MathProf - Kreis - Punkt (Kreisgleichung - Vektorgleichung)

 

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung von Untersuchungen
mit Kreisen und Punkten (Kreisberechnung). Es erfolgt u. a. die Ermittlung der Tangentengleichung sowie der Normalengleichung durch einen extern des Kreises liegenden Punkt an diesen.

Das Modul [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Punkt bietet die Möglichkeit Untersuchungen mit Kreisen und Punkten in der Ebene durchzuführen.

Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen (Kreisgleichungen) definiert werden:

• Kreisgleichung in Mittelpunktform
  (x-x_m)²+(y-y_m)² = r²
   
• Kreis in 3-Punkte-Form
  Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)
   
• Vektorielle Form (Vektorgleichung) des Kreises
  
   
• Kreisgleichung in Koordinatenform
  x²+y²+a·x+b·y+c = 0
   
• Kreisgleichung in Parameterform
  x = r·cos(k)+x₀
  y = r·sin(k)+y₀
   
• Scheitelgleichung des Kreises

• y² = 2·r·x-x²

Bei der Durchführung von Untersuchungen werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

• Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
• Tangenten an einen Kreis, welche durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P verlaufen, sowie Koordinatenwerte der Berührpunkte
• Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten 
• Polare (Gerade durch Tangenten-Berührpunkte)

Berechnung und Darstellung

Die Praktizierung von Analysen zu diesem Themenbereich erfordert folgende Vorgehensweise:

1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K festzulegen. Wird einer oberen sechs zur Verfügung stehenden Einträge gewählt, so können Analysen mit dem entsprechenden Kreis und einem Punkt durchgeführt werden. Bei der Selektion eines darunter angeordneten Eintrags, ermöglicht das Programm die alleinige Untersuchung des entsprechenden Kreises.
    
2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:
   
   Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für r²
   Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
   Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x₀ und y₀ des Mittelpunkts und Parameter r²
   Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
   Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x₀ und y₀
   Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
    
3. Stehen die Eingabefelder zur Definition der Koordinatenwerte für Punkt P zur Verfügung, so definieren Sie die Koordinatenwerte dieses Punktes in den rechtsseitig angeordneten Eingabefeldern.
    
4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
    
5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformulare

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
• Polare: Darstellung der Gerade durch Tangenten-Berührpunkte (falls vorhanden) ein-/ausschalten
• Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Beispiel 1:

Von einem Kreis sei bekannt, dass dieser durch die Gleichung (x-4)²+(y+5)² = 5² beschrieben werden kann. Es sind die Tangenten an diesen Kreis zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-8 / 8) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Mittelpunktform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x₀ = 4, y₀ = -5 und 25 für r² für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Mittelpunkt: M (4 / -5)
Radius: r = 5
Fläche: A = 78,54 FE
Umfang: U = 31,416

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Tangente 1: Y = -2,024·X - 8,192
Tangente 2: Y = -0,598·X + 3,217
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

Normale 1: Y = 0,494·X - 6,976
Normale 2: Y = 1,673·X - 11,69
 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Berührungspunkt 1: B1 (-0,483 / -7,215)
Berührungspunkt 2: B2 (6,566 / -0,709)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 9,592

Gleichung der Polare: Y = 0,923·X - 6,769
 

Beispiel 2:

Ein Kreis wird durch die Gleichungen x = 6·cos(k)+3 und y = 6·sin(k)-4 in Parameterform beschrieben. Es gilt, die Tangenten an diesen Kreis ermitteln zu lassen, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-4 / 3) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Parameterform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x₀ = 3, y₀ = -4 sowie r = 6 für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 3) ² + (Y + 4) ² = 6 ²

Mittelpunkt: M (3 / -4)
Radius: r = 6
Fläche: A = 113,097 FE
Umfang: U = 37,699

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Tangente 1: Y = -7,403·X - 26,614
Tangente 2: Y = -0,135·X + 2,46
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

Normale 1: Y = 0,135·X - 4,405
Normale 2: Y = 7,403·X - 26,21
 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Berührungspunkt 1: B1 (-2,946 / -4,803)
Berührungspunkt 2: B2 (3,803 / 1,946)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 9,545

Gleichung der Polare: Y = 1·X - 1,857
 

Beispiel 3:

Ein Kreis wird durch die Gleichung X² + Y² - 5·X + 2·Y + 3 = 0 beschrieben. Es gilt, die Eigenschaften des Kreises, sowie die Tangenten an diesen zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (14 / 8) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Koordinatenform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Koeffizientenwerte a = -5, b = 2 und c = 3 für die Kreisgleichung, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 2,5)² + (Y + 1)² = 2,062²

Mittelpunkt: M (2,5 / -1)
Radius: r = 2,062
Fläche: A = 13,352 FE
Umfang: U = 12,953

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Tangente 1: Y = 0,576·X - 0,061
Tangente 2: Y = 1,041·X - 6,58
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

Normale 1: Y = -1,737·X + 3,342
Normale 2: Y = -0,96·X + 1,401

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Berührungspunkt 1: B1 (1,471 / 0,787)
Berührungspunkt 2: B2 (3,987 / -2,428)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 4,082

Gleichung der Polare: Y = -1,278·X + 2,667
 

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