MathProf - Kreisgleichung - Punkte - Vektorgleichung eines Kreises - Tangente an Kreis - Kreistangente - Kreisumfang - Radius - Umfang - Kreisfläche - Flächenberechung

MathProf - Mathematik-Software - Kreis | Punkt | Abstand | Tangente | Normale | Kreisgleichung
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kreis | Punkt | Abstand | Tangente | Normale | Kreisgleichung

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung von Analysen mit Kreisen und Punkten. Es erfolgt unter anderem das Berechnen der Tangente sowie der Normale, welche durch einen extern des Kreises liegenden Punkt an diesen verläuft. Zudem wird die Berechnung der Berührpunkte der Tangenten des Kreises, welche durch einen extern dessen liegenden Punkt verlaufen, durchgeführt.

Auch die Darstellung der Lagebeziehung Kreis-Punkt sowie die Ausgabe der Eigenschaftswerte des Kreises für den Flächeninhalt des Kreises, den Mittelpunkt des Kreises und den Umfang des Kreises erfolgt. Die entsprechende Kreisgleichung kann in verschiedenen relevanten Formen definiert werden.

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Kreis - Punkt
Tangente und Normale an einen Kreis durch einen Punkt - Berührungspunkt von Kreis und Gerade - Tangente an einen Kreis - Berechnung einer Kreisfläche - Radius und Durchmesser eines Kreises -
Querschnittsfläche eines Kreises - Berechnung vom Kreisumfang - Berechnung und Darstellung der Kreistangenten durch einen extern liegenden Punkt - Tangentengleichung - Normalengleichung - Polare - Sehne eines Kreises - Sehnenlänge

 

Das Modul [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Punkt bietet die Möglichkeit Untersuchungen mit Kreisen und Punkten in der Ebene durchzuführen.

 

MathProf - Kreis - Punkt - Kreisgleichung - Abstand - Gleichung - Plotter - Kreisberechnung - Fläche - Umfang - Kreisfläche - Kreisumfang - Tangente - Kreistangente - Kreismittelpunkt - Kreisflächenberechnung

 

MathProf - Kreis - Tangente - Normale - Punkt - Kreisgleichung - Kreisfläche - Kreisberechnung - Umfang - Fläche - Tangente - Kreistangente - Kreismittelpunkt - Kreisflächenberechnung


Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen (Kreisgleichungen) definiert werden:

  • Kreisgleichung in Mittelpunktform
    (x-xm)²+(y-ym)² = r²
     
  • Kreis in 3-Punkte-Form (Kreis durch 3 Punkte)
    Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)
     
  • Vektorielle Form (Vektorgleichung - Vektorform) des Kreises
    Kreis - Punkt - Gleichung  - 1
     
  • Kreisgleichung in Koordinatenform
    x²+y²+a·x+b·y+c = 0
     
  • Kreisgleichung in Parameterform (Parameterdarstellung)
    x = r·cos(k)+x0
    y = r·sin(k)+y0
     
  • Scheitelgleichung des Kreises
  • y² = 2·r·x-x²

Bei der Durchführung von Untersuchungen werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
  • Tangenten an einen Kreis, welche durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P verlaufen, sowie Koordinatenwerte der Berührpunkte
  • Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten 
  • Polare (Gerade durch Tangenten-Berührpunkte)

Berechnung und grafsiche Darstellung

MathProf - Kreisfläche - Tangenten - Normalen - Kreisgleichung - Mittelpunkt - Tangente - Plotter - Lagebeziehung Kreis - Punkt - Flächeninhalt - Umfang - Berührpunkt - Fläche - Umfang - Kreisumfang - Tangente - Kreistangente - Kreismittelpunkt

MathProf - Kreis - Gleichung - Fläche - Umfang - Normale - Tangente - Plotter - Grafik - Kreisgleichung - Kreismittelpunkt

Die Praktizierung von Analysen zu diesem Themenbereich erfordert folgende Vorgehensweise:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K festzulegen. Wird einer oberen sechs zur Verfügung stehenden Einträge gewählt, so können Analysen mit dem entsprechenden Kreis und einem Punkt durchgeführt werden. Bei der Selektion eines darunter angeordneten Eintrags, ermöglicht das Programm die alleinige Untersuchung des entsprechenden Kreises.
     
  2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:

    Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für
    Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
    Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x0 und y0 des Mittelpunkts und Parameter
    Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
    Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x0 und y0
    Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
     
  3. Stehen die Eingabefelder zur Definition der Koordinatenwerte für Punkt P zur Verfügung, so definieren Sie die Koordinatenwerte dieses Punktes in den rechtsseitig angeordneten Eingabefeldern.
     
  4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformulare

MathProf - Kreis - Polare - Normale - Gleichung - Abstand - Kreisgleichung  MathProf - Kreis - Punkte - Polare - Gleichung - Gerade - Kreisfläche berechnen - Tangenten

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Polare: Darstellung der Gerade durch Tangenten-Berührpunkte (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten
 

Berechnung vom Kreismittelpunkt - Kreisflächenberechnung - Ermittlung und Darstellung von Kreistangenten - Flächenberechnung des Kreises - Flächeninhalt eines Kreises - Umfang eines Kreises - Querschnittsfläche eines Kreises

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kreis – Kreis - Interaktiv

Kreis - Punkt - Interaktiv

Kreis - Gerade

Kreis - Gerade - Interaktiv

Kreis – Kreis

 

 

Beispiele


Beispiel 1:

Von einem Kreis sei bekannt, dass dieser durch die Gleichung (x-4)²+(y+5)² = 5² beschrieben werden kann. Es sind die Tangenten an diesen Kreis zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-8 / 8) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Mittelpunktform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x0 = 4, y0 = -5 und 25 für r² für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Mittelpunkt: M (4 / -5)
Radius (Kreisradius): r = 5
Fläche (Kreisfläche): A = 78,54 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 31,416

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:


Tangente 1: Y = -2,024·X - 8,192
Tangente 2: Y = -0,598·X + 3,217
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:


Normale 1: Y = 0,494·X - 6,976
Normale 2: Y = 1,673·X - 11,69
 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:


Berührungspunkt 1: B1 (-0,483 / -7,215)
Berührungspunkt 2: B2 (6,566 / -0,709)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 9,592


Gleichung der Polare: Y = 0,923·X - 6,769
 

Beispiel 2:

Ein Kreis wird durch die Gleichungen x = 6·cos(k)+3 und y = 6·sin(k)-4 in Parameterform beschrieben. Es gilt, die Tangenten an diesen Kreis ermitteln zu lassen, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-4 / 3) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Parameterform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x0 = 3, y0 = -4 sowie r = 6 für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 3) ² + (Y + 4) ² = 6 ²

Mittelpunkt: M (3 / -4)
Radius (Kreisradius): r = 6
Fläche (Kreisfläche): A = 113,097 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 37,699

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:


Tangente 1: Y = -7,403·X - 26,614
Tangente 2: Y = -0,135·X + 2,46
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:


Normale 1: Y = 0,135·X - 4,405
Normale 2: Y = 7,403·X - 26,21
 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:


Berührungspunkt 1: B1 (-2,946 / -4,803)
Berührungspunkt 2: B2 (3,803 / 1,946)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 9,545


Gleichung der Polare: Y = 1·X - 1,857
 

Beispiel 3:

Ein Kreis wird durch die Gleichung X² + Y² - 5·X + 2·Y + 3 = 0 beschrieben. Es gilt, die Eigenschaften des Kreises, sowie die Tangenten an diesen zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (14 / 8) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Koordinatenform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Koeffizientenwerte a = -5, b = 2 und c = 3 für die Kreisgleichung, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 2,5)² + (Y + 1)² = 2,062²

Mittelpunkt: M (2,5 / -1)
Radius (Kreisradius): r = 2,062
Fläche (Kreisfläche): A = 13,352 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 12,953

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:


Tangente 1: Y = 0,576·X - 0,061
Tangente 2: Y = 1,041·X - 6,58
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:


Normale 1: Y = -1,737·X + 3,342
Normale 2: Y = -0,96·X + 1,401

 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:


Berührungspunkt 1: B1 (1,471 / 0,787)
Berührungspunkt 2: B2 (3,987 / -2,428)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 4,082


Gleichung der Polare: Y = -1,278·X + 2,667
 

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