MathProf - Matrizen

 

Das Unterprogramm [Algebra] - Matrizen ermöglicht die Durchführung von Berechnungen mit quadratischen Matrizen.

 

Das Programm bietet hierbei sowohl die Möglichkeit der Durchführung von Operationen mit quadratischen Matrizen reeller Zahlen, wie auch der Ausführung von Operationen mit komplexen Zahlen. Eine Übersicht durchführbarer Operationen wird nachfolgend gezeigt.

Grundoperationen mit einer Matrix:

• Transponierung einer Matrix
• Invertierung einer Matrix
• Potenzierung einer Matrix
• Faktorisierung einer Matrix
• Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

Erweiterte Operationen mit einer Matrix:

• Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix
• Bildung des Exponentials einer Matrix
• Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)
• Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix (Norm,  Rang, Dimension, maximales und minimales Element, Summe der Diagonalelemente)
• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
• Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

Operationen mit zwei Matrizen:

• Addieren zweier Matrizen
• Subtrahieren zweier Matrizen
• Multiplizieren zweier Matrizen
• Dividieren zweier Matrizen
   
• Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen
• Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein)

Grundoperationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

• Transponierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Invertierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Potenzierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Faktorisierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Multiplikation einer Matrix mit einer reellen oder komplexen Zahl

Erweiterte Operationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

• Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix komplexer Zahlen
• Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix komplexer Zahlen (Norm,  Rang, Dimension, maximales und minimales Element, Summe der Diagonalelemente)
• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix komplexer Zahlen

Operationen mit zwei Matrizen komplexer Zahlen:

• Addition zweier Matrizen komplexer Zahlen
• Subtraktion zweier Matrizen komplexer Zahlen
• Multiplikation zweier Matrizen komplexer Zahlen
• Division zweier Matrizen komplexer Zahlen
   
• Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen
• Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein)

 

Die Bedienung einer Schaltfläche mit nachfolgend aufgeführten Bezeichnungen bewirkt:

 

A:	Ausgabe einer Matrix A
AT:	Transponierung einer Matrix A
A-1:	Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix A
Det A:	Ermittlung der Determinante einer Matrix A
Eig. A:	Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix A
Min A:	Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix A, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
|A|:	Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix A
Exp A:	Bildung des Exponentials Exp(A) einer Matrix A
A^n:	Potenzierung einer Matrix A mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum A:	Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix A
Mul A:	Multiplikation aller Elemente einer Matrix A mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD A:	Singulärwertzerlegung der Matrix A(SVD) -> A = USV
B:	Ausgabe einer Matrix B
BT:	Transponierung einer Matrix B
B-1:	Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix B
Det B:	Ermittlung der Determinante einer Matrix B
Eig. B:	Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix B
Min B:	Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix B, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
|B|:	Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix B
Exp B:	Bildung des Exponentials Exp(B) einer Matrix B
B^n:	Potenzierung einer Matrix B mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum B:	Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix B
Mul B:	Multiplikation aller Elemente einer Matrix B mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD B:	Singulärwertzerlegung der Matrix B(SVD) -> B = USV
A+B:	Addition einer Matrix A und einer Matrix B -> C = A+B
A-B:	Subtraktion einer Matrix B von einer Matrix A -> C = A-B
A·B:	Multiplikation einer Matrix A mit einer Matrix B -> C = A·B
A/B:	Division einer Matrix B durch eine Matrix A -> C = A/B
A.·B:	Multiplikation der Elemente Matrix A mit den Elementen einer Matrix B -> C = A.·B
A./B:	Division der Elemente Matrix B durch die Elemente einer Matrix A -> C = A./B

 

 

Voraussetzungen:

 

Matrixelemente müssen durch (mindestens ein) Leerzeichen voneinander getrennt werden. Zwischen negativen Vorzeichen (Minuszeichen) und Zahlenwerten darf sich kein Leerzeichen befinden. Die Anzahl der Matrixelemente einer Reihe muss mit der Anzahl der Matrixelemente einer Zeile übereinstimmen (n x n - Matrix). Das Programm erkennt (bei korrekter Zahlenwerteingabe) die Dimension der Matrix automatisch, es ist hierfür nichts einzustellen. Zeilen sollten lückenlos von oben nach unten beschrieben werden. Als Dezimalseparatoren sind sowohl Punkt als auch Komma zugelassen. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten darf die Zahl 50 nicht überschreiten (max. 50 x 50 - Matrix).

 

Bei Berechnungen mit komplexen Zahlen gilt:

Zwischen dem Realteil und dem Imaginärteil einer komplexen Zahl darf sich kein Leerzeichen befinden (sondern lediglich die Zeichen + oder -). Das Programm erkennt automatisch, ob es Berechnungen mit komplexen Zahlen durchzuführen hat, oder nicht. Es ist hierfür nichts einzustellen. Besitzt eine komplexe Zahl keinen Realteil, so kann diese Zahl auf eine der folgenden Arten definiert werden: 0+3i oder 3i. Besitzt sie keinen Imaginärteil, so kann sie wie folgt definiert werden: 2+0i oder 2.
 

Sind o.a. Bedingungen erfüllt, so führen Sie Folgendes aus, um Berechnungen mit Matrizen durchführen zu lassen:

1. Zur Ausführung von Operationen mit nur einer Matrix, definieren Sie deren Koeffizienten im Eingabebereich Matrix A bzw. Matrix B.
    
2. Vor Durchführung der Potenzierung, oder der Multiplikation aller Elemente einer Matrix legen Sie im Eingabefeld Koeff. den Wert des Koeffizienten für die entsprechende Operation fest (auch die Eingabe komplexer Zahlenwerte ist möglich, z.B. 3+2i).
    
3. Die Anzahl zu verwendender Dezimalstellen bei der Ausgabe von Ergebnissen bestimmen Sie durch die Wahl des gewünschten Werts aus der Auswahlliste Präzision (voreingestellt: 4).
    
4. Bedienen Sie hierauf die entsprechende Schaltfläche zur Durchführung einer Operation, so gibt das Programm die Ergebnisse dieser im rechtsseitig angeordneten Ausgabefeld aus (sind nicht alle Ergebnisse zu sehen, so bedienen Sie den horizontalen bzw. vertikalen Rollbalken des Ausgabefelds).
    
5. Sind die Ergebnisse im Ausgabefeld zu löschen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Löschen.
    
6. Um die Eingaben der Werte für Matrix A oder Matrix B zu löschen, klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds, markieren dieses bei Gedrückthalten der linken Maustaste und einer Bewegung des Cursors von oben nach unten und bedienen hierauf die Taste Entf. Alternativ hierzu kann auch der Menübefehl Urzustand herstellen verwendet werden.
    

7. Möchten Sie mit den Ergebniswerten einer ermittelten Matrix weitere Operationen durchführen, so markieren Sie diese im Ausgabefeld durch ein Gedrückthalten und eine anschließende Bewegung der linken Maustaste.
   
   Verwenden Sie hierauf die Tastenkombination Strg-C (Kopieren in Zwischenablage) und löschen Sie die Eingaben im entsprechenden links angeordneten Eingabefeld für Matrix A oder Matrix B. Klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds und benutzen Sie die Tastenkombination Strg-V (Einfügen aus Zwischenablage).
   
   Sofern die o.a. Voraussetzungen erfüllt sind, können hierauf weitere Operationen mit den Werten der zuletzt ermittelten Matrix durchgeführt werden. Das Programm formatiert kopierte Matrizen hierbei automatisch bei Durchführung einer nächsten Operation - es sind somit keine Veränderungen (Entfernung von Leerzeichen etc.) notwendig.

Beispiel 1 - Reelle Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

 

8	1	-7	-2
3	-2	8	0
-5	1	3	-4
6	0	-1	3

 

sowie Matrix B:

 

-4	1	-2	6
6	-1	4	-6
3	-4	-3	-3
-2	5	-8	-6

 

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.
 

• Transponierung einer Matrix

• Invertierung einer Matrix

• Ermittlung der Determinante einer Matrix

• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

• Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

• Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer Matrix

• Bildung des Exponentials einer Matrix

• Potenzierung einer Matrix

• Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix

• Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

• Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)

• Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen

• Division einzelner Elemente zweier Matrizen

• Addition zweier Matrizen

• Subtraktion zweier Matrizen

• Multiplikation zweier Matrizen

• Division zweier Matrizen

Legen Sie hierfür alle Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

Transponierung einer Matrix

Wird ein Klick auf Schaltfläche A^T  ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix A^T ausgegeben:

Transponierte Matrix A^T:

8	3	-5	-6
1	-2	1	0
-7	8	3	-1
-2	0	-4	3

Invertierung einer Matrix

Ein Klick auf die Schaltfläche A^-1 bewirkt die Ausgabe der Inverse Inv(A) der Matrix A:

Inverse der Matrix A - Inv(A):

-0,5152	-0,4242	-0,3333	-0,7879
-4,9545	-4,2273	-2,5	-6,6364
-1,0455	-0,7727	-0,5	-1,3636
-1,3788	-1,1061	-0,8333	-1,697

Determinante einer Matrix

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Det A wird für die Determinante Det(A) der Matrix A ausgegeben:

 

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

 

Bei einer Bedienung der Schaltfläche Eig. A wird für die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A ausgegeben:

Eigenwerte der Matrix A:

 

11,28

-5,9862

6,8489

-0,1427

 

Eigenvektoren der Matrix A:

 

-0,809	1	-0,7045	-0,6836
0,3393	1	0,3794	0,6703
-0,0283	0,1508	1	-0,7765
1	0,1657	-0,4041	-0,5247

Minimaler und maximaler Eigenwert einer Matrix

Nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Min A ermittelt das Programm für Matrix A:

Maximaler Eigenwert der Matrix A: Max. Eig(A) = 11,28

Zugehörige Eigenvektoren:
 

1

0,0689

-0,2607

-0,6932

 

Minimaler Eigenwert der Matrix A: Min. Eig(A) = -0,1427

Zugehörige Eigenvektoren:

 

0,1075

1

0,1918

0,2663

Norm, Rang, Dimension, minimales und maximales Element einer Matrix

Wird die Schaltfläche |A| bedient, so gibt das Programm für Matrix A aus:

Norm der Matrix A: Norm(A) = 17,08801

Rang der Matrix A: Rang(A) = 4

Dimension der Matrix A: Dim(A) = 4·4

Minimales/maximales Element der Matrix A:

Min(A) = -7
Max(A) = 8

Potenzierung einer Matrix

Wird der Wert 2 in das Feld Koeff. eingegeben und wird ein Klick auf die Schaltfläche A^n ausgeführt, so ermittelt das Programm für die mit 2 potenzierte Matrix A²:

Potenzierte Matrix A^(2):

114	-1	-67	6
-22	15	-13	-38
-28	-4	56	-14
-61	-7	36	25

 

Summe der Diagonalelemente einer Matrix

 

Für die Summe der Diagonalelemente der Matrix A gibt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Sum A aus:

Summe der Diagonalelemente der Matrix A: Sum(A) = 12

 

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

 

Nach der Eingabe des Werts 3 in das Feld Koeff. und einem Klick auf die Schaltfläche Mul A multipliziert das Programm die Elemente der Matrix mit dem festgelegten Faktor 3 und gibt aus:

Mit Faktor multiplizierte Matrix A·3:
 

24	3	-21	-6
9	-6	24	0
-15	3	9	-12
-18	0	-3	9

 

Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)

 

Wird ein Klick auf die Schaltfläche SVD A ausgeführt, gibt das Programm für die Matrix A aus:

 

Singulärwertzerlegung der Matrix A (SVD): A = USV

Matrix U:
 

-0,8243	0,0186	0,2318	-0,5162
0,2426	0,8482	-0,1769	-0,4363
0,4087	-0,0711	0,8707	-0,2641
0,3077	-0,5245	-0,396	-0,688

 

Matrix S:
 

13,0894	0	0	0
0	9,5784	0	0
0	0	5,377	0
0	0	0	0,0979

Matrix V:
 

-0,7453	0,6469	-0,1217	0,1058
-0,0688	-0,1826	0,2709	0,9426
0,6593	0,7273	-0,0056	0,1906
0,0716	-0,1385	-0,9549	0,2528

 

Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A. · B führt das Programm eine Multiplikation aller einzelner Elemente der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der Matrix B durch und gibt für Matrix C aus:

 

Multipl. der Elemente zweier Matrizen C = A. · B
 

-32	1	14	-12
18	2	32	0
-15	-4	-9	12
12	0	8	-18

 

Division einzelner Elemente zweier Matrizen

 

Um eine Division aller einzelner Elemente der Matrix A durch die entsprechenden Elemente der Matrix B durchführen zu lassen wird ein Klick auf die Schaltfläche A. / B ausgeführt und das Programm gibt für Matrix C aus:

 

Division der Elemente zweier Matrizen C = A. / B
 

-2	1	3,5	-0,3333
0,5	2	2	0
-1,6667	-0,25	-1	1,3333
3	0	0,125	-0,5

 

Addition zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A + B sowie der Durchführung einer Addition der Matrizen A und B gibt das Programm für Matrix C aus:

Additition zweier Matrizen C = A + B:
 

4	2	-9	4
9	-3	12	-6
-2	-3	0	-7
-8	5	-9	-3

 

Subtraktion zweier Matrizen

 

Die Subtraktion der Matrix B von Matrix A, wird nach einem Klick auf die Schaltfläche A - B durchgeführt. Für die resultierende Matrix C gibt das Programm aus:

 

Subtraktion zweier Matrizen C = A - B:
 

12	0	-5	-8
-3	-1	4	6
-8	5	6	-1
-4	-5	7	9

Multiplikation zweier Matrizen

 

Bei Durchführung einer Multiplikation der Matrizen A und B gibt das Programm einem Klick auf die Schaltfläche A · B für Matrix C aus:

 

Multiplikation zweier Matrizen C = A · B:
 

-43	25	25	75
0	-27	-38	6
43	-38	37	-21
15	13	-9	-51

 

Division zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A / B, sowie der Durchführung einer Division der Matrizen B durch A gibt das Programm für Matrix C aus:

 

Division zweier Matrizen C = A/B:

 

8,1667	6,2917	1,8333	1,2917
-1	-0,125	-0,5	-0,625
-6,7121	-4,7803	-1,4242	-0,553
-3	-2,875	-0,5	-0,375

Beispiel 2 - Komplexe Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

 

-5+i	i	-7+7i	2-6i
-5i	-2+6i	8-i	0
-2+i	1-i	3+6i	0
i	3+i	3-5i	-2+2

 

sowie Matrix B:

 

2+i	1-i	-3+3i	2
-6i	-1-i	4+i	-5+5i
-4i	-6i	5	-3
8-2i	5+i	-7+7i	6-6i

 

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.
 

• Transponierung einer Matrix

• Invertierung einer Matrix

• Ermittlung der Determinante einer Matrix

• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

• Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

• Multiplikation einer Matrix mit komplexen Zahlen mit einer reellen Zahl

• Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer Matrix

• Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix

• Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

• Division einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

• Addition zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

• Subtraktion zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

• Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

• Division zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

Legen Sie hierfür alle komplexen Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

Transponierung einer Matrix mit komplexen Zahlen

Wird ein Klick auf Schaltfläche A^T  ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix A^T ausgegeben:

Transponierte Matrix A^T:

-5+	-5i	-2+i	i
i	-2+6i	1-i	3+i
-7+7i	8-i	3+6i	3-5i
2-6i	0	0	-2+2i

 

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