MathProf - Galton-Brett - Simulation - Galton board - Möglichkeiten

MathProf - Mathematik-Software - Galton-Brett | Binomialverteilung | Kugeln | Simulation

Fachthema: Galton-Brett

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Galton-Brett | Binomialverteilung | Kugeln | Simulation

Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Simulation von Zufallsexperimenten mit Hilfe des Galton-Bretts.

Hierbei erfolgt die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Berechnung der empirischen und theoretischen Wahrscheinlichkeit zum Eintreffen des Ereignisses, dass eine das Galton-Brett durchfallende Kugel in einen bestimmten Schacht dessen fällt.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Galton board - Galtonsches Nagelbrett - Galtonbrett - Empirische Wahrscheinlichkeit - Theoretische Wahrscheinlichkeit - Binomialverteilung - Bernoulli - Bild - Grafik - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Auswertung - Auswerten - Zufall - Zufallsexperiment - Möglichkeiten - Wahrscheinlichkeitsrechnung

 
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Galton-Brett

 

Im Unterprogramm [Stochastik] - Galton-Brett können Zufallsexperimente mit dem Galton-Brett simuliert werden.

 

MathProf - Galton-Brett - Galtonbrett - Wahrscheinlichkeit - Simulation - Empirische Wahrscheinlichkeit - Theoretische Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Galton board

 

Auf einem Brett sind n Nagelreihen waagrecht derart platziert, dass die jeweils übereinanderliegenden Nagelreihen zueinander auf Lücke stehen. Lässt man hinreichend viele Kugeln über die Nagelreihen hinabrollen, so werden diese beim Auftreffen auf einen Nagel zufällig nach links unten, oder nach rechts unten, abgelenkt bis sie letztendlich in einen der n+1 Schächte unterhalb der n-ten und letzen Nagelreihe fallen, dort gesammelt und gezählt werden.
 

Beim Auftreffen einer Kugel an einem Nagel wird diese mit einer Wahrscheinlichkeit p nach rechts, bzw. q = 1-p nach links abgelenkt. Jede Ablenkung einer Kugel durch einen Nagel stellt ein Bernoulli-Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten p und q dar. Das Durchlaufen von n Nagelreihen ist somit als n-malige Durchführung eines Bernoulli-Experiments aufzufassen. Wird dieses Experiment häufig wiederholt, so sammeln sich die Kugeln, gemäß den Gesetzen der Binomialverteilung.

Liegt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit bei 50%, dass Kugeln an einem Nagel nach rechts abgelenkt werden, so liegt eine Binomialverteilung mit dem Parameterwert p = 0,5 vor.

Derartige Zusammenhänge können Sie in diesem Unterprogramm untersuchen. Das Programm simuliert Zufallsereignisse dieser Art, gibt die ermittelte (empirische) Wahrscheinlichkeit aus und stellt diese der theoretischen Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der Ereignisse gegenüber.

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Simulation


Die Anzahl zu verwendender Schächte können Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Anzahl Schächte einstellen. Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel beim Auftreffen auf einen Nagel nach links abgelenkt wird, stellen Sie mit dem Rollbalken Wahrsch. f. Fallen nach links ein. Die Benutzung des Rollbalkens Verzögerung bietet die Möglichkeit die Simulationsgeschwindigkeit des Fallens der Kugeln einzustellen. Wurde vor Start einer Simulation das Kontrollkästchen Weg darstellen aktiviert, so wird der von fallenden Kugeln durchlaufene Weg dargestellt.

Starten können Sie die Simulation, indem Sie die Schaltfläche Start bedienen. Diese wird automatisch beendet, nachdem die maximale Anzahl aufnehmbarer Kugeln eines Schachts erreicht ist. Wird die Schaltfläche Stop zuvor bedient, so wird die Simulation angehalten.

Das Programm gibt die Anzahl, die empirische, sowie die theoretische Wahrscheinlichkeit der sich in einem Schacht befindenden Kugeln aus.

Weitere Themenbereiche

 

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

 

Beispiel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung


Legen Sie mit Hilfe des Rollbalkens Anzahl Schächte die Anzahl der Brettschächte auf 8 fest und positionieren Sie den Rollbalken Wahrsch. f. Fallen nach links auf den Wert 0.5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen führt das Programm eine Simulation durch und gibt die Ergebnisse aus.

Vergleichen Sie die durch die Zufallsergebnisse ermittelten Werte (empirische Wahrscheinlichkeiten) mit den rechtsseitig angegeben Werten für die theoretischen Wahrscheinlichkeiten des Eintreffens der Ereignisse (bei einer Binomialverteilung), so kann man bereits bei der relativ geringen Anzahl von Wiederholungen (100) leicht erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten für das Gelangen einer Kugel in einen bestimmten Behälter durch eine Binomialverteilung beschrieben werden kann.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Galton-Brett - Galton board - Galtonbrett - Simulation - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Bernoulli - Experiment - Möglichkeiten - Programm - Stochastik - Wahrscheinlichkeit - Beispiel

MathProf - Galton-Brett - Galton board - Galtonbrett - Interaktiv - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Galton-Board - Wege - Empirische Wahrscheinlichkeit - Theoretische Wahrscheinlichkeit - Beispiel

  

Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.

  

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Galton-Brett zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

Weitere Produkte
  
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu weiteren von uns entwickelten Produkten.

PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einfussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik


Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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