MathProf - Geometrie - Mathematik für Schüler, Lehrer, Studenten, Ingenieure und Wissenschaftler
 
MathProf - Kurzbeschreibung einzelner Module zum Fachthema Geometrie

Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzbeschreibungen zu
einigen Modulen, die im Programm MathProf 5.0 unter dem
Hauptmenüpunkt
Geometrie implementiert sind.


•  Vieleck

Berechnung und Darstellung von Vielecken durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen (Ausgegeben werden u.a.: Umkreisradius, Seitenlänge, Zentriwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenanzahl, Umfang des Polygons, Fläche des Polygons, Fläche des Inkreises, Eckpunktkoordinaten).

•  Ellipse

Berechnung und Darstellung von Ellipsen durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Halbachsen, lineare Exzentrizität, numerische Exzentrizität, Fläche, Halbparameter, Umfang, Brennpunktkoordinaten.

•  Kreisausschnitt
 
Berechnung und Darstellung von Kreisauschnitten durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Radius des Kreises, Fläche des Kreisausschnitts, Kreisumfang, Winkel des Kreisausschnitts, Bogenlänge des Kreisausschnitts, Fläche des Kreises, Fläche des Kreissegments, Länge der Sehne, Schwerpunkt des Kreisausschnitts, Ortspunktkoordinaten.

•  Kreissegment

Berechnung und Darstellung von Kreissegmenten durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Radius des Kreises, Fläche des Kreissegments, Höhe des Kreissegments, Winkel des Kreissegments, Bogenlänge des Kreissegments, Gesamtfläche des Kreises, Fläche des Kreissektors, Länge der Sehne, Kreisumfang, Schwerpunkt des Kreissegments.

•  Viereck

Berechnung und Darstellung von Vierecken durch die Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Seitenlängen, Innenwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenlängen, Diagonalenschnittwinkel, Flächeninhalt. Optional festlegbar: Darstellung von Diagonalen, Seitenhalbierenden, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden etc.

•  Satz des Ptolemäus

Interaktive Untersuchungen zum Satz des Ptolemäus. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Seitenlängen, Innenwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenlängen, Flächeninhalt.
 

•  Satz des Arbelos

Interaktive Untersuchung der von Archimedes als "Schustermesser" bezeichneten Figur. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Streckenlängen, Fläche des Arbelos, Eigenschaften der Arbelos-Kreise, des Sekantenkreises und des Tangentenkreises. Optional festlegbar: Darstellung von Arbelos-Tangente, Sekanten-Kreis, Tangenten-Kreis, Arbelos-Rechteck.

•  Pappus-Kreise

Darstellung der nach dem griechischen Mathematiker Pappus benannten Kreise. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Punktkoordinaten, Mittelpunkte der Halbkreisbögen, Länge der vertikalen Strecke FC, Eigenschaften der durch die Mittelpunkte der Pappus-Kreise beschriebenen Ellipse.

•  Archimedische Kreise

Interaktive Untersuchung der Zusammenhänge des geometrischen Problems Archimedische Kreise. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eigenschaften der Halbkreisbögen, Eigenschaften der inneren Kreise, Fläche der Möndchen und des Dreiecks, Punktkoordinaten, Streckenlängen.

•  Hippokrates Möndchen

Interaktive Untersuchung dieses Problems des altgriechischen Mathematikers Hippokrates. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eigenschaften der Halbkreisbögen, Eigenschaften des Dreiecks, Punktkoordinaten, Streckenlängen.

Hippokrates Möndchen - Bild 1     Hippokrates Möndchen - Bild 2

•  Varignon-Parallelogramm
 
Interaktive Veranschaulichung der Zusammenhänge am Varignon-Parallelogramm. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Winkel, Streckenlängen, Flächen des inneren und des äußeren Varignon-Parallelogramms, Punktkoordinaten, Diagonalenschnittpunkt.
 

•  Affine Abbildung
 
Mit aus bis zu zwölf verschiedenen Punkten bestehenden geometrischen Gebilden wird folgendes ermöglicht:
  • Durchführung einfacher affiner Transformationen
  • Durchführung affiner Mehrfachtransformationen
  • Ermittlung der Fixelemente affiner Abbildungen
 
•  Polygone
 
Durchführung verschiedener affiner Transformationen mit Polygonen, welche aus bis zu zwölf Eckpunkten bestehen können. Hierzu zählen:
  • Verschiebung
  • Punktspiegelung
  • Geradenspiegelung
  • Streckung
  • Drehung
  • Drehstreckung
  • Scherung an x-Achse
  • Scherung an y-Achse
  • Scherung an einer Geraden
  • Affine Transformation

•  Bewegungen in der Ebene
 
Interaktive Analyse von Bewegungen geometrischer Objekte in der Ebene. Durchführung und Analyse nachfolgend aufgeführter Arten von Transformationen mit Polygonen:
  • Verschiebung
  • Punktspiegelung
  • Geradenspiegelung
  • Streckung
  • Drehung
  • Drehstreckung
  • Scherung an x-Achse
  • Scherung an y-Achse
  • Scherung an einer Geraden
•  Gerade
 
Analyse einer oder zweier Geraden folgender Arten:
  • Allgemeine Form
  • Punkt-Richtungs-Form
  • Zwei-Punkte-Form
  • Achsenabschnittsform
  • Hessesche Normalenform
Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Achsenabschnitt der Geraden, Steigung der Geraden, Gleichung der Geraden, Abstand der Geraden vom Ursprung, Nullstelle der Geraden, Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden der entsprechenden Form, Schnittpunkt zweier Geraden der entsprechenden Form.

•  Gerade - Punkt
 
Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden, der Gleichung der Lotgeraden durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ausgabe der Koordinatenwerte für entsprechenden Lotfußpunkt. Die Gerade kann in einer der folgenden Formen definiert werden:
  • Allgemeine Form
  • Punkt-Richtungs-Form
  • Zwei-Punkte-Form
  • Achsenabschnittsform
  • Hessesche Normalenform
Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden analysiert und ausgegeben: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse, Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung.

•  Gerade - Gerade
 
Untersuchungen bzgl. der Eigenschaften einer Gerade, sowie der Schnitte zweier Geraden. Geraden können in einer der folgenden Formen definiert werden:
  • Allgemeine Form
  • Punkt-Richtungs-Form
  • Zwei-Punkte-Form
  • Achsenabschnittsform
  • Hessesche Normalenform
Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Schnittpunkt der Geraden, Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse, Winkelhalbierende der Geraden. Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden analysiert und ausgegeben: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse, Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung.

•  Kreis - Gerade
 
Durchführung von Untersuchungen mit Kreisen und Geraden. Kreise können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:
  • Mittelpunktform
  • 3-Punkte-Form
  • Vektorielle Form
  • Koordinatenform
  • Parameterform
  • Scheitelgleichung
Mögliche Definitionsformen für Geraden sind:
  • Allgemeine Form
  • Punkt-Richtungs-Form
  • Zwei-Punkte-Form
  • Achsenabschnittsform
  • Hessesche Normalenform
Das Programm ermittelt u.a.: Eigenschaften des Kreises, Eigenschaften der Gerade, Schnittpunkte des Kreises und der Geraden, Sehnenlänge des Kreisabschnitts, Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten, Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten.
•  Kreis - Kreis
 
Durchführung von Untersuchungen mit zwei Kreisen. Diese können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:
  • Mittelpunktform
  • 3-Punkte-Form
  • Vektorielle Form
  • Koordinatenform
  • Parameterform
  • Scheitelgleichung
Das Programm ermittelt u.a.: Gleichungen der Kreise in Mittelpunktform, Eigenschaften der Kreise, Schnittpunkte der Kreise, Sehnenlänge des Kreisabschnitts, Gleichung der Chordale der beiden Kreise, Gleichungen der Tangenten an die Kreise in den Schnittpunkten, Gleichungen der Normalen der Kreise in den Schnittpunkten.

•  Kreis - Punkt
 
Analysen mit Kreisen und Punkten in der Ebene. Kreise können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:
  • Mittelpunktform
  • 3-Punkte-Form
  • Vektorielle Form
  • Koordinatenform
  • Parameterform
  • Scheitelgleichung
Das Programm ermittelt u.a.: Gleichungen der Kreise in Mittelpunktform, Eigenschaften des Kreises, Berührpunkte der Kreistangenten, Gleichungen der Kreistangenten durch einen extern liegenden Punkt, Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte, Sehnenlänge.
 
 
•  Inversion einer Geraden oder eines Kreises am Kreis
 
Ermöglicht die interaktive Analyse der Zusammenhänge die bei Durchführung der Inversion einer Geraden an einem Kreis oder der Inversion eines Kreises an einem weiteren Kreis vorliegen.
 
•  Kegelschnitt (Pyramidenschnitt) - Prinzip
 
Kleines Unterprogramm, welches es ermöglicht, sich die beim Schnitt eines Kegels (einer Pyramide) in der Ebene entstehenden Flächen darstellen zu lassen.
 

•  Kegelschnitte in Mittelpunktlage
 
Interaktive Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in Mittelpunktlage bezeichnet werden. Es können analysiert werden:
  • Ellipse
  • Ellipse (Parameterdarstellung)
  • Hyperbel
  • Hyperbel (Parameterdarstellung)
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterdarstellung)
Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
  • Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
  • Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
  • Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
  • Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
  • Asymptoten (bei Hyperbeln)
  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
  • Subtangenten und Subnormalen
  • Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren
 
•  Kegelschnitte in achsparalleler Lage
 
Interaktive Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in achsparalleler Lage bezeichnet werden. Es können analysiert werden:
 
  • Ellipse
  • Ellipse (Parameterdarstellung)
  • Hyperbel
  • Hyperbel (Parameterdarstellung)
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterdarstellung)
Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
  • Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
  • Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
  • Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
  • Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
  • Asymptoten (bei Hyperbeln)
  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
  • Subtangenten und Subnormalen

•  Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt
 
Interaktive Untersuchungen zur Ermittlung der Gleichungen externer Tangenten an Kegelschnitte in Mittelpunktlage. Es können Untersuchungen mit folgenden Kegelschnittkurven durchgeführt werden:
 
  • Ellipse
  • Hyperbel
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
Das Programm ermittelt hierbei:
  • Berührpunkte der Kegelschnittkurve und der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten
  • Gleichungen von Tangenten an die entsprechende Kurve
  • Gleichung der Polare (durch die Berührpunkte verlaufende Gerade)
  • Gleichungen der Winkelhalbierenden der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten
Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
  • Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
  • Asymptoten (bei Hyperbeln)
 
 
•  Kegelschnitte - Gerade
 
Interaktive Untersuchung von Kegelschnitten in achsparalleler Lage, die von einer Geraden geschnitten werden, sowie die Analyse und Darstellung der Durchmesser von Kegelschnitten. In diesem Modul können Untersuchungen mit Kegelschnitten in achsparalleler Lage und Geraden interaktiv durchgeführt werden. An Kegelschnitten stehen zur Auswahl:
  • Ellipse
  • Hyperbel
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
  • Parabel mit vertikaler Öffnungsrichtung
Zudem lassen sich Durchmesser der folgenden Kegelschnitte darstellen:
  • Durchmesser einer Ellipse
  • Durchmesser einer Hyperbel
  • Durchmesser einer Parabel
Bei Untersuchungen mit Geraden können diese in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:
  • Steigungsform
  • Zwei-Punkte-Form
  • Hessescher Normalenform
  • Achsenabschnittsform
  • Allgemeiner Form
 
•  Allgemeine Kegelschnitte
 
Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die in Form der allgemeinen Gleichung 2. Ordnung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 gegeben sind. Aus den festlegbaren Werten für die Koeffizienten a, b, c, d, e und f ermittelt das Programm u.a.:
  • Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)
  • Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0
  • Eigenschaften des Kegelschnitts (Kegelwinkel, Mittelpunkt des Kegelschnitts, Halbachsen, Lineare Exzentrizität, Numerische Exzentrizität, Parameter 2p, Brennpunkte)
  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
 
•  Kegelschnitte durch 5 Punkte
 
Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die durch 5 Punkte beschrieben werden. Aus den eingegebenen Punktkoordinaten ermittelt das Programm zunächst die Koeffizienten a, b, c, d, e und f der Ausgangsgleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0. Hiernach führt es Berechnungen mit diesem Kegelschnitt durch und ermittelt u.a.:
  • Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)
  • Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0
  • Eigenschaften des Kegelschnitts (Kegelwinkel, Mittelpunkt des Kegelschnitts, Halbachsen, Lineare Exzentrizität, Numerische Exzentrizität, Parameter 2p, Brennpunkte)
  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.

Kegelschnitte durch fünf Punkte  - Bild 1     Kegelschnitte durch fünf Punkte  - Bild 2

•  Spirolateralkurven
 
Kleines Unterprogramm zur interaktiven Erzeugung und Darstellung von Spirolateralkurven.

•  Spiralen im Vieleck
 
Kleines Unterprogramm zur interaktiven Erzeugung und Darstellung von Spiralen in Vielecken.

•  Strahlensatz
 
Kleines Unterprogramm zur Durchführung interaktiver Untersuchungen zum Strahlensatz.

•  Interaktive Geometrie mit Objekten
 
Modul zum Erstellen und Analysieren einfacher Gebilde mit geometrischen Objekten. Es bietet die Möglichkeit Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren.

•  Dreieck - Pyramide - Quader im Raum
 
Darstellung, sowie numerische Analyse einfacher Gebilde im Raum. Es stehen folgende Objekte zur Verfügung, mit welchen Untersuchungen durchgeführt werden können:
  • Strecke
  • Dreieck
  • Pyramide
  • Würfel
  • Quader
Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Krummflächig begrenzte Körper
 
Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung verschiedener krummflächig begrenzter Körper. Untersuchungen können mit nachfolgend aufgeführten Körpern durchgeführt werden:
  • Kugel
  • Kugelsegment
  • Kugelsektor
  • Kugelschicht
  • Zylinder
  • Hohlzylinder
  • Kegel
  • Kegelstumpf
  • Torus
  • Zylinder - schräg geschnitten
  • Doppelkegel
  • Zylinderabschnitt
  • Schiefer Kegel
Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper
 
Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung verschiedener eben- und krummflächig begrenzter Körper. Untersuchungen können mit nachfolgend aufgeführten Gebilden durchgeführt werden:
  • Regelmäßiges Prisma
  • Senkrechter Zylinder
  • Vierseitige Pyramide
  • Kugel
  • Keil
  • Obelisk
  • Doppelpyramide
  • Pyramidenstumpf
  • Schiefes Prisma
  • Schiefe Pyramide
  • N-seitige Pyramide
Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.
 

•  Platonische Körper
 
Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung Platonischer Körper. Dies sind:
  • Tetraeder
  • Oktaeder
  • Hexaeder
  • Ikosaeder
  • Dodekaeder
Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Archimedische Körper
 
Darstellung und Analyse der 13, als Archimedische Körper bezeichneten, halbregulären Polyeder. Dies sind:
  • Abgeschrägtes Hexaeder
  • Abgeschrägtes Dodekaeder
  • Abgestumpftes Hexaeder
  • Kuboktaeder
  • Abgestumpftes Tetraeder
  • Rhombenkuboktaeder
  • Abgestumpftes Oktaeder
  • Ikosidodekaeder
  • Abgestumpftes Kuboktaeder
  • Rhombenikosidodekaeder
  • Abgestumpftes Dodekaeder
  • Abgestumpftes Ikosaeder
  • Abgestumpftes Ikosidodekaeder
Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Spezielle Polyeder
 
Darstellung der 92 Johnson-, wie auch anderer Polyeder.

•  Selfbuild
 
Erstellung einfacher räumlicher Streckendarstellungen. Es können einfache Zeichnungen mit Strecken erstellt werden, deren Positionen und Längen durch die Definition je zweier Raumpunkte vorgegeben werden. Zudem lassen sich Folgen räumlich definierter Punkte darstellen.