MathProf - Matrizen - Determinanten - Eigenvektoren - Eigenwerte

Modul Matrizen

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Das Unterprogramm [Algebra] - Matrizen ermöglicht die Durchführung von Matrizenrechnungen (Operationen) mit quadratischen Matrizen.

 

 

Der in diesem Modul umgesetzte Matrizenrechner bietet hierbei sowohl die Möglichkeit der Durchführung von Operationen (Berechnungen) mit quadratischen Matrizen reeller Zahlen, wie auch der Ausführung von Operationen (Berechnungen) mit komplexen Zahlen. Eine Übersicht zu den mit diesem Programm durchführbaren Operationen ist im Folgenden zu finden.
 

Grundoperationen mit einer Matrix:

• Transponierung einer Matrix (Transponierte Matrix)
• Invertierung einer Matrix (Inverse Matrix - Matrizeninversion)
• Potenzierung einer Matrix (Potenzierte Matrix)
• Faktorisierung einer Matrix (Faktorisierte Matrix)
• Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (Matrixmultiplikation)

Erweiterte Operationen mit einer Matrix:

• Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix
• Bildung des Exponentials einer Matrix
• Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)
• Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix: Norm einer Matrix,  Rang einer Matrix, Dimension einer Matrix, maximales und minimales Element einer Matrix, Summe der Diagonalelemente einer Matrix
• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
• Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

Operationen mit zwei Matrizen:

• Addieren zweier Matrizen (Matrizenaddition)
• Subtrahieren zweier Matrizen(Matrizensubtraktion)
• Multiplizieren zweier Matrizen (Matrizenprodukt)
• Dividieren zweier Matrizen (Matrizendivision)
   
• Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen
• Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein)

 

Grundoperationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

• Transponierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Invertierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Potenzierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Faktorisierung einer Matrix komplexer Zahlen
• Multiplikation einer Matrix mit einer reellen oder komplexen Zahl (Skalarmultiplikation)

Erweiterte Operationen mit einer Matrix komplexer Zahlen:

• Ermittlung des Werts der Determinante einer Matrix komplexer Zahlen
• Ermittlung der Eigenschaften einer Matrix komplexer Zahlen (Norm,  Rang, Dimension, maximales und minimales Element, Summe der Diagonalelemente)
• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix komplexer Zahlen

Operationen mit zwei Matrizen komplexer Zahlen:

• Addition zweier Matrizen komplexer Zahlen
• Subtraktion zweier Matrizen komplexer Zahlen
• Multiplikation zweier Matrizen komplexer Zahlen (Matrixmultiplikation)
• Division zweier Matrizen komplexer Zahlen
   
• Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen (Matrizenprodukt)
• Division einzelner Elemente zweier Matrizen (kein Element der Matrix B darf 0 sein) 

   
Im folgenden sind Erläuterungen zu wichtigen Grundbegriffen zu diesem Fachthema aufgeführt.
 

 
Definition einer Matrix:

Aus einer Matrix vom Typ (m,n) wird ein aus m·n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema verstanden, welches m waagerecht angeordnete Zeilen und n senkrecht angeordnete Spalten besitzt.
 


Bezeichnungen:

a_ik: Matrixelement
i: Zeilenindex (i = 1,2,3 ... m)
j: Spaltenindex (j = 1,2,3 ... n)


Spezielle quadratische Matrizen:

Zeilenmatrix: Eine Zeilenmatrix ist eine Matrix, welche nur eine Zeile besitzt
Spaltenmatrix: Eine Spaltenmatrix ist eine Matrix, welche nur eine Spalte besitzt
Nullmatrix: Eine Nullmatrix ist eine Matrix bei welcher alle Elemente Null sind
Quadratische Matrix: Eine quadratische Matrix ist eine Matrix mit gleich vielen Spalten und Zeilen
Rechteckige Matrix: Eine rechteckige Matrix ist eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen, mit m ≠ n
Transponierte Matrix: Eine transponierte Matrix ist eine Matrix bei welcher Zeilen und Spalten miteinander vertauscht sind. Das Durchführen einer Vertauschung dieser Art wird als das Transponieren einer Matrix bezeichnet.


Diagonalmatrix:
 



Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, bei welcher alle außerhalb der Diagonale liegenden Elemente verschwinden (gleich Null sind). Eine Matrix dieser Art wird auch als Diagonalform einer Matrix bezeichnet.


Einheitsmatrix:




Eine Einheitsmatrix ist eine Matrix, bei welcher alle auf der Diagonale liegenden Elemente den Wert 1 besitzen.


Dreiecksmatrix:
 




 
Eine Dreiecksmatrix ist eine Matrix, bei welcher alle oberhalb oder unterhalb der Diagonale liegenden Elemente verschwinden (gleich Null sind).

Symmetrische Matrix: Eine symmetrische Matrix ist eine Matrix, bei welcher alle Elemente spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet sind.

Schiefsymmetrische Matrix (antisymmetrische Matrix): Eine schiefsymmetrische Matrix (antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, bei welcher alle Elemente auf der Hauptdiagonalen verschwinden (gleich Null sind).

Reguläre Matrix - Singuläre Matrix (Singularität - Regularität): Eine quadratische, n-reihige Matrix A heisst regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Ist dies nicht der Fall so heisst sie singulär.
 
Inverse Matrix (Kehrmatrix): Zu jeder regulären Matrix existiert maximal eine inverse Matrix (Kehrmatrix). Reguläre Matrizen lassen sich umkehren. Sie werden als inverse Matrizen bezeichnet. Die zu A inverse Matrix heißt invertierte Matrix und trägt die Bezeichnung A^-1. Es gilt:

A·A^-1 = A^-1·A = E


 
Eine reguläre Matrix ist nur dann umkehrbar (besitzt dann eine inverse Matrix), wenn det A ≠ 0. Das Bilden einer inversen Matrix wird auch Inversion genannt bzw. mit dem Begriff invertieren beschrieben.

Invertierbare Matrix - Invertierbare Matrizen:
Eine Matrix A mit n x n Elementen wird als invertierbar bezeichnet, wenn eine inverse Matrix A^-1 mit der gleichen Anzahl an Elementen existiert, so dass gilt: A· A^-1 = A^-1· A = E_n. E_n ist die Einheitsmatrix.
 

Matrixexponential - Matrixexponentialfunktion: Als Matrixexponential oder Matrixexponentialfunktion wird eine Funktion in Form einer Menge quadratischer Matrizen charakterisiert die gleichbedeutend zur gewöhnlichen Exponentialfunktion definiert ist. Sie besitzt nachfolgend gezeigte Gestalt.

 

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Nachfolgend wird auf die Bedeutung weiterer Fachbegriffe zu diesem Thema eingegangen:

Matrizenrechnung: Als Matrizenrechnung wird das Rechnen mit Matrizen bezeichnet.  Matrizenrechnung stellt ein Kerngebiet der linearen Algebra dar und umfasst unter anderem die Addition und Subtraktion von Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar. Sie wird unter anderem dafür eingesetzt, lineare Abbildungen darzustellen sowie lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.

Zeilenvektor - Spaltenvektor: Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte werden Vektoren genannt. Eine einzelne Zeile einer Matrix wird als Zeilenvektor bezeichnet. Eine einzelne Spalte einer Matrix trägt die Bezeichnung Spaltenvektor. Die Summe aller Werte einer Zeile heißt Zeilensumme. Die Summe aller Werte einer Spalte heißt Spaltensumme.
 
Gleichheit zweier Matrizen: Zwei Matrizen A(i,k) und B(i,k) heißen gleich, wenn sie in all ihren Elementen übereinstimmen.

Matrixmultiplikation - Matrizenmultiplikation: Die Durchführung einer Multiplikation zweier Matrizen wird als Matrixmultiplikation oder Matrizenmultiplikation bezeichnet. Es handelt sich um die multiplikative Verknüpfung von Matrizen.

Elementarmatrix - Elementarmatrizen: Als Elementarmatrix wird eine quadratische Matrix bezeichnet, die sich entweder durch die Änderung eines einzigen Werts oder durch das Vertauschen zweier Zeilen von einer Einheitsmatrix unterscheidet.

Matrixexponential - Matrixexponentialfunktion: Als Matrixexponential oder Matrixexponentialfunktion wird eine Funktion auf der Menge der quadratischen Matrizen bezeichnet. Es handelt sich hierbei um eine mathematische Funktion deren Argument aus einer Matrix besteht.

Orthogonale Matrix: Als orthogonale Matrix wird eine reelle, quadratische Matrix bezeichnet, deren Spalten- und Zeilenvektoren orthogonal hinsichtlich des Skalarprodukts sind.

Matrizengleichung:
Als Matrizengleichungen werden Gleichungen bezeichnet, bei welcher die Elemente einer unbestimmten Matrix zu ermitteln sind.
 
Produktmatrix:
Das Ergebnis einer durchgeführten Matrizenmultiplikation wird als Matrizenprodukt, Matrixprodukt oder Produktmatrix bezeichnet.

Diagonalisieren einer Matrix: Unter dem Diagonalisieren einer Matrix wird das Umwandeln einer quadratischen Matrix in eine Diagonalmatrix verstanden.

Rang einer Matrix: Der Rang einer Matrix A vom Typ (m,n) beschreibt die höchste Ordnung r aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A. Die Schreibweise des Rangs einer Matrix lautet: RG(A) = r

Singulärwertzerlegung: Als Singulärwertzerlegung (abgekürzt SVD) wird die Darstellung einer Matrix in Form eines Produkts dreier besonderer Matrizen bezeichnet. Aus dieser Darstellung können die Singulärwerte einer Matrix abgelesen werden. Diese charakterisieren die Eigenschaften einer Matrix in ähnlicher Form wie die Eigenwerte einer Matrix.

Eigenwertproblem: Mit dem Begriff Eigenwertproblem wird die Aufgabe beschrieben, die Eigenwerte und / oder Eigenvektoren einer quadratischen Matrix zu bestimmen.

Jacobi-Verfahren: Das Jacobi-Verfahren (Jacobi Verfahren) wird in diesem Modul zur numerischen Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen eingesetzt. Es ist ein iteratives Verfahren.

Permutationsmatrix (Vertauschungsmatrix): Bei einer Permutationsmatrix (Vertauschungsmatrix) handelt es sich um eine Matrix, bei der in jeder Spalte und in jeder Zeile exakt ein Eintrag den Wert 1 besitzt und alle anderen Einträge den Wert null besitzen.
 
   

 
Nachfolgend aufgeführt sind die für Matrizen geltenden Rechengesetze (Rechenregeln).
 

A + B = B + A    (Kommutativgesetz)
(A + B ) + C = A + (B + C)   (Assoziativgesetz)
 
A + 0 = A
(A · B ) · C = A · (B · C)
(αA) · B  = A · (αB ) = α· (A · B)
C · (A + B ) + C = C · A + C · B
(A + B ) · C = A· C + B · C
(A · B )^t = B^t · A^t

Für quadratische Matrizen gilt zudem:

A · I = I · A = A

Für alle Matrizen gilt:

A · B ≠ B · A
 
 

 
Eine Übergangsmatrix wird verwendet, um die Übergangswahrscheinlichkeiten von Markow-Ketten zu formulieren. Übergangsmatrizen sind quadratische Matrizen, bei denen alle Zeilensummen und Spaltensummen den Wert Eins besitzen. Alle ihre Elemente besitzen Werte zwischen Null und Eins. Mit Hilfe derartiger Matrizen lässt sich das Eintreten zukünftiger Zustände im Voraus berechnen. Matrizen dieser Art werden auch mit dem Begriff stochastische Matrix bezeichnet. Prozessmatrizen sind ebenfalls Matrizen die zur Berechnung zukünftiger dynamischer Entwicklungen verwendet werden. Matrizen dieser Art benötigen jedoch keine Zeilen- bzw. Spaltensummen von 1.

 

 
Definition einer Determinante:

Bei Determinanten handelt es sich um reelle Zahlen, welche quadratischen Matrizen aufgrund bestimmter Rechenvorschriften zugeordnet werden.



a_ik: Elemente der Determinante (i, k = 1, 2, 3 ... n)

Eine Determinante ist eine Funktion von n x n Veränderlichen, die als quadratisches Schema geschrieben wird. Die in einer Reihe nebeneinander stehenden Elemente bilden ein n-Tupel, welches als Zeile einer Determinante bezeichnet wird. Die aus den in einer Reihe untereinander stehenden Elementen gebildeten m-Tupel sind die Spalten der Determinante.
 
Dreireihige Determinanten:

Die dreireihige Determinante einer Matrix besitzt den Wert:



Determinanten dreireihiger Matrizen können nach folgendem Schema, der Regel von Sarrus, errechnet werden:



Hierbei werden die beiden ersten Spalten der 3-reihigen Determinante rechts an die Determinante gesetzt. Der Determinantenwert wird ermittelt, indem die drei Hauptdiagonalenprodukte (+) addiert und hiervon die drei Nebendiagonalenprodukte (-) subtrahiert werden. Die Hauptdiagonalen verlaufen von links oben nach rechts unten. Die Nebendiagonalen von links unten nach rechts oben.

Es gilt:
 
D = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₁a₂₁a₃₃    

In Worten: Summe der Produkte der Hauptdiagonalen minus Summe der Produkte der Nebendiagonalen.
 

Beispiel:

Eigenschaften einer Determinante:
 

• Eine Determinante ist in jeder ihrer Zeilen linear
• Beim Vertauschen zweier Zeilen ändert die Determinante ihr Vorzeichen
• Beim Vertauschen der Zeilen mit den Spalten ändert die Determinante ihr Vorzeichen nicht
• Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn zu einer Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addiert wird
• Eine Determinante besitzt den Wert Null, wenn eine Zeile lediglich aus Nullen besteht, oder wenn zwei Zeilen identisch sind (wenn die Elemente einer Reihe zu einer parallelen Peihe proportional sind)

Unterdeterminanten (Minoren):

Eine Unterdeterminante entsteht durch das Streichen von k beliebigen Zeilen und k beliebigen Spalten einer n-reihigen Determinante. Hierbei entsteht eine (n-k)-reihige Determinante, welche als (n-k)-te Unterdeterminante der ursprünglichen Determinante bezeichnet wird. Eine Unterdeterminante wird auch als Minor bezeichnet.

Eigenvektoren - Eigenwerte:

Beim Eigenvektor einer Abbildung handelt es sich in der linearen Algebra um einen Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird somit lediglich skaliert und nicht verändert. Er darf kein Nullvektor sein. Der hierbei zugrunde liegende Skalierungsfaktor wird als Eigenwert der Abbildung bezeichnet. Die Eigenwerte einer Matrix lassen sich als Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms interpretieren.

Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms lassen sich somit die Eigenwerte (und hierauf die Eigenvektoren) einer quadratischen Matrix berechnen. Dies erfolgt, indem dessen Nullstellen bestimmt werden.
 

Algebraisches Komplement  - Adjunkte:

Werden die i-te Zeile und die j-te Spalte einer Determinante gestrichen, so erhält man eine Unterdeterminante (n-1)-ter Ordnung. Wird diese Unterdeterminante mit einem Vorzeichen (-1)^j+i versehen, so wird diese Größe das algebraische Komplement oder Adjunkte des Elements a_ij genannt. Sie wird mit A_ij bezeichnet.

Eine Determinante kann nach den Elementen einer beliebigen Zeile entwickelt werden:

D = a_i1 · A_i1+ a_i2 · A_i2 + a_i3 · A_i3 + ... a_in · A_in


Laplacescher Entwicklungssatz:

Mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes lässt sich eine Determinante nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln.

Bei der Entwicklung nach den Elementen der i-ten Zeile gilt:



Bei der Entwicklung nach den Elementen der k-ten Spalte gilt:



A_ik = (-1)^i+k·D_ik

A_ik: Algebraisches Komplement von a_ik in D
D_ik: (n-1)-reihige Unterdeterminante von D


Regeln zum Rechnen mit Determinanten:

Der Werte einer n-reihigen Determinante ändert sich nicht, wenn eine der nachfolgenden Umformungen mit ihr durchgeführt wird:

1. Besitzen alle Elemente einer Zeile oder Spalte einen gemeinsamen Faktor λ, so darf dieser vor die Deteminante gezogen werden.

2. Wird zu einer Zeile bzw. Spalte einer Determinante ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile bzw. Spalte addiert, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.

3. Zwei Zeilen oder Spalten einer Determinante dürfen vertauscht werden, wenn das Vorzeichen der Determinante geändert wird.

 

 
Definitheit einer Matrix:

Durch die Bestimmung der Definitheit wird ermittelt, welche Vorzeichen eine reelle quadratische Form annehmen kann, die durch eine Matrix erzeugt wurde. Durch die Untersuchung, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist kann geprüft werden, ob entsprechende Bedingungen erfüllt werden. Besitzt eine Matrix weder eine positive noch eine negative Definitheit oder Semidefinitheit, so wird sie als indefinit bezeichnet. Unter anderem erfolgt durch deren Ermittlung bei der Bestimmung lokaler, mehrdimensionaler Extremstellen die Kategorisierung hinsichtlich der Tatsache, ob es sich um Maxima oder Minima handelt. Zur Bestimmung der Definitheit von Matrizen existieren verschiedene Methoden. Die beiden meist angewandten sind die Eigenwertmethode sowie die Bestimmung des Hauptminorantenkriteriums.

Um zu untersuchen, ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist, wird folgende Vorgehensweise angewandt:

Ist x ∈ Rⁿ ein n-zeiliger Spaltenvektor und x^T der zugehörige transponierte Zeilenvektor, so ist eine symmetrische Matrix A ∈ R^nxn unter Betrachtung der quadratischen Form:

positiv definit, falls x^TAx > 0, ∀ x ∈ Rⁿ, x ≠ 0
positiv semidefinit, falls x^TAx ≥ 0, ∀ x ∈ Rⁿ, x ≠ 0
negativ definit, falls x^TAx < 0, ∀ x ∈ Rⁿ, x ≠ 0
negativ semidefinit, falls x^TAx ≤ 0, ∀ x ∈ Rⁿ, x ≠ 0

mit:
x ∈ R: n-zeiliger Spaltenvektor
x^T: transponierter Zeilenvektor

Um zu untersuchen, ob eine Matrix A ∈ R^nxn positiv definit, negativ definit, semidefinit oder indefinit ist, wird die Eigenwertmethode verwendet. Für A gilt:

alle λ_i > 0: positiv definit
alle λ_i ≥ 0: positiv semidefinit
alle λ_i < 0: negativ definit
alle λ_i ≤ 0: negativ semidefinit

Besitzt A sowohl positive, wie auch negative Eigenwerte, so ist die Matrix indefinit.

mit:
λ_i, i,1 ...,n

Details zur Definitheit sowie deren Bestimmung sind unter Wikipedia - Definitheit zu finden.
 
 

Im Folgenden wird auf die Benutzung dieses Programmmoduls eingegangen.
 

 

Die Bedienung einer Schaltfläche in diesem Unterprogramm mit nachfolgend aufgeführten Bezeichnungen bewirkt:

 

A:	Ausgabe einer Matrix A
AT:	Transponierung einer Matrix A
A-1:	Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix A
Det A:	Ermittlung der Determinante einer Matrix A
Eig. A:	Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix A
Min A:	Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix A, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
|A|:	Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix A
Exp A:	Bildung des Exponentials Exp(A) einer Matrix A
A^n:	Potenzierung einer Matrix A mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum A:	Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix A
Mul A:	Multiplikation aller Elemente einer Matrix A mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD A:	Singulärwertzerlegung der Matrix A(SVD) → A = USV
B:	Ausgabe einer Matrix B
BT:	Transponierung einer Matrix B
B-1:	Bildung der Inverse INV(A) einer Matrix B
Det B:	Ermittlung der Determinante einer Matrix B
Eig. B:	Ermittlung der Eigenwerte sowie der Eigenvektoren einer Matrix B
Min B:	Ermittlung des min. und max. Eigenwerts einer Matrix B, sowie derer zugehöriger Eigenvektoren
|B|:	Bestimmung der Norm, des Rangs, der Dimension, sowie Ausgabe des minimalen und maximalen Elements einer Matrix B
Exp B:	Bildung des Exponentials Exp(B) einer Matrix B
B^n:	Potenzierung einer Matrix B mit dem Wert n, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
Sum B:	Bildung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix B
Mul B:	Multiplikation aller Elemente einer Matrix B mit einem Faktor, der im Eingabefeld Koeff. festgelegt wurde
SVD B:	Singulärwertzerlegung der Matrix B(SVD) → B = USV
A+B:	Addition einer Matrix A und einer Matrix B → C = A+B
A-B:	Subtraktion einer Matrix B von einer Matrix A → C = A-B
A·B:	Multiplikation einer Matrix A mit einer Matrix B → C = A·B (Matrizenprodukt)
A/B:	Division einer Matrix B durch eine Matrix A → C = A/B
A.·B:	Multiplikation der Elemente Matrix A mit den Elementen einer Matrix B → C = A.·B
A./B:	Division der Elemente Matrix B durch die Elemente einer Matrix A → C = A./B

 

 

Voraussetzungen:

 

Matrixelemente müssen durch (mindestens ein) Leerzeichen voneinander getrennt werden. Zwischen negativen Vorzeichen (Minuszeichen) und Zahlenwerten darf sich kein Leerzeichen befinden. Die Anzahl der Matrixelemente einer Reihe muss mit der Anzahl der Matrixelemente einer Zeile übereinstimmen (n x n - Matrix). Das Programm erkennt (bei korrekter Zahlenwerteingabe) die Dimension der Matrix automatisch, es ist hierfür nichts einzustellen. Zeilen sollten lückenlos von oben nach unten beschrieben werden. Als Dezimalseparatoren sind sowohl Punkt als auch Komma zugelassen. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten darf die Zahl 50 nicht überschreiten (max. 50 x 50 - Matrix).

 

Bei Berechnungen mit komplexen Zahlen gilt:

Zwischen dem Realteil und dem Imaginärteil einer komplexen Zahl darf sich kein Leerzeichen befinden (sondern lediglich die Zeichen + oder -). Das Programm erkennt automatisch, ob es Berechnungen mit komplexen Zahlen durchzuführen hat, oder nicht. Es ist hierfür nichts einzustellen. Besitzt eine komplexe Zahl keinen Realteil, so kann diese Zahl auf eine der folgenden Arten definiert werden: 0+3i oder 3i. Besitzt sie keinen Imaginärteil, so kann sie wie folgt definiert werden: 2+0i oder 2.
 

Sind o.a. Bedingungen erfüllt, so führen Sie Folgendes aus, um Berechnungen mit Matrizen durchführen zu lassen:
 

1. Zur Ausführung von Operationen mit nur einer Matrix, definieren Sie deren Koeffizienten im Eingabebereich Matrix A bzw. Matrix B.
    
2. Vor Durchführung der Potenzierung, oder der Multiplikation aller Elemente einer Matrix legen Sie im Eingabefeld Koeff. den Wert des Koeffizienten für die entsprechende Operation fest (auch die Eingabe komplexer Zahlenwerte ist möglich, z.B. 3+2i).
    
3. Die Anzahl zu verwendender Dezimalstellen bei der Ausgabe von Ergebnissen bestimmen Sie durch die Wahl des gewünschten Werts aus der Auswahlliste Präzision (voreingestellt: 4).
    
4. Bedienen Sie hierauf die entsprechende Schaltfläche zur Durchführung einer Operation, so gibt das Programm die Ergebnisse dieser im rechtsseitig angeordneten Ausgabefeld aus (sind nicht alle Ergebnisse zu sehen, so bedienen Sie den horizontalen bzw. vertikalen Rollbalken des Ausgabefelds).
    
5. Sind die Ergebnisse im Ausgabefeld zu löschen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Löschen.
    
6. Um die Eingaben der Werte für Matrix A oder Matrix B zu löschen, klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds, markieren dieses bei Gedrückthalten der linken Maustaste und einer Bewegung des Cursors von oben nach unten und bedienen hierauf die Taste Entf. Alternativ hierzu kann auch der Menübefehl Urzustand herstellen verwendet werden.
    

7. Möchten Sie mit den Ergebniswerten einer ermittelten Matrix weitere Operationen durchführen, so markieren Sie diese im Ausgabefeld durch ein Gedrückthalten und eine anschließende Bewegung der linken Maustaste.
   
   Verwenden Sie hierauf die Tastenkombination Strg-C (Kopieren in Zwischenablage) und löschen Sie die Eingaben im entsprechenden links angeordneten Eingabefeld für Matrix A oder Matrix B. Klicken Sie in die linke obere Ecke des entsprechenden Eingabefelds und benutzen Sie die Tastenkombination Strg-V (Einfügen aus Zwischenablage).
   
   Sofern die o.a. Voraussetzungen erfüllt sind, können hierauf weitere Operationen mit den Werten der zuletzt ermittelten Matrix durchgeführt werden. Das Programm formatiert kopierte Matrizen hierbei automatisch bei Durchführung einer nächsten Operation - es sind somit keine Veränderungen (Entfernung von Leerzeichen etc.) notwendig.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Beispiel 1 - Reelle Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

 

8	1	-7	-2
3	-2	8	0
-5	1	3	-4
6	0	-1	3

 

sowie Matrix B:

 

-4	1	-2	6
6	-1	4	-6
3	-4	-3	-3
-2	5	-8	-6

 

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.
 

• Transponierung einer Matrix

• Invertierung einer Matrix

• Ermittlung der Determinante einer Matrix

• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

• Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer Matrix

• Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer Matrix

• Bildung des Exponentials einer Matrix

• Potenzierung einer Matrix

• Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer Matrix

• Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

• Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)

• Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen

• Division einzelner Elemente zweier Matrizen

• Addition zweier Matrizen

• Subtraktion zweier Matrizen

• Multiplikation zweier Matrizen (Matrizenprodukt)

• Division zweier Matrizen

Legen Sie hierfür alle Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

Transponierung einer Matrix

Wird ein Klick auf Schaltfläche A^T  ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix A^T ausgegeben:

Transponierte Matrix A^T:

8	3	-5	-6
1	-2	1	0
-7	8	3	-1
-2	0	-4	3

Invertierung einer Matrix

Ein Klick auf die Schaltfläche A^-1 bewirkt die Ausgabe der Inverse Inv(A) der Matrix A:

Inverse der Matrix A - Inv(A):

-0,5152	-0,4242	-0,3333	-0,7879
-4,9545	-4,2273	-2,5	-6,6364
-1,0455	-0,7727	-0,5	-1,3636
-1,3788	-1,1061	-0,8333	-1,697

Determinante einer Matrix

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Det A wird für die Determinante Det(A) der Matrix A ausgegeben:

 

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

 

Bei einer Bedienung der Schaltfläche Eig. A wird für die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A ausgegeben:

Eigenwerte der Matrix A:

 

11,28

-5,9862

6,8489

-0,1427

 

Eigenvektoren der Matrix A:

 

-0,809	1	-0,7045	-0,6836
0,3393	1	0,3794	0,6703
-0,0283	0,1508	1	-0,7765
1	0,1657	-0,4041	-0,5247

Minimaler und maximaler Eigenwert einer Matrix

Nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Min A ermittelt das Programm für Matrix A:

Maximaler Eigenwert der Matrix A: Max. Eig(A) = 11,28

Zugehörige Eigenvektoren:
 

1

0,0689

-0,2607

-0,6932

 

Minimaler Eigenwert der Matrix A: Min. Eig(A) = -0,1427

Zugehörige Eigenvektoren:

 

0,1075

1

0,1918

0,2663

Norm, Rang, Dimension, minimales und maximales Element einer Matrix

Wird die Schaltfläche |A| bedient, so gibt das Programm für Matrix A aus:

Norm der Matrix A: Norm(A) = 17,08801

Rang der Matrix A: Rang(A) = 4

Dimension der Matrix A: Dim(A) = 4·4

Minimales/maximales Element der Matrix A:

Min(A) = -7
Max(A) = 8

Potenzierung einer Matrix

Wird der Wert 2 in das Feld Koeff. eingegeben und wird ein Klick auf die Schaltfläche A^n ausgeführt, so ermittelt das Programm für die mit 2 potenzierte Matrix A²:

Potenzierte Matrix A^(2):

114	-1	-67	6
-22	15	-13	-38
-28	-4	56	-14
-61	-7	36	25

 

Summe der Diagonalelemente einer Matrix

 

Für die Summe der Diagonalelemente der Matrix A gibt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Sum A aus:

Summe der Diagonalelemente der Matrix A: Sum(A) = 12

 

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

 

Nach der Eingabe des Werts 3 in das Feld Koeff. und einem Klick auf die Schaltfläche Mul A multipliziert das Programm die Elemente der Matrix mit dem festgelegten Faktor 3 und gibt aus:

Mit Faktor multiplizierte Matrix A·3:
 

24	3	-21	-6
9	-6	24	0
-15	3	9	-12
-18	0	-3	9

 

Singulärwertzerlegung einer Matrix (SVD)

 

Wird ein Klick auf die Schaltfläche SVD A ausgeführt, gibt das Programm für die Matrix A aus:

 

Singulärwertzerlegung der Matrix A (SVD): A = USV

Matrix U:
 

-0,8243	0,0186	0,2318	-0,5162
0,2426	0,8482	-0,1769	-0,4363
0,4087	-0,0711	0,8707	-0,2641
0,3077	-0,5245	-0,396	-0,688

 

Matrix S:
 

13,0894	0	0	0
0	9,5784	0	0
0	0	5,377	0
0	0	0	0,0979

Matrix V:
 

-0,7453	0,6469	-0,1217	0,1058
-0,0688	-0,1826	0,2709	0,9426
0,6593	0,7273	-0,0056	0,1906
0,0716	-0,1385	-0,9549	0,2528

 

Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A. · B führt das Programm eine Multiplikation aller einzelner Elemente der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der Matrix B durch und gibt für Matrix C aus:

 

Multipl. der Elemente zweier Matrizen C = A. · B
 

-32	1	14	-12
18	2	32	0
-15	-4	-9	12
12	0	8	-18

 

Division einzelner Elemente zweier Matrizen

 

Um eine Division aller einzelner Elemente der Matrix A durch die entsprechenden Elemente der Matrix B durchführen zu lassen wird ein Klick auf die Schaltfläche A. / B ausgeführt und das Programm gibt für Matrix C aus:

 

Division der Elemente zweier Matrizen C = A. / B
 

-2	1	3,5	-0,3333
0,5	2	2	0
-1,6667	-0,25	-1	1,3333
3	0	0,125	-0,5

 

Addition zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A + B sowie der Durchführung einer Addition der Matrizen A und B gibt das Programm für Matrix C aus:

Additition zweier Matrizen C = A + B:
 

4	2	-9	4
9	-3	12	-6
-2	-3	0	-7
-8	5	-9	-3

 

Subtraktion zweier Matrizen

 

Die Subtraktion der Matrix B von Matrix A, wird nach einem Klick auf die Schaltfläche A - B durchgeführt. Für die resultierende Matrix C gibt das Programm aus:

 

Subtraktion zweier Matrizen C = A - B:
 

12	0	-5	-8
-3	-1	4	6
-8	5	6	-1
-4	-5	7	9

Multiplikation zweier Matrizen (Matrizenprodukt)

 

Bei Durchführung einer Multiplikation der Matrizen A und B gibt das Programm einem Klick auf die Schaltfläche A · B für Matrix C aus:

 

Multiplikation zweier Matrizen C = A · B:
 

-43	25	25	75
0	-27	-38	6
43	-38	37	-21
15	13	-9	-51

 

Division zweier Matrizen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A / B, sowie der Durchführung einer Division der Matrizen B durch A gibt das Programm für Matrix C aus:

 

Division zweier Matrizen C = A/B:

 

8,1667	6,2917	1,8333	1,2917
-1	-0,125	-0,5	-0,625
-6,7121	-4,7803	-1,4242	-0,553
-3	-2,875	-0,5	-0,375

Beispiel 2 - Komplexe Zahlenwerte:

Gegeben sei Matrix A:

 

-5+i	i	-7+7i	2-6i
-5i	-2+6i	8-i	0
-2+i	1-i	3+6i	0
i	3+i	3-5i	-2+2

 

sowie Matrix B:

 

2+i	1-i	-3+3i	2
-6i	-1-i	4+i	-5+5i
-4i	-6i	5	-3
8-2i	5+i	-7+7i	6-6i

 

Es gilt, alle nachfolgend aufgeführten Operationen mit diesen Matrizen durchführen zu lassen.
 

• Transponierung einer komplexen Matrix

• Invertierung einer komplexen Matrix

• Ermittlung der Determinante einer komplexen Matrix

• Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer komplexen Matrix

• Ermittlung des minimalen und maximalen Eigenwerts einer komplexen Matrix

• Multiplikation einer komplexen Matrix mit einer reellen Zahl

• Ermittlung der Norm, des Rangs, der Dimension, des minimalen und maximalen Elements einer komplexen Matrix

• Ermittlung der Summe der Diagonalelemente einer komplexen Matrix

• Multiplikation einzelner Elemente zweier komplexen Matrizen mit komplexen Zahlen

• Division einzelner Elemente zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

• Addition zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

• Subtraktion zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

• Multiplikation zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen (Matrizenprodukt)

• Division zweier komplexer Matrizen mit komplexen Zahlen

Legen Sie hierfür alle komplexen Zahlenwerte der Koeffizienten für Matrix A und Matrix B in den dafür vorgesehenen Bereichen fest.

Transponierung einer Matrix mit komplexen Zahlen

Wird ein Klick auf Schaltfläche A^T  ausgeführt, so wird für die zu A transponierte Matrix A^T ausgegeben:

Transponierte Matrix A^T:

-5+	-5i	-2+i	i
i	-2+6i	1-i	3+i
-7+7i	8-i	3+6i	3-5i
2-6i	0	0	-2+2i

Invertierung einer Matrix mit komplexen Zahlen

 

Ein Klick auf die Schaltfläche A^-1 bewirkt die Ausgabe der Inverse Inv(A) der Matrix A:
 

0,266-0,36i	0,45+0,123i	-0,144-0,078i	0,173-0,986i
0,186-0,409i	0,44-0,101i	-0,003-0,019i	-0,037-1,005i
-0,026-0,079i	0,09-0,067i	0,044-0,087i	-0,13-0,132i
0,435-0,006i	0,33+0,295i	0,118-0,226i	0,614-0,698i

 

Wird der Wert 3 in das Feld Koeff. eingegeben und wird ein Klick auf die Schaltfläche A^n ausgeführt, so ermittelt das Programm für die mit 3 potenzierte Matrix A³:
 

-75+274i	-104+213i	516-53i	-194-398i
-540-340i	298-19i	-1403+421i	390-70i
112+14i	-72+109i	309+123i	-174-18i
-69+194i	85-217i	-47+558i	-52

Determinante einer Matrix mit komplexen Zahlen

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Det A wird für die Determinante Det(A) der Matrix A ausgegeben:

 

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix mit komplexen Zahlen

 

Bei einer Bedienung der Schaltfläche Eig. A wird für die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A ausgegeben:

 

Eigenwerte der Matrix A:

 

0,4559+0,3403i

5,7661+3,7198i

8,0538+1,8026i

4,1682+9,1373i

 

Eigenvektoren der Matrix A:
 

0,91+0,26i	1	0,16-0,12i	0,59+0,71i
-0,26+0,61i	1	0,64-0,37i	0,205-0,5i
1	0,45+0,68i	0,03-0,12i	-0,041-0,49i
-0,44+0,02i	1	-0,29+0,08i	0,194-0,41i

 

Multiplikation einer Matrix mit komplexen Zahlen mit einer reellen Zahl

 

Nach der Eingabe des Werts 2 in das Feld Koeff. und einem Klick auf die Schaltfläche Mul A multipliziert das Programm die Elemente der Matrix mit dem festgelegten reellen Faktor 2 und gibt aus:

 

Mit Faktor multiplizierte Matrix A·2:

 

-10+2i	2i	-14+14i	4-12i
-10i	-4+12i	16-2i	0
-4+2i	2-2i	6+12i	0
2i	6+2i	6-10i	-4+4i

 

Norm, Rang, Dimension, minimales, maximales Element und Summe der

Diagonalelemente einer Matrix mit komplexen Zahlen

 

Wird die Schaltfläche |A| bedient, so gibt das Programm für Matrix A aus:

 

Norm der Matrix A: Norm(A) = 13,49074

Rang der Matrix A: Rang(A) = 4

Dimension der Matrix A: Dim(A) = 4·4

Minimales/maximales Element der Matrix A:

Min(A) = -7+7i
Max(A) = 8-i

Summe der Diagonalelemente der Matrix A: Sum(A) = -6+15i

Multiplikation einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A. · B führt das Programm eine Multiplikation aller einzelner Elemente der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der Matrix B durch und gibt für Matrix C aus:

 

Multipl. der Elemente zweier Matrizen C = A. · B
 

-11-3i	1+i	-42i	4-12i
-30	8-4i	0	0
4+8i	-6-6i	18-9i	0
2+8i	14+8i	14+56i	24i

 

Division einzelner Elemente zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Um eine Division aller einzelner Elemente der Matrix A durch die entsprechenden Elemente der Matrix B durchzuführen wird ein Klick auf die Schaltfläche A. / B ausgeführt und das Programm gibt für Matrix C aus:

 

Division der Elemente zweier Matrizen C = A. / B

 

-1,8+1,4i	-0,5+0,5i	2,3333	1-3i
0,8333	-2-4i	1,824-0,706i	0
-0,25-0,5i	0,1667+0,167i	-2+1i	0
-0,0294+0,117i	0,6154+0,077i	-0,571+0,143i	-0,333

 

Addition zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A + B sowie der Durchführung einer Addition der Matrizen A und B gibt das Programm für Matrix C aus:

 

Additition zweier Matrizen C = A + B:

 

-3+2i	1	-10+10i	4-6i
-11i	-3+5i	12	-5+5i
-2-3i	1-7i	3+3i	5
8-i	8+2i	-4+2i	4-4i

 

Subtraktion zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Die Subtraktion der Matrix B von Matrix A wird nach einem Klick auf die Schaltfläche A - B durchgeführt. Für die resultierende Matrix C gibt das Programm aus:

 

Subtraktion zweier Matrizen C = A - B:
 

-7	-1+2i	-4+4i	-6i
i	-1+7i	4-2i	5-5i
-2+5i	1+5i	3+9i	-5
-8+3i	-2	10-12i	-8+8i

 

Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Zahlen (Matrizenprodukt)

 

Bei Durchführung einer Multiplikation der Matrizen A und B, gibt das Programm einem Klick auf die Schaltfläche A · B für Matrix C aus:

 

Multiplikation zweier Matrizen C = A · B:

 

27-27i	55+19i	60+63i	-74-16i
37-30i	-3-57i	-2+13i	20-55i
13-18i	33-15i	26-21i	11+42i
-27-8i	-43-13i	-7-33i	-5+11i

 

Division zweier Matrizen mit komplexen Zahlen

 

Nach einem Klick auf die Schaltfläche A / B sowie der Durchführung einer Division der Matrizen B durch A gibt das Programm für die resultierende Matrix C aus:

 

Division zweier Matrizen C = A/B:
 

1,344+1,178i	-0,31-0,753i	-0,632-0,755i	0,329-0,803i
-2,548-1,84i	0,408-0,528i	-0,399+0,078i	0,656+0,425i
1,377-0,62i	-0,335-0,492i	-0,457+0,253i	-0,315-0,452i
-1,123+0,53i	-0,254+0,175i	0,085+0,577i	-0,065-0,031i

 

 

 Beispiel 1


Beispiel 2


Beispiel 3


Beispiel 4


Beispiel 5


Beispiel 6


Beispiel 7


Beispiel 8

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Matrizen sowie unter Wikipedia - Eigenwertproblem zu finden. 

 

Cramersche Regel - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Cramersche Regel

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

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