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MathProf - Mathematik-Software - Lineare Algebra | Komplexe Matrix | Dividieren | Addieren

Fachthemen: Matrizen, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren

MathProf - Lineare Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Ein Programm, welches als unter anderem als Begleiter beim Maschinenbau-Studium oder Elektrotechnik-Studium zur Lösung anspruchsvoller Aufgaben sowie zur Erlangung tiefergreifenden Fachwissens der Mathematik eingesetzt werden kann.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Matrizen | Komplexe Matrix | Dividieren | Addieren

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung verschiedener Matrixoperationen mit quadratischen Matrizen.

Durch den in diesem Unterprogramm integrierten Matrizenrechner erfolgt unter anderem das Berechnen der Eigenwerte einer Matrix sowie derer Eigenvektoren und die Durchführung der Matrizenaddition, der Matrizeninversion, der Matrizenmultiplikation mit zwei Matrizen. Auch das Berechnen der Determinante der entsprechenden Matrix wird vom implementierten Rechner ausgeführt.

Des Weiteren kann die Ausführung der Singulärwertzerlegung (SVD) von Matrizen veranlasst werden. Zudem werden der Rang einer Matrix sowie die Norm einer Matrix (Matrixnorm) ermittelt.

Neben vielen anderen Arten der Matrizenberechnung bestehen in diesem Modul folgende Möglichkeiten Operationen mit Matrizen durchführen zu lassen:

Matrizen addieren, Matrizen subtrahieren, Matrizen multiplizieren, Matrizen dividieren, Matrizen quadrieren, Matrizen potenzieren, Matrizen diagonalisieren, Matrizen transponieren, Matrizen lösen, Matrizen normieren und Matrizen invertieren.

Die Praktizierung der Inversion einer Matrix erfolgt mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus. Zudem kann die Skalarmultiplikation von Matrizen mit reellen Zahlen sowie die Bildung vom Exponential dieser veranlasst werden.

Auch die Berechnung einer Matrix mit komplexen Zahlen wird ermöglicht. Die vom Programm ermittelten numerischen Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik

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Themen und Stichworte I zu diesem Modul:

Matrizen - Matrix - Determinante - Eigenwert - Eigenvektor - Determinanten - Eigenwerte - Eigenvektoren - Eigenwertberechnung - Eigenwertbestimmung - Rechenoperationen mit Matrizen - Rechner für Determinanten und Eigenwerte von Matrizen - Matrizenrechnung - Matrizen berechnen - Matrix berechnen - Matrix lösen - Determinanten berechnen - Matrizenrechner - Matrizengleichung - Inverse Matrix - Komplexe Matrizen - Matrix invertieren - Matrix transponieren - Matrix diagonalisieren - Matrizen quadrieren - Matrizen addieren - Matrizen subtrahieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen dividieren - Matrizen transponieren - Matrizen potenzieren - Matrizen invertieren - Invertierte Matrix - Kehrmatrix - Transponierte Matrix - Potenzierte Matrix - Matrizenrang - Matrix normieren - Norm einer Matrix - Bestimmung der Matrixnorm - Matrixtransformation - Rang einer Matrix - Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix - Quadratische Matrizen - Ermittlung vom Matrizenrang - Eigenwerte von Matrizen - Eigenvektoren einer Matrix - Eigenwerte einer Matrix - Determinante einer Matrix berechnen - Matrixelemente - Matrixprodukt - Ermittlung der Dimension einer Matrix - Potenzieren einer Matrix - Quadrieren einer Matrix - Matrixmultiplikation - Matrizenberechnung - Hoch - Hoch 2 - Hoch 3 - Orthogonale Matrix - Rechnen mit Matrizen - Komplexe Matrix - Komplexe Eigenwerte - Komplexe Eigenvektoren - Matrizeninversion - Matrizenmultiplikation - Eigenwertproblem - SVD - Singulärwertzerlegung einer Matrix - Einheitsmatrix - Exponential einer Matrix - Matrixexponential - Matrizen lösen - Produktmatrix - Vektoren - Spaltenvektor - Zeilenvektor - Matrix erstellen - Rechenweg - Algebra - Element - Zeile - Spalte - 3x3-Matrix - 4x4-Matrix - 5x5-Matrix - nxn-Matrix - nxn-Determinante - Diagonalform - Matrixpotenz - Stochastische Matrix - Übergangsmatrix - 2x2-Determinante berechnen - 3x3-Determinante berechnen - 4x4-Determinante berechnen - 5x5 Determinante berechnen - 6x6-Determinante berechnen - Zweireihige Determinanten - Dreireihige Determinanten - Mehrreihige Determinanten - Übergangsmatrizen - Inverse Matrix bilden - Transponierte Matrix bilden - Transformation einer Matrix - Eigenvektoren berechnen - Rechenoperationen mit Matrizen - Dreiecksmatrix - Diagonale Matrix - Obere Dreiecksmatrix - Untere Dreiecksmatrix - Obere und untere Dreiecksmatrix - Diagonalmatrix invertieren - Dreiecksmatrix invertieren

Themen und Stichworte II zu diesem Modul:

Matrix quadrieren - Quadratische Matrix invertieren - Symmetrische Matrix invertieren - Homogene Matrix invertieren - Matrizen faktorisieren - Faktorisierung einer Matrix - Eigenwerte berechnen - Operationen - Komplexe Eigenwerte - Komplexe Eigenvektoren - Reguläre Matrix - Singuläre Matrix - Elementarmatrizen - Elementarmatrix - Nullmatrix - Matrixnorm - Matrizenprodukt - Matrizendivision - Skalarmultiplikation von Matrizen - Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar - Modul zur Lösung von Eigenwertproblemen - Eigenvektoren bestimmen - Eigenvektoren berechnen - Schiefsymmetrische Matrix berechnen - Eigenvektoren einer Matrix - Eigenwerte einer Matrix - Berechnung von Matrizen - Invertierung einer Matrix - Elementarmatrizen berechnen - Eigenwerte einer Matrix bestimmen - Numerische Berechnung von Eigenwerten - Invertierung von Matrizen - Inverse symmetrische Matrix - Komplexe Matrix - Det Rechner - Det berechnen - Symmetrische Matrix - Determinante bestimmen - Jacobi-Verfahren - Eigenschaften - Mehrere Matrizen - Bestimmen - Bestimmung - Berechnen - Rechner - Komplex - Plotten - Plotter - Präsentation - Produkt - Determinante entwickeln - Singulärwertzerlegung - Matrixpotenz - Vektor - Matrizen lösen - Matrizen zum Lösen linearer Gleichungssysteme - Matrix mal Vektor - Dreiecksmatrizen - Quadratische Form einer Matrix - Quadratische Matrix - Komponentenweise Addition - Komponentenweise Multiplikation - Lösung - Berechnung - Symmetrisch - Asymmetrisch - Matrix umformen - Matrizen umformen - Rang einer Matrix bestimmen - Inverse Matrix bestimmen - Formel - Sarrus-Regel - Regel von Sarrus - Hauptdiagonale - Nebendiagonale - Determinantenberechnung - Eigenschaften - Vektoren - Addition von Matrizen - Matrizenaddition - Multiplikation von Matrizen

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Matrizen

Das Unterprogramm [Algebra] - Matrizen ermöglicht die Durchführung von Matrizenrechnungen (Operationen) mit quadratischen Matrizen.

Dieser Matrizenrechner bietet hierbei sowohl die Möglichkeit der Durchführung von Operationen (Berechnungen) mit quadratischen Matrizen reeller Zahlen, wie auch der Ausführung von Operationen (Berechnungen) mit komplexen Zahlen. Eine Übersicht durchführbarer Operationen wird nachfolgend gezeigt.

1. Matrixoperationen mit Matrizen reeller Zahlen

Grundoperationen mit einer Matrix:

Transponierung einer Matrix (Transponierte Matrix)
Invertierung einer Matrix (Inverse Matrix - Matrizeninversion)
Potenzierung einer Matrix (Potenzierte Matrix)
Faktorisierung einer Matrix (Faktorisierte Matrix)
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (Matrixmultiplikation)

Erweiterte Operationen mit einer Matrix:

Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix
Bildung des Exponentials einer Matrix
Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)
Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix: Norm einer Matrix, Rang einer Matrix, Dimension einer Matrix, maximales und minimales Element einer Matrix, Summe der Diagonalelemente einer Matrix
Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

Operationen mit zwei Matrizen:

Addieren zweier Matrizen (Matrizenaddition)
Subtrahieren zweier Matrizen(Matrizensubtraktion)
Multiplizieren zweier Matrizen (Matrizenprodukt)
Dividieren zweier Matrizen (Matrizendivision)
Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen
Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein)

2. Matrixoperationen mit Matrizen komplexer Zahlen

Grundoperationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

Transponierung einer Matrix komplexer Zahlen
Invertierung einer Matrix komplexer Zahlen
Potenzierung einer Matrix komplexer Zahlen
Faktorisierung einer Matrix komplexer Zahlen
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen oder komplexen Zahl (Skalarmultiplikation)

Erweiterte Operationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix komplexer Zahlen
Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix komplexer Zahlen (Norm, Rang, Dimension, maximales und minimales Element, Summe der Diagonalelemente)
Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix komplexer Zahlen

Operationen mit zwei Matrizen komplexer Zahlen:

Addition zweier Matrizen komplexer Zahlen
Subtraktion zweier Matrizen komplexer Zahlen
Multiplikation zweier Matrizen komplexer Zahlen (Matrixmultiplikation)
Division zweier Matrizen komplexer Zahlen
Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen (Matrizenprodukt)
Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein)

Bedienschaltflächen

Die Bedienung einer Schaltfläche mit nachfolgend aufgeführten Bezeichnungen bewirkt:

A:	Ausgabe einer Matrix A
A^T:	Transponierung einer Matrix A
A^-1:	Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix A
Det A:	Ermittlung der Determinante einer Matrix A
Eig. A:	Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix A
Min A:	Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix A, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
\|A\|:	Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix A
Exp A:	Bildung des Exponentials Exp(A) einer Matrix A
A^n:	Potenzierung einer Matrix A mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum A:	Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix A
Mul A:	Multiplikation aller Elemente einer Matrix A mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD A:	Singulärwertzerlegung der Matrix A(SVD) -> A = USV

B:	Ausgabe einer Matrix B
B^T:	Transponierung einer Matrix B
B^-1:	Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix B
Det B:	Ermittlung der Determinante einer Matrix B
Eig. B:	Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix B
Min B:	Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix B, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
\|B\|:	Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix B
Exp B:	Bildung des Exponentials Exp(B) einer Matrix B
B^n:	Potenzierung einer Matrix B mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum B:	Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix B
Mul B:	Multiplikation aller Elemente einer Matrix B mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD B:	Singulärwertzerlegung der Matrix B(SVD) -> B = USV

A+B:	Addition einer Matrix A und einer Matrix B -> C = A+B
A-B:	Subtraktion einer Matrix B von einer Matrix A -> C = A-B
A·B:	Multiplikation einer Matrix A mit einer Matrix B -> C = A·B (Matrizenprodukt)
A/B:	Division einer Matrix B durch eine Matrix A -> C = A/B

A.·B:	Multiplikation der Elemente Matrix A mit den Elementen einer Matrix B -> C = A.·B
A./B:	Division der Elemente Matrix B durch die Elemente einer Matrix A -> C = A./B

Berechnung - Matrix-Operationen

Voraussetzungen:

Matrixelemente müssen durch (mindestens ein) Leerzeichen voneinander getrennt werden. Zwischen negativen Vorzeichen (Minuszeichen) und Zahlenwerten darf sich kein Leerzeichen befinden. Die Anzahl der Matrixelemente einer Reihe muss mit der Anzahl der Matrixelemente einer Zeile übereinstimmen (n x n - Matrix). Das Programm erkennt (bei korrekter Zahlenwerteingabe) die Dimension der Matrix automatisch, es ist hierfür nichts einzustellen. Zeilen sollten lückenlos von oben nach unten beschrieben werden. Als Dezimalseparatoren sind sowohl Punkt als auch Komma zugelassen. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten darf die Zahl 50 nicht überschreiten (max. 50 x 50 - Matrix).

Bei Berechnungen mit komplexen Zahlen gilt:

Zwischen dem Realteil und dem Imaginärteil einer komplexen Zahl darf sich kein Leerzeichen befinden (sondern lediglich die Zeichen + oder -). Das Programm erkennt automatisch, ob es Berechnungen mit komplexen Zahlen durchzuführen hat, oder nicht. Es ist hierfür nichts einzustellen. Besitzt eine komplexe Zahl keinen Realteil, so kann diese Zahl auf eine der folgenden Arten definiert werden: 0+3i oder 3i. Besitzt sie keinen Imaginärteil, so kann sie wie folgt definiert werden: 2+0i oder 2.

Sind o.a. Bedingungen erfüllt, so führen Sie Folgendes aus, um Berechnungen mit Matrizen durchführen zu lassen:

Zur Ausführung von Operationen mit nur einer Matrix, definieren Sie deren Koeffizienten im Eingabebereich Matrix A bzw. Matrix B.
Vor Durchführung der Potenzierung, oder der Multiplikation aller Elemente einer Matrix legen Sie im Eingabefeld Koeff. den Wert des Koeffizienten für die entsprechende Operation fest (auch die Eingabe komplexer Zahlenwerte ist möglich, z.B. 3+2i).
Die Anzahl zu verwendender Dezimalstellen bei der Ausgabe von Ergebnissen bestimmen Sie durch die Wahl des gewünschten Werts aus der Auswahlliste Präzision (voreingestellt: 4).
Bedienen Sie hierauf die entsprechende Schaltfläche zur Durchführung einer Operation, so gibt das Programm die Ergebnisse dieser im rechtsseitig angeordneten Ausgabefeld aus (sind nicht alle Ergebnisse zu sehen, so bedienen Sie den horizontalen bzw. vertikalen Rollbalken des Ausgabefelds).
Sind die Ergebnisse im Ausgabefeld zu löschen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Löschen.
Um die Eingaben der Werte für Matrix A oder Matrix B zu löschen, klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds, markieren dieses bei Gedrückthalten der linken Maustaste und einer Bewegung des Cursors von oben nach unten und bedienen hierauf die Taste Entf. Alternativ hierzu kann auch der Menübefehl Urzustand herstellen verwendet werden.
Möchten Sie mit den Ergebniswerten einer ermittelten Matrix weitere Operationen durchführen, so markieren Sie diese im Ausgabefeld durch ein Gedrückthalten und eine anschließende Bewegung der linken Maustaste.

Verwenden Sie hierauf die Tastenkombination Strg-C (Kopieren in Zwischenablage) und löschen Sie die Eingaben im entsprechenden links angeordneten Eingabefeld für Matrix A oder Matrix B. Klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds und benutzen Sie die Tastenkombination Strg-V (Einfügen aus Zwischenablage).

Sofern die o.a. Voraussetzungen erfüllt sind, können hierauf weitere Operationen mit den Werten der zuletzt ermittelten Matrix durchgeführt werden. Das Programm formatiert kopierte Matrizen hierbei automatisch bei Durchführung einer nächsten Operation - es sind somit keine Veränderungen (Entfernung von Leerzeichen etc.) notwendig.

Video

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle

Beispiele

Beispiel 1 - Reelle Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

8	1	-7	-2
3	-2	8	0
-5	1	3	-4
6	0	-1	3

sowie Matrix B:

-4	1	-2	6
6	-1	4	-6
3	-4	-3	-3
-2	5	-8	-6

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.

Transponierung einer Matrix
Invertierung einer Matrix
Ermittlung der Determinante einer Matrix
Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix
Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer Matrix
Bildung des Exponentials einer Matrix
Potenzierung einer Matrix
Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl
Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)
Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen
Division einzelner Elemente zweier Matrizen
Addition zweier Matrizen
Subtraktion zweier Matrizen
Multiplikation zweier Matrizen (Matrizenprodukt)
Division zweier Matrizen

Legen Sie hierfür alle Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

Transponierung einer Matrix

Wird ein Klick auf Schaltfläche A^T ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix A^Tausgegeben:

Transponierte Matrix A^T:

8	3	-5	-6
1	-2	1	0
-7	8	3	-1
-2	0	-4	3

Invertierung einer Matrix

Ein Klick auf die Schaltfläche A^-1 bewirkt die Ausgabe der Inverse Inv(A) der Matrix A:

Inverse der Matrix A - Inv(A):

-0,5152	-0,4242	-0,3333	-0,7879
-4,9545	-4,2273	-2,5	-6,6364
-1,0455	-0,7727	-0,5	-1,3636
-1,3788	-1,1061	-0,8333	-1,697

Determinante einer Matrix

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Det A wird für die Determinante Det(A) der Matrix Aausgegeben:

Determinante der Matrix A: Det(A) = 66

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

Bei einer Bedienung der Schaltfläche Eig. A wird für die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix Aausgegeben:

Eigenwerte der Matrix A:

11,28

-5,9862

6,8489

-0,1427

Eigenvektoren der Matrix A:

-0,809	1	-0,7045	-0,6836
0,3393	1	0,3794	0,6703
-0,0283	0,1508	1	-0,7765
1	0,1657	-0,4041	-0,5247

Minimaler und maximaler Eigenwert einer Matrix

Nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Min A ermittelt das Programm für Matrix A:

Maximaler Eigenwert der Matrix A: Max. Eig(A) = 11,28

Zugehörige Eigenvektoren:

0,0689

-0,2607

-0,6932

Minimaler Eigenwert der Matrix A: Min. Eig(A) = -0,1427

Zugehörige Eigenvektoren:

0,1075

0,1918

0,2663

Norm, Rang, Dimension, minimales und maximales Element einer Matrix

Wird die Schaltfläche |A| bedient, so gibt das Programm für Matrix A aus:

Norm der Matrix A: Norm(A) = 17,08801

Rang der Matrix A: Rang(A) = 4

Dimension der Matrix A: Dim(A) = 4·4

Minimales/maximales Element der Matrix A:

Min(A) = -7
Max(A) = 8

Potenzierung einer Matrix

Wird der Wert 2 in das Feld Koeff. eingegeben und wird ein Klick auf die Schaltfläche A^n ausgeführt, so ermittelt das Programm für die mit 2 potenzierte Matrix A²:

Potenzierte Matrix A^(2):

114	-1	-67	6
-22	15	-13	-38
-28	-4	56	-14
-61	-7	36	25

Summe der Diagonalelemente einer Matrix

Für die Summe der Diagonalelemente der Matrix A gibt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Sum A aus:

Summe der Diagonalelemente der Matrix A: Sum(A) = 12

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

Nach der Eingabe des Werts 3 in das Feld Koeff. und einem Klick auf die Schaltfläche Mul A multipliziert das Programm die Elemente der Matrix mit dem festgelegten Faktor 3 und gibt aus:

Mit Faktor multiplizierte Matrix A·3:

24	3	-21	-6
9	-6	24	0
-15	3	9	-12
-18	0	-3	9

Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)

Wird ein Klick auf die Schaltfläche SVD A ausgeführt, gibt das Programm für die Matrix A aus:

Singulärwertzerlegung der Matrix A (SVD): A = USV

Matrix U:

-0,8243	0,0186	0,2318	-0,5162
0,2426	0,8482	-0,1769	-0,4363
0,4087	-0,0711	0,8707	-0,2641
0,3077	-0,5245	-0,396	-0,688

Matrix S:

13,0894	0	0	0
0	9,5784	0	0
0	0	5,377	0
0	0	0	0,0979

Matrix V:

-0,7453	0,6469	-0,1217	0,1058
-0,0688	-0,1826	0,2709	0,9426
0,6593	0,7273	-0,0056	0,1906
0,0716	-0,1385	-0,9549	0,2528

Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A. · B führt das Programm eine Multiplikation aller einzelner Elemente der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der Matrix B durch und gibt für Matrix C aus:

Multipl. der Elemente zweier Matrizen C = A. · B

-32	1	14	-12
18	2	32	0
-15	-4	-9	12
12	0	8	-18

Division einzelner Elemente zweier Matrizen

Um eine Division aller einzelner Elemente der Matrix A durch die entsprechenden Elemente der Matrix B durchführen zu lassen wird ein Klick auf die Schaltfläche A. / B ausgeführt und das Programm gibt für Matrix C aus:

Division der Elemente zweier Matrizen C = A. / B

-2	1	3,5	-0,3333
0,5	2	2	0
-1,6667	-0,25	-1	1,3333
3	0	0,125	-0,5

Addition zweier Matrizen

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A + B sowie der Durchführung einer Addition der Matrizen A und B gibt das Programm für Matrix C aus:

Additition zweier Matrizen C = A + B:

4	2	-9	4
9	-3	12	-6
-2	-3	0	-7
-8	5	-9	-3

Subtraktion zweier Matrizen

Die Subtraktion der Matrix B von Matrix A, wird nach einem Klick auf die Schaltfläche A - B durchgeführt. Für die resultierende Matrix C gibt das Programm aus:

Subtraktion zweier Matrizen C = A - B:

12	0	-5	-8
-3	-1	4	6
-8	5	6	-1
-4	-5	7	9

Multiplikation zweier Matrizen (Matrizenprodukt)

Bei Durchführung einer Multiplikation der Matrizen A und B gibt das Programm einem Klick auf die Schaltfläche A · B für Matrix C aus:

Multiplikation zweier Matrizen C = A · B:

-43	25	25	75
0	-27	-38	6
43	-38	37	-21
15	13	-9	-51

Division zweier Matrizen

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A / B, sowie der Durchführung einer Division der Matrizen B durch A gibt das Programm für Matrix C aus:

Division zweier Matrizen C = A/B:

8,1667	6,2917	1,8333	1,2917
-1	-0,125	-0,5	-0,625
-6,7121	-4,7803	-1,4242	-0,553
-3	-2,875	-0,5	-0,375

Beispiel 2 - Komplexe Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

-5+i	i	-7+7i	2-6i
-5i	-2+6i	8-i	0
-2+i	1-i	3+6i	0
i	3+i	3-5i	-2+2

sowie Matrix B:

2+i	1-i	-3+3i	2
-6i	-1-i	4+i	-5+5i
-4i	-6i	5	-3
8-2i	5+i	-7+7i	6-6i

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.

Transponierung einer komplexen Matrix
Invertierung einer komplexen Matrix
Ermittlung der Determinante einer komplexen Matrix
Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer komplexen Matrix
Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer komplexen Matrix
Multiplikation einer komplexen Matrix mit einer reellen Zahl
Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer komplexen Matrix
Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer komplexen Matrix
Multiplikation einzelner Elemente zweier komplexen Matrizen mit komplexen Zahlen
Division einzelner Elemente zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen
Addition zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen
Subtraktion zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen
Multiplikation zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen (Matrizenprodukt)
Division zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

Legen Sie hierfür alle komplexen Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

Transponierung einer Matrix mit komplexen Zahlen

Wird ein Klick auf Schaltfläche A^T ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix A^Tausgegeben:

Transponierte Matrix A^T:

-5+	-5i	-2+i	i
i	-2+6i	1-i	3+i
-7+7i	8-i	3+6i	3-5i
2-6i	0	0	-2+2i

Invertierung einer Matrix mit komplexen Zahlen

Ein Klick auf die Schaltfläche A^-1 bewirkt die Ausgabe der Inverse Inv(A) der Matrix A:

0,266-0,36i	0,45+0,123i	-0,144-0,078i	0,173-0,986i
0,186-0,409i	0,44-0,101i	-0,003-0,019i	-0,037-1,005i
-0,026-0,079i	0,09-0,067i	0,044-0,087i	-0,13-0,132i
0,435-0,006i	0,33+0,295i	0,118-0,226i	0,614-0,698i

Wird der Wert 3 in das Feld Koeff. eingegeben und wird ein Klick auf die Schaltfläche A^n ausgeführt, so ermittelt das Programm für die mit 3 potenzierte Matrix A³:

-75+274i	-104+213i	516-53i	-194-398i
-540-340i	298-19i	-1403+421i	390-70i
112+14i	-72+109i	309+123i	-174-18i
-69+194i	85-217i	-47+558i	-52

Determinante einer Matrix mit komplexen Zahlen

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Det A wird für die Determinante Det(A) der Matrix Aausgegeben:

Determinante der Matrix A: Det(A) = 320-48i

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix mit komplexen Zahlen

Bei einer Bedienung der Schaltfläche Eig. A wird für die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix Aausgegeben:

Eigenwerte der Matrix A:

0,4559+0,3403i

5,7661+3,7198i

8,0538+1,8026i

4,1682+9,1373i

Eigenvektoren der Matrix A:

0,91+0,26i	1	0,16-0,12i	0,59+0,71i
-0,26+0,61i	1	0,64-0,37i	0,205-0,5i
1	0,45+0,68i	0,03-0,12i	-0,041-0,49i
-0,44+0,02i	1	-0,29+0,08i	0,194-0,41i

Multiplikation einer Matrix mit komplexen Zahlen mit einer reellen Zahl

Nach der Eingabe des Werts 2 in das Feld Koeff. und einem Klick auf die Schaltfläche Mul A multipliziert das Programm die Elemente der Matrix mit dem festgelegten reellen Faktor 2 und gibt aus:

Mit Faktor multiplizierte Matrix A·2:

-10+2i	2i	-14+14i	4-12i
-10i	-4+12i	16-2i	0
-4+2i	2-2i	6+12i	0
2i	6+2i	6-10i	-4+4i

Norm, Rang, Dimension, minimales, maximales Element und Summe der

Diagonalelemente einer Matrix mit komplexen Zahlen

Wird die Schaltfläche |A| bedient, so gibt das Programm für Matrix A aus:

Norm der Matrix A: Norm(A) = 13,49074

Rang der Matrix A: Rang(A) = 4

Dimension der Matrix A: Dim(A) = 4·4

Minimales/maximales Element der Matrix A:

Min(A) = -7+7i
Max(A) = 8-i

Summe der Diagonalelemente der Matrix A: Sum(A) = -6+15i

Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

Multipl. der Elemente zweier Matrizen C = A. · B

-11-3i	1+i	-42i	4-12i
-30	8-4i	0	0
4+8i	-6-6i	18-9i	0
2+8i	14+8i	14+56i	24i

Division einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

Um eine Division aller einzelner Elemente der Matrix A durch die entsprechenden Elemente der Matrix B durchzuführen wird ein Klick auf die Schaltfläche A. / B ausgeführt und das Programm gibt für Matrix C aus:

Division der Elemente zweier Matrizen C = A. / B

-1,8+1,4i	-0,5+0,5i	2,3333	1-3i
0,8333	-2-4i	1,824-0,706i	0
-0,25-0,5i	0,1667+0,167i	-2+1i	0
-0,0294+0,117i	0,6154+0,077i	-0,571+0,143i	-0,333

Addition zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A + B sowie der Durchführung einer Addition der Matrizen A und B gibt das Programm für Matrix C aus:

Additition zweier Matrizen C = A + B:

-3+2i	1	-10+10i	4-6i
-11i	-3+5i	12	-5+5i
-2-3i	1-7i	3+3i	5
8-i	8+2i	-4+2i	4-4i

Subtraktion zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

Die Subtraktion der Matrix B von Matrix A wird nach einem Klick auf die Schaltfläche A - B durchgeführt. Für die resultierende Matrix C gibt das Programm aus:

Subtraktion zweier Matrizen C = A - B:

-7	-1+2i	-4+4i	-6i
i	-1+7i	4-2i	5-5i
-2+5i	1+5i	3+9i	-5
-8+3i	-2	10-12i	-8+8i

Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Zahlen (Matrizenprodukt)

Bei Durchführung einer Multiplikation der Matrizen A und B, gibt das Programm einem Klick auf die Schaltfläche A · B für Matrix C aus:

Multiplikation zweier Matrizen C = A · B:

27-27i	55+19i	60+63i	-74-16i
37-30i	-3-57i	-2+13i	20-55i
13-18i	33-15i	26-21i	11+42i
-27-8i	-43-13i	-7-33i	-5+11i

Division zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A / B sowie der Durchführung einer Division der Matrizen B durch A gibt das Programm für die resultierende Matrix C aus:

Division zweier Matrizen C = A/B:

1,344+1,178i	-0,31-0,753i	-0,632-0,755i	0,329-0,803i
-2,548-1,84i	0,408-0,528i	-0,399+0,078i	0,656+0,425i
1,377-0,62i	-0,335-0,492i	-0,457+0,253i	-0,315-0,452i
-1,123+0,53i	-0,254+0,175i	0,085+0,577i	-0,065-0,031i

Weitere Screenshots zu diesem Modul

MathProf - Matrix - Matrizen - Quadrieren - Rechner - Transformation - Element - Berechnen - Algebra - Normieren - Produkt - Diagonalelemente - Potenz - Beispiel - Determinante - Eigenvektor - Eigenwerte - Dividieren - Matrizenrechnung - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren

Sarrus-Regel

Die Determinante einer quadratischen 3x3-Matrix kann gemäß der Sarrus-Regel berechnet werden. Hierbei wird die Summe der Produkte der Hauptdiagonalen von der Summe der Produkte der Nebendiagonalen subtrahiert.

Sarrus-Regel:

Beispiel:

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Matrizen sowie unter Wikipedia - Eigenwertproblem zu finden.

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Algebra

Cramersche Regel - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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