MathProf - Beschreibung einzelner Module zum Fachthema Geometrie

Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzbeschreibungen zu einigen Modulen, die im
Programm
MathProf unter dem Hauptmenüpunkt Geometrie implementiert sind.



•  Ellipse:

Berechnung und Darstellung von Ellipsen durch statische, oder interaktive Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Halbachsen, lineare Exzentrizität, numerische Exzentrizität, Fläche, Halbparameter, Umfang, Brennpunktkoordinaten.

•  Vieleck:

Berechnung und Darstellung von Vielecken durch statische, oder interaktive Festlegung von Werten verschiedener Größen (Ausgegeben werden u.a.: Umkreisradius, Seitenlänge, Zentriwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenanzahl, Umfang des Polygons, Fläche des Polygons, Fläche des Inkreises, Eckpunktkoordinaten).

•  Kreisausschnitt:

Berechnung und Darstellung von Kreisauschnitten durch statische, oder interaktive Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Radius des Kreises, Fläche des Kreisausschnitts, Kreisumfang, Winkel des Kreisausschnitts, Bogenlänge des Kreisausschnitts, Fläche des Kreises, Fläche des Kreissegments, Länge der Sehne, Schwerpunkt des Kreisausschnitts, Ortspunktkoordinaten.

•  Kreissegment:

Berechnung und Darstellung von Kreissegmenten durch statische, oder interaktive Festlegung von Werten verschiedener Größen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Radius des Kreises, Fläche des Kreissegments, Höhe des Kreissegments, Winkel des Kreissegments, Bogenlänge des Kreissegments, Gesamtfläche des Kreises, Fläche des Kreissektors, Länge der Sehne, Kreisumfang, Schwerpunkt des Kreissegments.

•  Allgemeines Viereck:

Interaktive Festlegung und Analyse der Eigenschaften eines allgemeinen Vierecks. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Seitenlängen, Innenwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenlängen, Diagonalenschnittwinkel, Flächeninhalt. Optional festlegbar: Darstellung von Diagonalen, Seitenhalbierenden, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden.

•  Parallelogramm:

Interaktive Analyse der Eigenschaften von Parallelogrammen. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Winkel, Seitenlängen, Fläche, Umfang, Diagonalenlängen, Diagonalenwinkel, Höhen, Schwerpunkt.

•  Satz des Ptolemäus:

Interaktive Untersuchungen zum Satz des Ptolemäus. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Seitenlängen, Innenwinkel, Innenwinkelsumme, Diagonalenlängen, Flächeninhalt.

•  Satz des Arbelos:

Interaktive Untersuchung der von Archimedes als "Schustermesser" bezeichneten Figur. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eckpunktkoordinaten, Streckenlängen, Fläche des Arbelos, Eigenschaften der Arbelos-Kreise, des Sekantenkreises und des Tangentenkreises. Optional festlegbar: Darstellung von Arbelos-Tangente, Sekanten-Kreis, Tangenten-Kreis, Arbelos-Rechteck.

•  Pappus-Kreise:

Darstellung der nach dem griechischen Mathematiker Pappus benannten Kreise. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Punktkoordinaten, Mittelpunkte der Halbkreisbögen, Länge der vertikalen Strecke FC, Eigenschaften der durch die Mittelpunkte der Pappus-Kreise beschriebenen Ellipse.

•  Archimedische Kreise:

Interaktive Untersuchung der Zusammenhänge des geometrischen Problems Archimedische Kreise. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eigenschaften der Halbkreisbögen, Eigenschaften der inneren Kreise, Fläche der Möndchen und des Dreiecks, Punktkoordinaten, Streckenlängen.

•  Hippokrates Möndchen:

Interaktive Untersuchung dieses Problems des altgriechischen Mathematikers Hippokrates. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Eigenschaften der Halbkreisbögen, Eigenschaften des Dreiecks, Punktkoordinaten, Streckenlängen.

•  Varignon-Parallelogramm:

Interaktive Veranschaulichung der Zusammenhänge am Varignon-Parallelogramm. Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Winkel, Streckenlängen, Flächen des inneren und des äußeren Varignon-Parallelogramms, Punktkoordinaten, Diagonalenschnittpunkt.

•  Affine Abbildung:

Mit aus bis zu zwölf verschiedenen Punkten bestehenden geometrischen Gebilden wird folgendes ermöglicht:

· Durchführung einfacher affiner Transformationen
· Durchführung affiner Mehrfachtransformationen
· Ermittlung der Fixelemente affiner Abbildungen

•  Polygone:

Durchführung grundlegender affiner Transformationen mit Polygonen, welche aus bis zu zwölf Eckpunkten bestehen können. Hierzu zählen:

· Verschiebung
· Punktspiegelung
· Geradenspiegelung
· Streckung
· Drehung
· Drehstreckung
· Scherung an x-Achse
· Scherung an y-Achse
· Scherung an einer Geraden
· Affine Transformation

•  Bewegungen in der Ebene:

Interaktive Analyse von Bewegungen geometrischer Objekte in der Ebene. Durchführung und Analyse nachfolgend aufgeführter Arten von Transformationen mit Polygonen:

· Verschiebung
· Punktspiegelung
· Geradenspiegelung
· Streckung
· Drehung
· Drehstreckung
· Scherung an x-Achse
· Scherung an y-Achse
· Scherung an einer Geraden

•  Gerade:

Analyse einer oder zweier Geraden der Formen:

· Allgemeine Form
· Punkt-Richtungs-Form
· Zwei-Punkte-Form
· Achsenabschnittsform
· Hessesche Normalenform

 
Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Achsenabschnitt der Geraden, Steigung der Geraden, Gleichung der Geraden, Abstand der Geraden vom Ursprung, Nullstelle der Geraden, Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden der entsprechenden Form, Schnittpunkt zweier Geraden der entsprechenden Form.

•  Gerade - Punkt:

Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden, der Gleichung der Lotgeraden durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ausgabe der Koordinatenwerte für entsprechenden Lotfußpunkt. Die Gerade kann in einer der folgenden Formen definiert werden:

· Allgemeine Form
· Punkt-Richtungs-Form
· Zwei-Punkte-Form
· Achsenabschnittsform
· Hessesche Normalenform

Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden analysiert und ausgegeben: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse, Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung.

•  Gerade - Gerade:

Untersuchungen bzgl. der Eigenschaften einer Gerade, sowie der Schnitte zweier Geraden. Die Gerade kann in einer der folgenden Formen definiert werden:

· Allgemeine Form
· Punkt-Richtungs-Form
· Zwei-Punkte-Form
· Achsenabschnittsform
· Hessesche Normalenform

Ermittelt und ausgegeben werden u.a. Werte für: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Schnittpunkt der Geraden, Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse, Winkelhalbierende der Geraden. Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden analysiert und ausgegeben: Funktionsgleichungen der Geraden, Nullstellen der Geraden, Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse, Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung.

•  Kreis - Gerade:

Durchführung von Untersuchungen mit Kreisen und Geraden. Kreise können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

· Mittelpunktform
· 3-Punkte-Form
· Vektorielle Form
· Koordinatenform
· Parameterform
· Scheitelgleichung

Mögliche Definitionsformen für Geraden sind:

· Allgemeine Form
· Punkt-Richtungs-Form
· Zwei-Punkte-Form
· Achsenabschnittsform
· Hessesche Normalenform

Das Programm ermittelt u.a.: Eigenschaften des Kreises, Eigenschaften der Gerade, Schnittpunkte des Kreises und der Geraden, Sehnenlänge des Kreisabschnitts, Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten, Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten.

•  Kreis - Kreis:

Durchführung von Untersuchungen mit zwei Kreisen. Diese können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

· Mittelpunktform
· 3-Punkte-Form
· Vektorielle Form
· Koordinatenform
· Parameterform
· Scheitelgleichung

Das Programm ermittelt u.a.: Gleichungen der Kreise in Mittelpunktform, Eigenschaften der Kreise, Schnittpunkte der Kreise, Sehnenlänge des Kreisabschnitts, Gleichung der Chordale der beiden Kreise, Gleichungen der Tangenten an die Kreise in den Schnittpunkten, Gleichungen der Normalen der Kreise in den Schnittpunkten.

•  Kreis - Punkt:

Analysen mit Kreisen und Punkten in der Ebene. Kreise können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

· Mittelpunktform
· 3-Punkte-Form
· Vektorielle Form
· Koordinatenform
· Parameterform
· Scheitelgleichung

Das Programm ermittelt u.a.: Gleichungen der Kreise in Mittelpunktform, Eigenschaften des Kreises, Berührpunkte der Kreistangenten, Gleichungen der Kreistangenten durch einen extern liegenden Punkt, Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte, Sehnenlänge.

•  Inversion eines Kreises am Kreis:

Interaktive Analyse der Durchführung einer Inversion eines Kreises K2 an einem Ursprungskreis K1, dessen Mittelpunkt frei wählbar ist und dessen Radius eingestellt werden kann.

•  Kegelschnitt - Prinzip:

Kleines Unterprogramm, welches es ermöglicht, sich die beim Schnitt eines Kegels in der Ebene entstehenden Flächen darstellen zu lassen.

•  Kegelschnitte in Mittelpunktlage:

Interaktive Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in Mittelpunktlage bezeichnet werden. Es können analysiert werden:

· Ellipse
· Ellipse (Parameterform)
· Hyperbel
· Hyperbel (Parameterform)
· Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
· Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform)

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

· Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
· Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
· Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
· Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
· Asymptoten (bei Hyperbeln)
· Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
· Subtangenten und Subnormalen
· Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren

•  Kegelschnitte in achsparalleler Lage:

Interaktive Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in achsparalleler Lage bezeichnet werden. Es können analysiert werden:

· Ellipse
· Ellipse (Parameterform)
· Hyperbel
· Hyperbel (Parameterform)
· Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
· Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform)

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

· Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
· Brennpunkte - und Brennstrahlen
· Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
· Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
· Asymptoten (bei Hyperbeln)
· Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
· Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.

•  Kegelschnitt in Mittelpunktlage - Punkt:

Interaktive Untersuchungen zur Ermittlung der Gleichungen externer Tangenten an Kegelschnitte in Mittelpunktlage. Es können Untersuchungen mit folgenden Kegelschnittkurven durchgeführt werden:

· Ellipse
· Hyperbel
· Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

Das Programm ermittelt hierbei:

· Berührpunkte der Kegelschnittkurve und der durch den externen Punkt verlaufenden
  Tangenten
· Gleichungen von Tangenten an die entsprechende Kurve
· Gleichung der Polare (durch die Berührpunkte verlaufende Gerade)
· Gleichungen der Winkelhalbierenden der durch den externen Punkt verlaufenden
  Tangenten

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

· Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
· Asymptoten (bei Hyperbeln)

•  Kegelschnitte - Gerade:

Interaktive Untersuchung von Kegelschnitten in achsparalleler Lage, die von einer Geraden geschnitten werden, sowie die Analyse und Darstellung der Durchmesser von Kegelschnitten. In diesem Modul können Untersuchungen mit Kegelschnitten in achsparalleler Lage und Geraden interaktiv durchgeführt werden. An Kegelschnitten stehen zur Auswahl:

· Ellipse
· Hyperbel
· Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
· Parabel mit vertikaler Öffnungsrichtung

Zudem lassen sich Durchmesser der folgenden Kegelschnitte darstellen:

· Durchmesser einer Ellipse
· Durchmesser einer Hyperbel
· Durchmesser einer Parabel

Bei Untersuchungen mit Geraden können diese in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

· Steigungs-Form
· Zwei-Punkte-Form
· Hessescher Normalenform
· Achsenabschnittsform
· Allgemeiner Form

•  Allgemeine Kegelschnitte:

Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die in Form der allgemeinen Gleichung 2. Ordnung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 gegeben sind. Aus den festlegbaren Werten für die Koeffizienten a, b, c, d, e und f ermittelt das Programm u.a.:

· Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)
· Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0
· Eigenschaften des Kegelschnitts (Kegelwinkel, Mittelpunkt des Kegelschnitts,
  Halbachsen, Lineare Exzentrizität, Numerische Exzentrizität, Parameter 2p,
  Brennpunkte)
· Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.

•  Kegelschnitte durch 5 Punkte:

Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die durch 5 Punkte beschrieben werden. Aus den eingegebenen Punktkoordinaten ermittelt das Programm zunächst die Koeffizienten a, b, c, d, e und f der Ausgangsgleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0. Hiernach führt es Berechnungen mit diesem Kegelschnitt durch und ermittelt u.a.:

· Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)
· Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0
· Eigenschaften des Kegelschnitts (Kegelwinkel, Mittelpunkt des Kegelschnitts,
  Halbachsen, Lineare Exzentrizität, Numerische Exzentrizität, Parameter 2p,
  Brennpunkte)
· Tangenten und Normalen bei best. Abszissenposition.

•  Spirolateralkurven:

Kleines Unterprogramm zur interaktiven Erzeugung und Darstellung von Spirolateralkurven.

•  Spiralen im Vieleck:

Kleines Unterprogramm zur interaktiven Erzeugung und Darstellung von Spiralen in Vielecken.

•  Strahlensatz:

Kleines Unterprogramm zur Durchführung interaktiver Untersuchungen zum Strahlensatz.

•  Interaktive Geometrie mit Objekten:

Modul zum Erstellen und Analysieren einfacher Gebilde mit geometrischen Objekten. Es bietet die Möglichkeit Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren.

•  Dreieck - Pyramide - Quader im Raum:

Darstellung, sowie numerische Analyse einfacher Gebilde im Raum. Es stehen folgende Objekte zur Verfügung, mit welchen Untersuchungen durchgeführt werden können:

· Strecke
· Dreieck
· Pyramide
· Würfel
· Quader

Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Krummflächig begrenzte Körper:

Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung verschiedener krummflächig begrenzter Körper. Untersuchungen können mit nachfolgend aufgeführten Körpern durchgeführt werden:

· Kugel
· Kugelsegment
· Kugelsektor
· Kugelschicht
· Zylinder
· Hohlzylinder
· Kegel
· Kegelstumpf
· Torus
· Zylinder - schräg geschnitten
· Doppelkegel
· Zylinderabschnitt
· Schiefer Kegel

Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Eben- und krummflächig begrenzte Körper:

Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung verschiedener eben- und krummflächig begrenzter Körper. Untersuchungen können mit nachfolgend aufgeführten Körpern durchgeführt werden:

· Regelmäßiges Prisma
· Senkrechter Zylinder
· Vierseitige Pyramide
· Senkrechter Kreiskegel
· Kugel
· Keil
· Obelisk
· Doppelpyramide
· Pyramidenstumpf
· Schiefes Prisma
· Schiefe Pyramide
· N-seitige Pyramide

Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Platonische Körper:

Berechnung, sowie die dreidimensionale Darstellung Platonischer Körper. Dies sind:

· Tetraeder
· Oktaeder
· Hexaeder
· Ikosaeder
· Dodekaeder

Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Archimedische Körper:

Darstellung und Analyse der 13, als Archimedische Körper bezeichneten, halbregulären Polyeder. Dies sind:

· Abgeschrägtes Hexaeder
· Abgeschrägtes Dodekaeder
· Abgestumpftes Hexaeder
· Kuboktaeder
· Abgestumpftes Tetraeder
· Rhombenkuboktaeder
· Abgestumpftes Oktaeder
· Ikosidodekaeder
· Abgestumpftes Kuboktaeder
· Rhombenikosidodekaeder
· Abgestumpftes Dodekaeder
· Abgestumpftes Ikosaeder
· Abgestumpftes Ikosidodekaeder

Das Programm ermittelt nach der Definition eines Gebildes dessen wesentliche Eigenschaften und gibt die Werte dieser aus.

•  Spezielle Polyeder:

Darstellung der 92 Johnson-, wie auch anderer Polyeder.

•  Selfbuild - Strecken:

Erstellung einfacher räumlicher Streckendarstellungen. Es können einfache Zeichnungen mit Strecken erstellt werden, deren Positionen und Längen durch die Definition je zweier Raumpunkte vorgegeben werden.

•  Selfbuild - Punkte:

Darstellung von Punkten im Raum. Hierbei lassen sich u.a. Folgen räumlich definierter Punkte ausgeben.