der Steigung der Gerade auf den Wert m = -1,5, gibt das Programm folgende Werte für die Eigenschaften der Gerade aus:

Gleichung der Geraden (Punktsteigungsform): Y = m·x+b = -1,5·x+11

Steigung der Geraden: m = -1,5

Achsenabschnitt: b = -m·x+y = 11

Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 6,102

Nullstelle der Geraden: N (7,333 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 11)

 

Werden die Kontrollkäschen 2 Geraden, WH sowie SP aktiviert und wird für die zweite Gerade der Koordinatenwert des Punkts durch welchen diese verlaufen soll mit B (2 / -3) und für die Steigung dieser, durch die Positionierung des dafür zur Verfügung stehenden Rollbalkens, ein Wert von m2 = -5 festgelegt, so ermittelt das Programm zusätzlich:

 

Für die zweite Gerade durch Punkt B:

 

Gleichung der Geraden: Y = m·x+b = -5·x+7

Steigung der Geraden: m = -5

Achsenabschnitt: b = -m·x+y = 7

Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 1,373

Nullstelle der Geraden: N (1,4 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 7)

 

Für die Gleichungen der Winkelhalbierenden beider Geraden gibt das Programm aus:

 

Winkelhalbierende 1: Y = -2,414·X+9,955

Winkelhalbierende 2: Y = 0,414·X+13,188

 

Der Schnittpunkt beider Geraden wird ermittelt mit: S (-1,143 / 12,714)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.
  
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Punkt-Steigungsform zu finden.

 

Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


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Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einfussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik


Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
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