MathProf - Matrizen - Determinanten - Eigenvektoren - Eigenwerte

MathProf - Mathematik-Software - Lineare Algebra | Komplexe Matrix | Dividieren | Addieren

Fachthemen: Matrizen, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren

MathProf - Lineare Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Ein Programm, welches als unter anderem als Begleiter beim Maschinenbau-Studium oder Elektrotechnik-Studium zur Lösung anspruchsvoller Aufgaben sowie zur Erlangung tiefergreifenden Fachwissens der Mathematik eingesetzt werden kann.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Matrizen | Komplexe Matrix | Dividieren | Addieren

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung verschiedener Matrixoperationen mit quadratischen Matrizen.

Durch den in diesem Unterprogramm
integrierten Matrizenrechner erfolgt unter anderem das Berechnen der Eigenwerte einer Matrix sowie derer Eigenvektoren und die Durchführung der Matrizenaddition, der Matrizeninversion, der Matrizenmultiplikation mit zwei Matrizen. Auch das Berechnen der Determinante der entsprechenden Matrix wird vom implementierten Rechner ausgeführt.

Des Weiteren kann die Ausführung der Singulärwertzerlegung (SVD) von Matrizen veranlasst werden. Zudem werden der Rang einer Matrix sowie die Norm einer Matrix (Matrixnorm) ermittelt.

Neben vielen anderen Arten der Matrizenberechnung bestehen in diesem Modul folgende Möglichkeiten Operationen mit Matrizen durchführen zu lassen:

Matrizen addieren, Matrizen subtrahieren, Matrizen multiplizieren, Matrizen dividieren, Matrizen quadrieren, Matrizen potenzieren, Matrizen diagonalisieren, Matrizen transponieren, Matrizen lösen, Matrizen normieren und Matrizen invertieren.

Die Praktizierung der Inversion einer Matrix erfolgt mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus. Zudem kann die Skalarmultiplikation von Matrizen mit reellen Zahlen sowie die Bildung vom Exponential dieser veranlasst werden.


Auch die Berechnung einer Matrix mit komplexen Zahlen wird ermöglicht. Die vom Programm ermittelten numerischen Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte I zu diesem Modul:

Matrizen - Matrix - Determinante - Eigenwert - Eigenvektor - Determinanten - Eigenwerte - Eigenvektoren - Eigenwertberechnung - Eigenwertbestimmung - Rechenoperationen mit Matrizen - Matrizenrechnung - Matrizen berechnen - Matrix berechnen - Matrix lösen - Determinanten berechnen - Matrizenrechner - Matrizengleichung - Inverse Matrix - Komplexe Matrizen - Matrix invertieren - Matrix transponieren - Matrix diagonalisieren - Matrizen quadrieren - Matrizen addieren - Matrizen subtrahieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen dividieren - Matrizen transponieren - Zum Quadrat - Matrizen potenzieren - Matrizen invertieren - Invertierte Matrix - Kehrmatrix - Transponierte Matrix - Potenzierte Matrix - Potenzieren von Matrizen - Matrizenrang - Matrix normieren - Norm einer Matrix - Bestimmung der Matrixnorm - Rangbestimmung - Matrixtransformation - Rang einer Matrix - Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix - Quadratische Matrizen - Ermittlung vom Matrizenrang - Eigenwerte von Matrizen - Eigenvektoren einer Matrix - Eigenwerte einer Matrix - Determinante einer Matrix berechnen - Matrixelemente - Matrixprodukt - Ermittlung der Dimension einer Matrix - Potenzieren einer Matrix - Quadrieren einer Matrix - Matrixmultiplikation - Matrizenberechnung - Hoch - Hoch 2 - Hoch 3 - Hoch 4 - Hoch 5 - Matrix A - Matrix B - Det - Det A - Det B - Zahl - Division - Subtraktion - Mal Vektor - Mal Zahl - Mal - Durch - Plus - Minus - Orthogonale Matrix - Rechnen mit Matrizen - Komplexe Matrix - Komplexe Eigenwerte - Komplexe Eigenvektoren - Matrizeninversion - Matrizenmultiplikation - Eigenwertproblem - SVD - Matrix mal Matrix - Singulärwertzerlegung einer Matrix - Einheitsmatrix - Exponential einer Matrix - Matrixexponential - Matrizen lösen - Produktmatrix - Vektoren - Spaltenvektor - Zeilenvektor - Matrix erstellen - Hoch - Rechenweg - Algebra - Element - Zeile - Spalte - 3x3 Matrix - 4x4 Matrix - 5x5 Matrix - nxn-Matrix - nxn-Determinante - Diagonalform - Matrixpotenz - Stochastische Matrix - Übergangsmatrix - Prozessmatrix - Stochastische Matrizen - Prozessmatrizen - 2x2 Determinante berechnen - 3x3 Determinante berechnen - 4x4 Determinante berechnen - 5x5 Determinante berechnen - 6x6 Determinante berechnen - Übungen - Übungsaufgaben - Üben - Aufgaben - Lösungen - Singularität - Regularität - Zweireihige Determinanten - Dreireihige Determinanten - Mehrreihige Determinanten - Übergangsmatrizen - Inverse Matrix bilden - Transponierte Matrix bilden - Transformation einer Matrix - Eigenvektoren berechnen - Zwei Matrizen - Matrizennorm - Matrizenoperationen - Rechenoperationen mit Matrizen - Antisymmetrische Matrix - Dreiecksmatrix - Diagonale Matrix - Obere Dreiecksmatrix - Untere Dreiecksmatrix - Obere und untere Dreiecksmatrix - Diagonalmatrix invertieren - Dreiecksmatrix invertieren - Hauptdiagonale - Nebendiagonale - Laplacescher Entwicklungssatz - Laplace - Unterdeterminante - Algebraisches Komplement - Adjunkte - Matrixexponential - Matrixexponentialfunktion

  

Themen und Stichworte II zu diesem Modul:

Matrix quadrieren - Quadratische Matrix invertieren - Symmetrische Matrix invertieren - Homogene Matrix invertieren - Matrizen faktorisieren - Faktorisierung einer Matrix - Eigenwerte berechnen - Reelle Eigenwerte - Operationen - Komplexe Eigenwerte - Komplexe Eigenvektoren - Reguläre Matrix - Singuläre Matrix - Elementarmatrizen - Elementarmatrix - Nullmatrix - Matrixnorm - Matrizenprodukt - Matrizendivision - Skalarmultiplikation von Matrizen - Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar - Modul zur Lösung von Eigenwertproblemen - Eigenvektoren bestimmen - Eigenvektoren berechnen - Schiefsymmetrische Matrix berechnen - Eigenvektoren einer Matrix - Eigenwerte einer Matrix - Berechnung von Matrizen - Invertierung einer Matrix - Elementarmatrizen berechnen - Eigenwerte einer Matrix bestimmen - Numerische Berechnung von Eigenwerten - Invertierung von Matrizen - Inverse symmetrische Matrix - Komplexe Matrix - Det Rechner - Det berechnen - Symmetrische Matrix - Determinante bestimmen - Jacobi-Verfahren - Eigenschaften - Mehrere Matrizen - Rechteckige Matrix - Erklärung - Beschreibung - Definition - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Bestimmen - Bestimmung - Berechnen - Rechner - Komplex - Plotten - Plotter - Präsentation - Produkt - Determinante entwickeln - Singulärwertzerlegung - Matrixpotenz - Vektor - Matrizen lösen - Matrizen zum Lösen linearer Gleichungssysteme - Matrix mal Vektor - Matrix mal - Matrix plus - Matrix minus - Matrix durch - Matrixrechnung - Dreiecksmatrizen - Quadratische Form einer Matrix - Quadratische Matrix - Komponentenweise Addition - Komponentenweise Multiplikation - Lösung - Berechnung - Spalten - Zeilen - Spaltenanzahl - Zeilenanzahl - Zeilensumme - Spaltensumme - Anzahl - Symmetrisch - Asymmetrisch - Matrix umformen - Matrizen umformen - Rang einer Matrix bestimmen - Inverse Matrix bestimmen - Formel - Schreibweise - Sarrus-Regel - Regel von Sarrus - Hauptdiagonale - Nebendiagonale - Inverse komplexe Matrix - Determinantenberechnung - Eigenschaften - Vektoren - Addition von Matrizen - Matrizenaddition - Multiplikation von Matrizen - Rechengesetze - Rechenregeln - Einheitsmatrix - Zeilenindex - Spaltenindex - Transponierte Matrix - Gleichheit - Definit - Definitheit - Positiv definit - Semidefinit - Negativ definit - Negativ semidefinit - Indefinit - Minorantenkriterium - Hauptminoren - Minor - Minoren - Diagonalmatrix - Kommutativgesetz - Assoziativgesetz - Gesetze - Regeln

 
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Matrizen - Determinanten


MathProf - Matrix - Matrizen - Eigenwerte - Eigenvektoren - Matrizenrechnung - Matrizenaddition - Matrizenmultiplikation - Determinante - Transponierung - Beispiel - Matrizenrechner - Komplexe Matrizen - Matrizeninversion - Inverse Matrix - Addieren - Multiplizieren - Dividieren - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Determinante berechnen - Singulärwertzerlegung - Skalarmultiplikation - Rechner - Berechnen - Invertierung - Invertieren - Potenzierung - Potenzieren - Faktorisierung - Multiplikation - Division - Multiplizieren -  Beispiel - Matrizenrechner - Komplexe Matrix
Modul Matrizen


 
Das Unterprogramm [Algebra] - Matrizen ermöglicht die Durchführung von Matrizenrechnungen (Operationen) mit quadratischen Matrizen.

 

MathProf - Matrizen - Matrix - Eigenwerte - Eigenvektoren - Inversion - Potenz - Matrizenrechnung - Determinante - Matrizenprodukt - Matrizenaddition - Matrizenmultiplikation - Matrizenrechner - Determinante - Inverse Matrix - Komplexe Matrizen - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Matrizenaddition - Determinante berechnen - Singulärwertzerlegung - Skalarmultiplikation - Beispiel - Rechner - Berechnen
 

Dieser Matrizenrechner bietet hierbei sowohl die Möglichkeit der Durchführung von Operationen (Berechnungen) mit quadratischen Matrizen reeller Zahlen, wie auch der Ausführung von Operationen (Berechnungen) mit komplexen Zahlen. Eine Übersicht durchführbarer Operationen wird nachfolgend gezeigt.
 

1. Matrixoperationen mit Matrizen reeller Zahlen



Grundoperationen mit einer Matrix:

  • Transponierung einer Matrix (Transponierte Matrix)
  • Invertierung einer Matrix (Inverse Matrix - Matrizeninversion)
  • Potenzierung einer Matrix (Potenzierte Matrix)
  • Faktorisierung einer Matrix (Faktorisierte Matrix)
  • Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (Matrixmultiplikation)

Erweiterte Operationen mit einer Matrix:

  • Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix
  • Bildung des Exponentials einer Matrix
  • Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)
  • Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix: Norm einer Matrix,  Rang einer Matrix, Dimension einer Matrix, maximales und minimales Element einer Matrix, Summe der Diagonalelemente einer Matrix
  • Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
  • Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

Operationen mit zwei Matrizen:

  • Addieren zweier Matrizen (Matrizenaddition)
  • Subtrahieren zweier Matrizen(Matrizensubtraktion)
  • Multiplizieren zweier Matrizen (Matrizenprodukt)
  • Dividieren zweier Matrizen (Matrizendivision)
     
  • Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen
  • Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein)

2. Matrixoperationen mit Matrizen komplexer Zahlen


Grundoperationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

  • Transponierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Invertierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Potenzierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Faktorisierung einer Matrix komplexer Zahlen
  • Multiplikation einer Matrix mit einer reellen oder komplexen Zahl (Skalarmultiplikation)

Erweiterte Operationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

  • Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix komplexer Zahlen
  • Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix komplexer Zahlen (Norm,  Rang, Dimension, maximales und minimales Element, Summe der Diagonalelemente)
  • Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix komplexer Zahlen

Operationen mit zwei Matrizen komplexer Zahlen:

  • Addition zweier Matrizen komplexer Zahlen
  • Subtraktion zweier Matrizen komplexer Zahlen
  • Multiplikation zweier Matrizen komplexer Zahlen (Matrixmultiplikation)
  • Division zweier Matrizen komplexer Zahlen
     
  • Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen (Matrizenprodukt)
  • Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein) 
 

Matrizen - Grundlegendes - Definition - Schreibweise

 
Definition einer Matrix:

Aus einer Matrix vom Typ (m,n) wird ein aus m·n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema verstanden, welches m waagerecht angeordnete Zeilen und n senkrecht angeordnete Spalten besitzt.


MathProf - Matrix - Matrizen - Definition - Zeile - Spalte
Bezeichnungen:

aik: Matrixelement
i: Zeilenindex (i = 1,2,3 ... m)
j: Spaltenindex (j = 1,2,3 ... n)

Spezielle quadratische Matrizen:

Zeilenmatrix: Matrix, welche nur eine Zeile besitzt
Spaltenmatrix: Matrix, welche nur eine Spalte besitzt
Nullmatrix: Matrix bei welcher alle Elemente Null sind
Quadratische Matrix: Matrix mit gleich vielen Spalten und Zeilen
Rechteckige Matrix: Matrix mit n Spalten und m Zeilen, mit m ≠ n
Transponierte Matrix: Matrix bei welcher Zeilen und Spalten miteinander vertauscht sind


Diagonalmatrix:
 


MathProf - Diagonalmatrix - Rechner - Berechnen

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, bei welcher alle außerhalb der Diagonale liegenden Elemente verschwinden (gleich Null sind).

Einheitsmatrix:



MathProf - Einheitsmatrix - Rechner - Berechnen

Eine Einheitsmatrix ist eine Matrix, bei welcher alle auf der Diagonale liegenden Elemente den Wert 1 besitzen.

Dreiecksmatrix:
 


MathProf - Dreiecksmatrix - Rechner - Berechnen

MathProf - Dreiecksmatrix - Rechner - Berechnen - Definition
Eine Dreiecksmatrix ist eine Matrix, bei welcher alle oberhalb oder unterhalb der Diagonale liegenden Elemente verschwinden (gleich Null sind).

Symmetrische Matrix:

Eine symmetrische Matrix ist eine Matrix, bei welcher alle Elemente spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet sind.

Schiefsymmetrische Matrix (antisymmetrische Matrix):

Eine schiefsymmetrische Matrix (antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, bei welcher alle Elemente auf der Hauptdiagonalen verschwinden (gleich Null sind).

 
Gleichheit:

Zwei Matrizen A(i,k) und B(i,k) heißen gleich, wenn sie in all ihren Elementen übereinstimmen.

Zeilenvektor - Spaltenvektor:

Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte werden Vektoren genannt. Eine einzelne Zeile einer Matrix wird als Zeilenvektor bezeichnet. Eine einzelne Spalte einer Matrix trägt die Bezeichnung Spaltenvektor. Die Summe aller Werte einer Zeile heißt Zeilensumme. Die Summe aller Werte einer Spalte heißt Spaltensumme.
 
Reguläre Matrix - Singuläre Matrix (Singularität - Regularität):

Eine quadratische, n-reihige Matrix A heisst regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Ist dies nicht der Fall so heisst sie singulär.

 
Inverse Matrix
:

Zu jeder regülären Matrix existiert maximal eine inverse Matrix. Reguläre Matrizen lassen sich umkehren. Sie werden als inverse Matrizen bezeichnet. Die zu A inverse Matrix trägt die Bezeichnung A-1. Es gilt:

A·A-1 = A-1·A = E


MathProf - Inverse Matrix - Definition - Rechner
 
Eine reguläre Matrix ist nur dann umkehrbar (besitzt dann eine inverse Matrix), wenn det A ≠ 0. Das Bilden einer inversen Matrix wird auch Inversion genannt bzw. mit dem Begriff invertieren beschrieben.

 
Rang einer Matrix:

Der Rang einer Matrix A vom Typ (m,n) beschreibt die höchste Ordnung r aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A.
Schreibweise: RG(A) = r
 

Matrixexponential - Matrixexponentialfunktion:

 
Als Matrixexponential oder Matrixexponentialfunktion wird eine Funktion in Form einer Menge quadratischer Matrizen charakterisiert die gleichbedeutend zur gewöhnlichen Exponentialfunktion definiert ist. Sie besitzt nachfolgend gezeigte Gestalt.


MathProf - Matrixexponential - Matrixexponentialfunktion

   

Matrizen - Rechengesetze - Rechenregeln - Definitionen

 
Nachfolgend aufgeführt sind die für Matrizen geltenden Rechengesetze (Rechenregeln).
 

A + B = B + A    (Kommutativgesetz)
(A + B ) + C = A + (B + C)   (Assoziativgesetz)
 

A + 0 = A
(A
· B ) · C = A · (B · C)
(αA)
· = A · (αB ) = α· (A · B)
C
· (A + B ) + C = C · A + C · B
(A + B )
· C = A· C + B · C
(A
· B )t = Bt · At

Für quadratische Matrizen gilt zudem:

A · I = I · A = A

Für alle Matrizen gilt:

A · B B · A

Matrizengleichung:
Als Matrizengleichungen werden Gleichungen bezeichnet, bei welcher die Elemente einer unbestimmten Matrix zu ermitteln sind.

 

Stochastische Matrix - Übergangsmatrix - Prozessmatrix

 
Eine Übergangsmatrix wird verwendet, um die Übergangswahrscheinlichkeiten von Markow-Ketten zu formulieren. Übergangsmatrizen sind quadratische Matrizen, bei denen alle Zeilensummen und Spaltensummen den Wert Eins besitzen. Alle ihre Elemente besitzen Werte zwischen Null und Eins. Mit Hilfe derartiger Matrizen lässt sich das Eintreten zukünftiger Zustände im Voraus berechnen. Matrizen dieser Art werden auch mit dem Begriff stochastische Matrix bezeichnet. Prozessmatrizen sind ebenfalls Matrizen die zur Berechnung zukünftiger dynamischer Entwicklungen verwendet werden. Matrizen dieser Art benötigen jedoch keine Zeilen- bzw. Spaltensummen von 1.
 

Determinanten

 
Definition einer Determinante:

Bei Determinanten handelt es sich um reelle Zahlen, welche quadratischen Matrizen aufgrund bestimmter Rechenvorschriften zugeordnet werden.


MathProf - Deteminante - Definition - Rechner

aik: Elemente der Determinante (i, k = 1, 2, 3 ... n)

Eine Determinante ist eine Funktion von n x n Veränderlichen, die als quadratisches Schema geschrieben wird. Die in einer Reihe nebeneinander stehenden Elemente bilden ein n-Tupel, welches als Zeile einer Determinante bezeichnet wird. Die aus den in einer Reihe untereinander stehenden Elementen gebildeten m-Tupel sind die Spalten der Determinante.
 
Dreireihige Determinanten:

Die dreireihige Determinante einer Matrix besitzt den Wert:


MathProf - Dreireihige Determinante - Lösung - Berechnen

Determinanten dreireihiger Matrizen können nach folgendem Schema, der Regel von Sarrus, errechnet werden:

MathProf - Regel von Sarrus - Determinante - Rechner

Hierbei werden die beiden ersten Spalten der 3-reihigen Determinante rechts an die Determinante gesetzt. Der Determinantenwert wird ermittelt, indem die drei Hauptdiagonalenprodukte (+) addiert und hiervon die drei Nebendiagonalenprodukte (-) subtrahiert werden. Die Hauptdiagonalen verlaufen von links oben nach rechts unten. Die Nebendiagonalen von links unten nach rechts oben.

Es gilt:
 
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a11a21a33    

In Worten: Summe der Produkte der Hauptdiagonalen minus Summe der Produkte der Nebendiagonalen.
 

Beispiel:

MathProf - Sarrus-Regel 3

MathProf - Sarrus-Regel 4


Eigenschaften einer Determinante:
 

  • Eine Determinante ist in jeder ihrer Zeilen linear
  • Beim Vertauschen zweier Zeilen ändert die Determinante ihr Vorzeichen
  • Beim Vertauschen der Zeilen mit den Spalten ändert die Determinante ihr Vorzeichen nicht
  • Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn zu einer Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addiert wird
  • Eine Determinante besitzt den Wert Null, wenn eine Zeile lediglich aus Nullen besteht, oder wenn zwei Zeilen identisch sind (wenn die Elemente einer Reihe zu einer parallelen Peihe proportional sind)


Unterdeterminanten:

Eine Unterdeterminante entsteht durch das Streichen von k beliebigen Zeilen und k beliebigen Spalten einer n-reihigen Determinante. Hierbei entsteht eine (n-k)-reihige Determinante, welche als (n-k)-te Unterdeterminante der ursprünglichen Determinante bezeichnet wird.

Eigenvektor - Eigenwert:

Beim Eigenvektor einer Abbildung handelt es sich in der linearen Algebra um einen Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird somit lediglich skaliert und nicht verändert. Er darf kein Nullvektor sein. Der hierbei zugrunde liegende Skalierungsfaktor wird als Eigenwert der Abbildung bezeichnet. Die Eigenwerte einer Matrix lassen sich als Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms berechnen.

 

Algebraisches Komplement  - Adjunkte:

Werden die i-te Zeile und die j-te Spalte einer Determinante gestrichen, so erhält man eine Unterdeterminante (n-1)-ter Ordnung. Wird diese Unterdeterminante mit einem Vorzeichen (-1)j+i versehen, so wird diese Größe das algebraische Komplement oder Adjunkte des Elements aij genannt. Sie wird mit Aij bezeichnet.

Eine Determinante kann nach den Elementen einer beliebigen Zeile entwickelt werden:

D = ai1 · Ai1+ ai2 · Ai2 + ai3 · Ai3 + ... ain · Ain



Laplacescher Entwicklungssatz:

Mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes lässt sich eine Determinante nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln.

Bei der Entwicklung nach den Elementen der i-ten Zeile gilt:


MathProf - Laplace - Laplacescher Entwicklungssatz - Determinante - Rechner

Bei der Entwicklung nach den Elementen der k-ten Spalte gilt:

MathProf - Laplace - Laplacescher Entwicklungssatz - Determinante - Rechner

Aik = (-1)i+k·Dik

Aik: Algebraisches Komplement von aik in D
Dik: (n-1)-reihige Unterdeterminante von D


Regeln zum Rechnen mit Determinanten:

Der Werte einer n-reihigen Determinante ändert sich nicht, wenn eine der nachfolgenden Umformungen mit ihr durchgeführt wird:

1. Besitzen alle Elemente einer Zeile oder Spalte einen gemeinsamen Faktor
λ, so darf dieser vor die Deteminante gezogen werden.

2. Wird zu einer Zeile bzw. Spalte einer Determinante ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile bzw. Spalte addiert, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.

3. Zwei Zeilen oder Spalten einer Determinante dürfen vertauscht werden, wenn das Vorzeichen der Determinante geändert wird.

 

Hinweise zur Definitheit einer Matrix

 
Definitheit einer Matrix:

Durch die Bestimmung der Definitheit wird ermittelt, welche Vorzeichen eine reelle quadratische Form annehmen kann, die durch eine Matrix erzeugt wurde. Durch die Untersuchung, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist kann geprüft werden, ob entsprechende Bedingungen erfüllt werden. Besitzt eine Matrix weder eine positive noch eine negative Definitheit oder Semidefinitheit, so wird sie als indefinit bezeichnet. Unter anderem erfolgt durch deren Ermittlung bei der Bestimmung lokaler, mehrdimensionaler Extremstellen die Kategorisierung hinsichtlich der Tatsache, ob es sich um Maxima oder Minima handelt. Zur Bestimmung der Definitheit von Matrizen existieren verschiedene Methoden. Die beiden meist angewandten sind die Eigenwertmethode sowie die Bestimmung des Hauptminorantenkriteriums.

Um zu untersuchen, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist, wird folgende Vorgehensweise angewandt:

Ist x ∈ Rn ein n-zeiliger Spaltenvektor und xT der zugehörige transponierte Zeilenvektor, so ist eine symmetrische Matrix A ∈ Rnxn unter Betrachtung der quadratischen Form:

positiv definit, falls xTAx > 0,
x ∈ Rn, x ≠ 0
positiv semidefinit, falls xTAx
0, x ∈ Rn, x ≠ 0
negativ definit, falls xTAx < 0,
x ∈ Rn, x ≠ 0
negativ semidefinit, falls xTAx
0, x ∈ Rn, x ≠ 0

mit:
x ∈ R: n-zeiliger Spaltenvektor
xT: transponierter Zeilenvektor

Um zu untersuchen, ob eine Matrix A ∈ Rnxn positiv definit, negativ definit, semidefinit oder indefinit ist, wird die Eigenwertmethode verwendet. Für A gilt:

alle
λi > 0: positiv definit
alle
λi ≥ 0: positiv semidefinit
alle
λi < 0: negativ definit
alle
λi ≤ 0: negativ semidefinit

Besitzt A sowohl positive, wie auch negative Eigenwerte, so ist die Matrix indefinit.


mit:
λi, i,1 ...,n

Details zur Definitheit sowie deren Bestimmung sind unter Wikipedia - Definitheit zu finden.
 

Bedienschaltflächen

 

Die Bedienung einer Schaltfläche in diesem Unterprogramm mit nachfolgend aufgeführten Bezeichnungen bewirkt:

 

A: Ausgabe einer Matrix A
AT: Transponierung einer Matrix A
A-1: Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix A
Det A: Ermittlung der Determinante einer Matrix A
Eig. A: Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix A
Min A: Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix A, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
|A|: Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix A
Exp A: Bildung des Exponentials Exp(A) einer Matrix A
A^n: Potenzierung einer Matrix A mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum A: Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix A
Mul A: Multiplikation aller Elemente einer Matrix A mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD A: Singulärwertzerlegung der Matrix A(SVD) → A = USV
     
B: Ausgabe einer Matrix B
BT: Transponierung einer Matrix B
B-1: Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix B
Det B: Ermittlung der Determinante einer Matrix B
Eig. B: Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix B
Min B: Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix B, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
|B|: Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix B
Exp B: Bildung des Exponentials Exp(B) einer Matrix B
B^n: Potenzierung einer Matrix B mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum B: Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix B
Mul B: Multiplikation aller Elemente einer Matrix B mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD B: Singulärwertzerlegung der Matrix B(SVD) → B = USV
       
A+B: Addition einer Matrix A und einer Matrix B → C = A+B
A-B: Subtraktion einer Matrix B von einer Matrix A → C = A-B
A·B: Multiplikation einer Matrix A mit einer Matrix B → C = A·B (Matrizenprodukt)
A/B: Division einer Matrix B durch eine Matrix A → C = A/B
   
A.·B: Multiplikation der Elemente Matrix A mit den Elementen einer Matrix B → C = A.·B
A./B: Division der Elemente Matrix B durch die Elemente einer Matrix A → C = A./B

 

Berechnung - Matrix-Operationen

 

Voraussetzungen:

 

Matrixelemente müssen durch (mindestens ein) Leerzeichen voneinander getrennt werden. Zwischen negativen Vorzeichen (Minuszeichen) und Zahlenwerten darf sich kein Leerzeichen befinden. Die Anzahl der Matrixelemente einer Reihe muss mit der Anzahl der Matrixelemente einer Zeile übereinstimmen (n x n - Matrix). Das Programm erkennt (bei korrekter Zahlenwerteingabe) die Dimension der Matrix automatisch, es ist hierfür nichts einzustellen. Zeilen sollten lückenlos von oben nach unten beschrieben werden. Als Dezimalseparatoren sind sowohl Punkt als auch Komma zugelassen. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten darf die Zahl 50 nicht überschreiten (max. 50 x 50 - Matrix).

 

Bei Berechnungen mit komplexen Zahlen gilt:

Zwischen dem Realteil und dem Imaginärteil einer komplexen Zahl darf sich kein Leerzeichen befinden (sondern lediglich die Zeichen + oder -). Das Programm erkennt automatisch, ob es Berechnungen mit komplexen Zahlen durchzuführen hat, oder nicht. Es ist hierfür nichts einzustellen. Besitzt eine komplexe Zahl keinen Realteil, so kann diese Zahl auf eine der folgenden Arten definiert werden: 0+3i oder 3i. Besitzt sie keinen Imaginärteil, so kann sie wie folgt definiert werden: 2+0i oder 2.
 

Sind o.a. Bedingungen erfüllt, so führen Sie Folgendes aus, um Berechnungen mit Matrizen durchführen zu lassen:

  1. Zur Ausführung von Operationen mit nur einer Matrix, definieren Sie deren Koeffizienten im Eingabebereich Matrix A bzw. Matrix B.
     
  2. Vor Durchführung der Potenzierung, oder der Multiplikation aller Elemente einer Matrix legen Sie im Eingabefeld Koeff. den Wert des Koeffizienten für die entsprechende Operation fest (auch die Eingabe komplexer Zahlenwerte ist möglich, z.B. 3+2i).
     
  3. Die Anzahl zu verwendender Dezimalstellen bei der Ausgabe von Ergebnissen bestimmen Sie durch die Wahl des gewünschten Werts aus der Auswahlliste Präzision (voreingestellt: 4).
     
  4. Bedienen Sie hierauf die entsprechende Schaltfläche zur Durchführung einer Operation, so gibt das Programm die Ergebnisse dieser im rechtsseitig angeordneten Ausgabefeld aus (sind nicht alle Ergebnisse zu sehen, so bedienen Sie den horizontalen bzw. vertikalen Rollbalken des Ausgabefelds).
     
  5. Sind die Ergebnisse im Ausgabefeld zu löschen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Löschen.
     
  6. Um die Eingaben der Werte für Matrix A oder Matrix B zu löschen, klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds, markieren dieses bei Gedrückthalten der linken Maustaste und einer Bewegung des Cursors von oben nach unten und bedienen hierauf die Taste Entf. Alternativ hierzu kann auch der Menübefehl Urzustand herstellen verwendet werden.
     
  7. Möchten Sie mit den Ergebniswerten einer ermittelten Matrix weitere Operationen durchführen, so markieren Sie diese im Ausgabefeld durch ein Gedrückthalten und eine anschließende Bewegung der linken Maustaste.

    Verwenden Sie hierauf die Tastenkombination Strg-C (Kopieren in Zwischenablage) und löschen Sie die Eingaben im entsprechenden links angeordneten Eingabefeld für Matrix A oder Matrix B. Klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds und benutzen Sie die Tastenkombination Strg-V (Einfügen aus Zwischenablage).

    Sofern die o.a. Voraussetzungen erfüllt sind, können hierauf weitere Operationen mit den Werten der zuletzt ermittelten Matrix durchgeführt werden. Das Programm formatiert kopierte Matrizen hierbei automatisch bei Durchführung einer nächsten Operation - es sind somit keine Veränderungen (Entfernung von Leerzeichen etc.) notwendig.

 
Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.

 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Beispiele


Beispiel 1 - Reelle Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

 

8 1 -7 -2
3 -2 8 0
-5 1 3 -4
6 0 -1 3

 

sowie Matrix B:

 

-4 1 -2 6
6 -1 4 -6
3 -4 -3 -3
-2 5 -8 -6

 

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.
 

  • Transponierung einer Matrix

  • Invertierung einer Matrix

  • Ermittlung der Determinante einer Matrix

  • Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

  • Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

  • Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer Matrix

  • Bildung des Exponentials einer Matrix

  • Potenzierung einer Matrix

  • Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix

  • Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

  • Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)

  • Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen

  • Division einzelner Elemente zweier Matrizen

  • Addition zweier Matrizen

  • Subtraktion zweier Matrizen

  • Multiplikation zweier Matrizen (Matrizenprodukt)

  • Division zweier Matrizen

Legen Sie hierfür alle Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

 


Transponierung einer Matrix

Wird ein Klick auf Schaltfläche AT  ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix AT ausgegeben:

Transponierte Matrix AT:

8 3 -5 -6
1 -2 1 0
-7 8 3 -1
-2 0 -4 3
 


Invertierung einer Matrix

Ein Klick auf die Schaltfläche A-1 bewirkt die Ausgabe der Inverse Inv(A) der Matrix A:

Inverse der Matrix A - Inv(A):

-0,5152 -0,4242 -0,3333 -0,7879
-4,9545 -4,2273 -2,5 -6,6364
-1,0455 -0,7727 -0,5 -1,3636
-1,3788 -1,1061 -0,8333 -1,697
 


Determinante einer Matrix

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Det A wird für die Determinante Det(A) der Matrix A ausgegeben:

Determinante der Matrix A: Det(A) = 66
 

 

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

 

Bei einer Bedienung der Schaltfläche Eig. A wird für die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A ausgegeben:


Eigenwerte der Matrix A:

 

11,28

-5,9862

6,8489

-0,1427

 

Eigenvektoren der Matrix A:

 

 -0,809 1 -0,7045 -0,6836
0,3393 1 0,3794 0,6703
-0,0283 0,1508 1 -0,7765
1 0,1657 -0,4041 -0,5247
 


Minimaler und maximaler Eigenwert einer Matrix

Nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Min A ermittelt das Programm für Matrix A:

Maximaler Eigenwert der Matrix A: Max. Eig(A) = 11,28

Zugehörige Eigenvektoren:
 

1

0,0689

-0,2607

-0,6932

 

Minimaler Eigenwert der Matrix A: Min. Eig(A) = -0,1427

Zugehörige Eigenvektoren:

 

0,1075

1

0,1918

0,2663

 


Norm, Rang, Dimension, minimales und maximales Element einer Matrix

Wird die Schaltfläche |A| bedient, so gibt das Programm für Matrix A aus:

Norm der Matrix A: Norm(A) = 17,08801

Rang der Matrix A: Rang(A) = 4

Dimension der Matrix A: Dim(A) = 4·4

Minimales/maximales Element der Matrix A:


Min(A) = -7
Max(A) = 8

 


Potenzierung einer Matrix

Wird der Wert 2 in das Feld Koeff. eingegeben und wird ein Klick auf die Schaltfläche A^n ausgeführt, so ermittelt das Programm für die mit 2 potenzierte Matrix A2:

Potenzierte Matrix A^(2):

114 -1 -67 6
-22 15 -13 -38
-28 -4 56 -14
-61 -7 36 25

 

 

Summe der Diagonalelemente einer Matrix

 

Für die Summe der Diagonalelemente der Matrix A gibt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Sum A aus:


Summe der Diagonalelemente der Matrix A: Sum(A) = 12

 

 

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

 

Nach der Eingabe des Werts 3 in das Feld Koeff. und einem Klick auf die Schaltfläche Mul A multipliziert das Programm die Elemente der Matrix mit dem festgelegten Faktor 3 und gibt aus:

Mit Faktor multiplizierte Matrix A·3:
 

24 3 -21 -6
9 -6 24 0
-15 3 9 -12
-18 0 -3 9

 

 

Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)

 

Wird ein Klick auf die Schaltfläche SVD A ausgeführt, gibt das Programm für die Matrix A aus:

 

Singulärwertzerlegung der Matrix A (SVD): A = USV

Matrix U:
 

-0,8243 0,0186 0,2318 -0,5162
0,2426 0,8482 -0,1769 -0,4363
0,4087 -0,0711 0,8707 -0,2641
0,3077 -0,5245 -0,396 -0,688

 

Matrix S:
 

13,0894 0 0 0
0 9,5784 0 0
0 0 5,377 0
0 0 0 0,0979


Matrix V:
 

-0,7453 0,6469 -0,1217 0,1058
-0,0688 -0,1826 0,2709 0,9426
0,6593 0,7273 -0,0056 0,1906
0,0716 -0,1385 -0,9549 0,2528

 

 

Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A. · B führt das Programm eine Multiplikation aller einzelner Elemente der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der Matrix B durch und gibt für Matrix C aus:

 

Multipl. der Elemente zweier Matrizen C = A. · B
 

-32 1 14 -12
18 2 32 0
-15 -4 -9 12
12 0 8 -18

 

 

Division einzelner Elemente zweier Matrizen

 

Um eine Division aller einzelner Elemente der Matrix A durch die entsprechenden Elemente der Matrix B durchführen zu lassen wird ein Klick auf die Schaltfläche A. / B ausgeführt und das Programm gibt für Matrix C aus:

 

Division der Elemente zweier Matrizen C = A. / B
 

-2 1 3,5 -0,3333
0,5 2 2 0
-1,6667 -0,25 -1 1,3333
3 0 0,125 -0,5

 

 

Addition zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A + B sowie der Durchführung einer Addition der Matrizen A und B gibt das Programm für Matrix C aus:


Additition zweier Matrizen C = A + B:
 

4 2 -9 4
9 -3 12 -6
-2 -3 0 -7
-8 5 -9 -3

 

 

Subtraktion zweier Matrizen

 

Die Subtraktion der Matrix B von Matrix A, wird nach einem Klick auf die Schaltfläche A - B durchgeführt. Für die resultierende Matrix C gibt das Programm aus:

 

Subtraktion zweier Matrizen C = A - B:
 

12 0 -5 -8
-3 -1 4 6
-8 5 6 -1
-4 -5 7 9

 


Multiplikation zweier Matrizen (Matrizenprodukt)

 

Bei Durchführung einer Multiplikation der Matrizen A und B gibt das Programm einem Klick auf die Schaltfläche A · B für Matrix C aus:

 

Multiplikation zweier Matrizen C = A · B:
 

-43 25 25 75
0 -27 -38 6
43 -38 37 -21
15 13 -9 -51

 

 

Division zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A / B, sowie der Durchführung einer Division der Matrizen B durch A gibt das Programm für Matrix C aus:

 

Division zweier Matrizen C = A/B:

 

8,1667 6,2917 1,8333 1,2917
-1 -0,125 -0,5 -0,625
-6,7121 -4,7803 -1,4242 -0,553
-3 -2,875 -0,5 -0,375
 


Beispiel 2 - Komplexe Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

 

-5+i i -7+7i 2-6i
-5i -2+6i 8-i 0
-2+i 1-i 3+6i 0
i 3+i 3-5i -2+2

 

sowie Matrix B:

 

2+i 1-i -3+3i 2
-6i -1-i 4+i -5+5i
-4i -6i 5 -3
8-2i 5+i -7+7i 6-6i

 

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.
 

  • Transponierung einer komplexen Matrix

  • Invertierung einer komplexen Matrix

  • Ermittlung der Determinante einer komplexen Matrix

  • Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer komplexen Matrix

  • Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer komplexen Matrix

  • Multiplikation einer komplexen Matrix mit einer reellen Zahl

  • Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer komplexen Matrix

  • Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer komplexen Matrix

  • Multiplikation einzelner Elemente zweier komplexen Matrizen mit komplexen Zahlen

  • Division einzelner Elemente zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

  • Addition zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

  • Subtraktion zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

  • Multiplikation zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen (Matrizenprodukt)

  • Division zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

Legen Sie hierfür alle komplexen Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

 


Transponierung einer Matrix mit komplexen Zahlen

Wird ein Klick auf Schaltfläche AT  ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix AT ausgegeben:

Transponierte Matrix AT:

-5+ -5i -2+i i
i -2+6i 1-i 3+i
-7+7i 8-i 3+6i  3-5i
2-6i 0 0 -2+2i

 


Invertierung einer Matrix mit komplexen Zahlen

 

Ein Klick auf die Schaltfläche A-1 bewirkt die Ausgabe der Inverse Inv(A) der Matrix A:
 

0,266-0,36i 0,45+0,123i -0,144-0,078i 0,173-0,986i
0,186-0,409i 0,44-0,101i -0,003-0,019i -0,037-1,005i
-0,026-0,079i 0,09-0,067i 0,044-0,087i -0,13-0,132i
0,435-0,006i 0,33+0,295i 0,118-0,226i 0,614-0,698i

 

Wird der Wert 3 in das Feld Koeff. eingegeben und wird ein Klick auf die Schaltfläche A^n ausgeführt, so ermittelt das Programm für die mit 3 potenzierte Matrix A3:
 

-75+274i -104+213i 516-53i -194-398i
-540-340i 298-19i -1403+421i 390-70i
112+14i -72+109i 309+123i -174-18i
-69+194i 85-217i -47+558i -52
 


Determinante einer Matrix mit komplexen Zahlen

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Det A wird für die Determinante Det(A) der Matrix A ausgegeben:

Determinante der Matrix A: Det(A) = 320-48i
 

 

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix mit komplexen Zahlen

 

Bei einer Bedienung der Schaltfläche Eig. A wird für die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A ausgegeben:

 

Eigenwerte der Matrix A:

 

0,4559+0,3403i
5,7661+3,7198i
8,0538+1,8026i
4,1682+9,1373i

 

Eigenvektoren der Matrix A:
 

0,91+0,26i 1 0,16-0,12i 0,59+0,71i
-0,26+0,61i 1 0,64-0,37i 0,205-0,5i
1  0,45+0,68i 0,03-0,12i -0,041-0,49i
-0,44+0,02i 1 -0,29+0,08i 0,194-0,41i

 

 

Multiplikation einer Matrix mit komplexen Zahlen mit einer reellen Zahl

 

Nach der Eingabe des Werts 2 in das Feld Koeff. und einem Klick auf die Schaltfläche Mul A multipliziert das Programm die Elemente der Matrix mit dem festgelegten reellen Faktor 2 und gibt aus:

 

Mit Faktor multiplizierte Matrix A·2:

 

-10+2i 2i -14+14i 4-12i
-10i -4+12i 16-2i 0
-4+2i 2-2i 6+12i 0
2i 6+2i 6-10i -4+4i

 

 

Norm, Rang, Dimension, minimales, maximales Element und Summe der

Diagonalelemente einer Matrix mit komplexen Zahlen

 

Wird die Schaltfläche |A| bedient, so gibt das Programm für Matrix A aus:

 

Norm der Matrix A: Norm(A) = 13,49074

Rang der Matrix A: Rang(A) = 4

Dimension der Matrix A: Dim(A) = 4·4

Minimales/maximales Element der Matrix A:


Min(A) = -7+7i
Max(A) = 8-i

Summe der Diagonalelemente der Matrix A: Sum(A) = -6+15i

 


Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A. · B führt das Programm eine Multiplikation aller einzelner Elemente der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der Matrix B durch und gibt für Matrix C aus:

 

Multipl. der Elemente zweier Matrizen C = A. · B
 

-11-3i 1+i -42i 4-12i
-30 8-4i 0 0
4+8i -6-6i 18-9i 0
2+8i 14+8i 14+56i 24i

 

 

Division einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Um eine Division aller einzelner Elemente der Matrix A durch die entsprechenden Elemente der Matrix B durchzuführen wird ein Klick auf die Schaltfläche A. / B ausgeführt und das Programm gibt für Matrix C aus:

 

Division der Elemente zweier Matrizen C = A. / B

 

-1,8+1,4i -0,5+0,5i 2,3333 1-3i
0,8333 -2-4i 1,824-0,706i 0
-0,25-0,5i 0,1667+0,167i -2+1i 0
-0,0294+0,117i 0,6154+0,077i -0,571+0,143i -0,333

 

 

Addition zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A + B sowie der Durchführung einer Addition der Matrizen A und B gibt das Programm für Matrix C aus:

 

Additition zweier Matrizen C = A + B:

 

-3+2i 1 -10+10i 4-6i
-11i -3+5i 12 -5+5i
-2-3i 1-7i 3+3i 5
8-i 8+2i -4+2i 4-4i

 

 

Subtraktion zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Die Subtraktion der Matrix B von Matrix A wird nach einem Klick auf die Schaltfläche A - B durchgeführt. Für die resultierende Matrix C gibt das Programm aus:

 

Subtraktion zweier Matrizen C = A - B:
 

-7 -1+2i -4+4i -6i
i -1+7i 4-2i 5-5i
-2+5i 1+5i 3+9i -5
-8+3i -2 10-12i -8+8i

 

 

Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Zahlen (Matrizenprodukt)

 

Bei Durchführung einer Multiplikation der Matrizen A und B, gibt das Programm einem Klick auf die Schaltfläche A · B für Matrix C aus:

 

Multiplikation zweier Matrizen C = A · B:

 

27-27i 55+19i 60+63i -74-16i
37-30i -3-57i -2+13i 20-55i
13-18i 33-15i 26-21i 11+42i
-27-8i -43-13i -7-33i -5+11i

 

 

Division zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A / B sowie der Durchführung einer Division der Matrizen B durch A gibt das Programm für die resultierende Matrix C aus:

 

Division zweier Matrizen C = A/B:
 

1,344+1,178i -0,31-0,753i -0,632-0,755i 0,329-0,803i
-2,548-1,84i 0,408-0,528i -0,399+0,078i 0,656+0,425i
1,377-0,62i -0,335-0,492i -0,457+0,253i -0,315-0,452i
-1,123+0,53i -0,254+0,175i 0,085+0,577i -0,065-0,031i
 
Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Matrix - Matrizen - Eigenwerte - Eigenvektoren - Matrizenrechnung - Matrizenaddition - Matrizenmultiplikation - Determinante - Transponierung - Beispiel - Matrizenrechner - Komplexe Matrizen - Matrizenmultiplikation - Matrizeninversion - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Determinante berechnen - Singulärwertzerlegung - Skalarmultiplikation - Rechner - Berechnen
 Beispiel 1

MathProf - Matrix - Matrizen - Invertierung - Invertieren - Potenzierung - Potenzieren - Faktorisierung - Multiplikation - Division - Multiplizieren - Dividieren - Beispiel - Determinante - Eigenvektoren - Eigenwerte - Matrizenrechnung - Matrizenrechner - Matrizenmultiplikation - Matrizeninversion - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren - Komplexe Matrizen - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Determinante berechnen - Singulärwertzerlegung - Skalarmultiplikation - Rechner - Berechnen
Beispiel 2

MathProf - Matrix - Matrizen - Exponential - Singulärwertzerlegung - Singulärwert - Eigenwerte - Eigenvektoren - Eigenschaften - Norm - Rang - Dimension - Beispiel - Determinante - Berechnen - Dividieren - Matrizenrechner - Matrizenrechnung - Matrizenmultiplikation - Matrizeninversion - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren - Komplexe Matrizen - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Determinante berechnen - Beispiel - Rechner - Einheitsmatrix - Exponential einer Matrix - Matrixexponential - Matrizen lösen - Produktmatrix - Vektoren - Spaltenvektor - Zeilenvektor - Matrix erstellen
Beispiel 3

MathProf - Matrix - Matrizen - SVD - Element - Transponierte Matrix - Inverse Matrix - Potenzierte Matrix - Faktorisierte Matrix - Multiplizierte Matrix - Beispiel - Determinante - Eigenvektoren - Eigenwerte - Berechnen - Dividieren - Matrizenrechnung - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren - Komplexe Matrizen - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Singulärwertzerlegung - Rechner - Matrix normieren - Norm einer Matrix - Bestimmung der Matrixnorm - Matrixtransformation - Rang einer Matrix - Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
Beispiel 4

MathProf - Matrix - Matrizen - Multiplikation - Multiplizieren - Elemente - Addieren - Subtrahieren - Addition - Subtraktion - Matrizenaddition - Matrizensubtraktion - Matrizenprodukt - Beispiel - Determinante - Eigenvektoren - Eigenwerte - Berechnen - Dividieren - Matrizenrechnung - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren - Komplexe Matrizen - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Singulärwertzerlegung - Beispiel - Rechner - Matrizen multiplizieren - Matrizen dividieren - Matrizen transponieren - Matrizen potenzieren - Matrizen invertieren - Invertierte Matrix - Kehrmatrix - Transponierte Matrix - Potenzierte Matrix
Beispiel 5

MathProf - Matrix - Matrizen - Matrizendivision - Komplexe Matrix - Auflösen - Berechnen - Eigenschaften - Lösen - Lernen - Ordnung - Operatoren - Beispiel - Determinante - Eigenvektor - Eigenwerte - Berechnen - Dividieren - Matrizenrechnung - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren - Quadratische Matrizen - Quadratische Matrix - Rang einer Matrix - Rechner- Transformation einer Matrix - Eigenvektoren berechnen - Rechenoperationen mit Matrizen
Beispiel 6

MathProf - Matrix - Matrizen - Quadrieren - Rechner - Transformation - Element - Berechnen - Algebra - Normieren - Produkt - Diagonalelemente - Potenz - Beispiel - Determinante - Eigenvektor - Eigenwerte - Dividieren - Matrizenrechnung - Inverse Matrix - Matrizen addieren - Matrizen multiplizieren - Matrizen addieren - Matrizen dividieren
Beispiel 7

   
Hinweise zu Übungen und Aufgaben
 
Dieses Modul eignet sich neben vielem anderem auch zum Üben bereits erlernter Kenntnisse zu diesem Fachthema. Übungsaufgaben lassen sich durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben erstellen und unmittelbar hierauf numerisch bzw. grafisch auswerten. Übungen zu diesem Themengebiet können somit auf einfache Weise praktiziert werden, oder dazu genutzt werden, die Lösungen gestellter Aufgaben zu überprüfen und zu analysieren.
 
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Matrizen sowie unter Wikipedia - Eigenwertproblem zu finden. 

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Cramersche Regel - Cramer-Regel - Lösungen - Determinante - Determinantenregel - 2 Variablen - Gleichungssystem   Grafisch lösen - Determinantenverfahren - Determinantenmethode - Plotter - Plotten - Bild - Beispiel - Rechner - Lösbarkeit - Matrix - Variablen - Formel - Grafik - Lösung - Lösen - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Zeichnen - Zeichnerisch
MathProf 5.0 - Unterprogramm Cramersche Regel



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

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Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0