MathProf - Kreisgleichung - Kreisberechnungen - Punkte - Vektorgleichung
Fachthema: Kreis und Punkt
MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Abiturvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Analysen mit Kreisen und Punkten.
In diesem Teil des Programms erfolgt neben anderen Kreisberechnungen unter anderem das Berechnen der Kreistangente sowie der Normale, welche durch einen extern des Kreises liegenden Punkt an diesen verläuft. Zudem wird die Berechnung der Berührpunkte der Tangenten des Kreises, welche durch einen extern dessen liegenden Punkt verlaufen, durchgeführt.
Die entsprechende Kreisgleichung kann in verschiedenen relevanten Formen definiert werden. Für den Kreis werden dessen wesentliche Eigenschaften, wie Mittelpunkt, Kreisradius bzw. Kreisdurchmesser, Kreisfläche (Querschnittsfläche des Kreises) sowie Kreisumfang berechnet und ausgegeben. Auch das Plotten des Graphen der Lagebeziehung Kreis-Punkt in kartesischen oder in Polarkoordinaten sowie die Ausgabe der Eigenschaftswerte des Kreises wird ermöglicht.
Der in diesem Tool implementierte Rechner führt alle relevanten Analysen mit dem definierten Kreis durch und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung der Werte aller wesentlicher Größen zu diesem Fachthema. Die berechneten numerischen Lösungen werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Kreis - Punkt - Tangente und Normale an einen Kreis durch einen Punkt - Polare - Berührungspunkt von Kreis und Gerade - Tangente an einen Kreis - Berechnung einer Kreisfläche - Radius und Durchmesser eines Kreises - Querschnittsfläche eines Kreises - Querschnittsberechnung - Berechnung vom Kreisumfang - Berechnung und Darstellung der Kreistangenten durch einen extern liegenden Punkt - Kreisberechnung - Tangentengleichung - Normalengleichung - Sehne eines Kreises - Kreis berechnen - Kreisdarstellung - Allgemeine Kreisgleichung - Umfang berechnen - Kreisumfang - Radius - Flächenberechnung eines Kreises - Radius berechnen - Rechner - Ein Kreis und seine Koordinaten - Tangentenabschnitt - Untersuchen - Untersuchung - Fläche - Berechnen - Graph - Koordinaten - Grafisch - Bild - Grafik - Darstellung - Präsentation - Berechnung - Darstellen - Plotten - Plotter - Formel - Grafische Darstellung - Kreisfläche - Kreisrechner - Sehnenlänge - Berechnung vom Kreismittelpunkt - Kreisflächenberechnung - Allgemeine Kreisgleichung - Kreis in Parameterdarstellung - Ermittlung und Darstellung von Kreistangenten - Flächenberechnung des Kreises - Berechnungen am Kreis - Mittelpunkt berechnen - Kreis plotten - Kreisfunktion plotten - Kreisgleichung plotten - Flächeninhalt eines Kreises - Umfang eines Kreises - Querschnittsberechnung eines Kreises - Koordinaten des Mittelpunkts eines Kreises - Kreis in Parameterdarstellung - Berührpunkt - Kreisformel - Kreisquerschnitt - Allgemeine Kreisgleichung - Kreismittelpunkt eines Kreises durch 3 Punkte - Vektorgleichung eines Kreises - Vektorielle Gleichung eines Kreises - Zeichnen - Formel - Durchmesser - Flächenformel - Umfang - Flächeninhalt - Eigenschaften - Beispiel - Bestimmen - Bestimmung - Aufgabe - Tangente an Kreis - Kreistangente - Tangentenkonstruktion - Kreis und seine implizite Darstellung - Kreis in Vektorform - Kreis und Punkt in der Ebene - Lagebeziehung Kreis Punkt - Fehlende Größen berechnen |
Kreis - Punkt
Das Modul [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Punkt bietet die Möglichkeit Untersuchungen mit Kreisen und Punkten in der Ebene durchzuführen.
Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen (Kreisgleichungen) definiert werden:
- Kreisgleichung in Mittelpunktform (Allgemeine Kreisgleichung)
(x-xm)²+(y-ym)² = r²
- Kreis in 3-Punkte-Form (Kreis durch 3 Punkte)
Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)
- Vektorielle Form (Vektorgleichung - Vektorform) des Kreises
- Kreisgleichung in Koordinatenform
x²+y²+a·x+b·y+c = 0
- Kreisgleichung in Parameterform (Parameterdarstellung)
x = r·cos(k)+x0
y = r·sin(k)+y0
- Scheitelgleichung des Kreises
-
y² = 2·r·x-x²
Bei der Durchführung von Untersuchungen werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:
- Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
- Tangenten an einen Kreis, welche durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P verlaufen, sowie Koordinatenwerte der Berührpunkte
- Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten
- Polare (Gerade durch Tangenten-Berührpunkte)
Grundlegendes
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines Kreises relevant sind.
Fläche: A = π·r² bzw. A = π·d²/4
Umfang: u = 2·π·r
Mit:
r: Radius des Kreises
Berechnung und grafsiche Darstellung
Die Praktizierung von Analysen zu diesem Themenbereich erfordert folgende Vorgehensweise:
- Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K festzulegen. Wird einer oberen sechs zur Verfügung stehenden Einträge gewählt, so können Analysen mit dem entsprechenden Kreis und einem Punkt durchgeführt werden. Bei der Selektion eines darunter angeordneten Eintrags, ermöglicht das Programm die alleinige Untersuchung des entsprechenden Kreises.
- Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:
Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für r²
Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x0 und y0 des Mittelpunkts und Parameter r²
Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x0 und y0
Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
- Stehen die Eingabefelder zur Definition der Koordinatenwerte für Punkt P zur Verfügung, so definieren Sie die Koordinatenwerte dieses Punktes in den rechtsseitig angeordneten Eingabefeldern.
- Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
- Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Bedienformulare
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
- Polare: Darstellung der Gerade durch Tangenten-Berührpunkte (falls vorhanden) ein-/ausschalten
- Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
- Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
- Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
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Beispiele - Aufgaben
Beispiel 1:
Von einem Kreis sei bekannt, dass dieser durch die Gleichung (x-4)²+(y+5)² = 5² beschrieben werden kann. Es sind die Tangenten an diesen Kreis zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-8 / 8) verlaufen.
Vorgehensweise und Lösung:
Wählen Sie den Eintrag Kreis in Mittelpunktform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x0 = 4, y0 = -5 und 25 für r² für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:
Für die Eigenschaften des Kreises:
Mittelpunkt: M (4 / -5)
Radius (Kreisradius): r = 5
Fläche (Kreisfläche): A = 78,54 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 31,416
Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:
Tangente 1: Y = -2,024·X - 8,192
Tangente 2: Y = -0,598·X + 3,217
Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:
Normale 1: Y = 0,494·X - 6,976
Normale 2: Y = 1,673·X - 11,69
Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:
Berührungspunkt 1: B1 (-0,483 / -7,215)
Berührungspunkt 2: B2 (6,566 / -0,709)
Für die Länge der Sehne B1B2: 9,592
Gleichung der Polare: Y = 0,923·X - 6,769
Beispiel 2:
Ein Kreis wird durch die Gleichungen x = 6·cos(k)+3 und y = 6·sin(k)-4 in Parameterform beschrieben. Es gilt, die Tangenten an diesen Kreis ermitteln zu lassen, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-4 / 3) verlaufen.
Vorgehensweise und Lösung:
Wählen Sie den Eintrag Kreis in Parameterform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x0 = 3, y0 = -4 sowie r = 6 für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:
Für die Eigenschaften des Kreises:
Gleichung in Mittelpunktform: (X - 3) ² + (Y + 4) ² = 6 ²
Mittelpunkt: M (3 / -4)
Radius (Kreisradius): r = 6
Fläche (Kreisfläche): A = 113,097 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 37,699
Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:
Tangente 1: Y = -7,403·X - 26,614
Tangente 2: Y = -0,135·X + 2,46
Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:
Normale 1: Y = 0,135·X - 4,405
Normale 2: Y = 7,403·X - 26,21
Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:
Berührungspunkt 1: B1 (-2,946 / -4,803)
Berührungspunkt 2: B2 (3,803 / 1,946)
Für die Länge der Sehne B1B2: 9,545
Gleichung der Polare: Y = 1·X - 1,857
Beispiel 3:
Ein Kreis wird durch die Gleichung X² + Y² - 5·X + 2·Y + 3 = 0 beschrieben. Es gilt, die Eigenschaften des Kreises, sowie die Tangenten an diesen zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (14 / 8) verlaufen.
Vorgehensweise und Lösung:
Wählen Sie den Eintrag Kreis in Koordinatenform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Koeffizientenwerte a = -5, b = 2 und c = 3 für die Kreisgleichung, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:
Für die Eigenschaften des Kreises:
Gleichung in Mittelpunktform: (X - 2,5)² + (Y + 1)² = 2,062²
Mittelpunkt: M (2,5 / -1)
Radius (Kreisradius): r = 2,062
Fläche (Kreisfläche): A = 13,352 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 12,953
Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:
Tangente 1: Y = 0,576·X - 0,061
Tangente 2: Y = 1,041·X - 6,58
Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:
Normale 1: Y = -1,737·X + 3,342
Normale 2: Y = -0,96·X + 1,401
Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:
Berührungspunkt 1: B1 (1,471 / 0,787)
Berührungspunkt 2: B2 (3,987 / -2,428)
Für die Länge der Sehne B1B2: 4,082
Gleichung der Polare: Y = -1,278·X + 2,667
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Kreis
Wikipedia - Kreistangente
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
