MathProf - Galton-Brett

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Galton-Brett

 

Im Unterprogramm [Stochastik] - Galton-Brett können Zufallsexperimente mit dem Galton-Brett simuliert werden.

 

MathProf - Galton - Brett

 

Auf einem Brett sind n Nagelreihen waagrecht derart platziert, dass die jeweils übereinanderliegenden Nagelreihen zueinander auf Lücke stehen. Lässt man hinreichend viele Kugeln über die Nagelreihen hinabrollen, so werden diese beim Auftreffen auf einen Nagel zufällig nach links unten, oder nach rechts unten, abgelenkt bis sie letztendlich in einen der n+1 Schächte unterhalb der n-ten und letzen Nagelreihe fallen, dort gesammelt und gezählt werden.
 

Beim Auftreffen einer Kugel an einem Nagel wird diese mit einer Wahrscheinlichkeit p nach rechts, bzw. q = 1-p nach links abgelenkt. Jede Ablenkung einer Kugel durch einen Nagel stellt ein Bernoulli-Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten p und q dar. Das Durchlaufen von n Nagelreihen ist somit als n-malige Durchführung eines Bernoulli-Experiments aufzufassen. Wird dieses Experiment häufig wiederholt, so sammeln sich die Kugeln, gemäß den Gesetzen der Binomialverteilung.

Liegt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit bei 50%, dass Kugeln an einem Nagel nach rechts abgelenkt werden, so liegt eine Binomialverteilung mit dem Parameterwert p = 0,5 vor.

Derartige Zusammenhänge können Sie in diesem Unterprogramm untersuchen. Das Programm simuliert Zufallsereignisse dieser Art, gibt die ermittelte (empirische) Wahrscheinlichkeit aus und stellt diese der theoretischen Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der Ereignisse gegenüber.

Simulation


Die Anzahl zu verwendender Schächte können Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Anzahl Schächte einstellen. Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel beim Auftreffen auf einen Nagel nach links abgelenkt wird, stellen Sie mit dem Rollbalken Wahrsch. f. Fallen nach links ein. Die Benutzung des Rollbalkens Verzögerung bietet die Möglichkeit die Simulationsgeschwindigkeit des Fallens der Kugeln einzustellen. Wurde vor Start einer Simulation das Kontrollkästchen Weg darstellen aktiviert, so wird der von fallenden Kugeln durchlaufene Weg dargestellt.

Starten können Sie die Simulation, indem Sie die Schaltfläche Start bedienen. Diese wird automatisch beendet, nachdem die maximale Anzahl aufnehmbarer Kugeln eines Schachts erreicht ist. Wird die Schaltfläche Stop zuvor bedient, so wird die Simulation angehalten.

Das Programm gibt die Anzahl, die empirische, sowie die theoretische Wahrscheinlichkeit der sich in einem Schacht befindenden Kugeln aus.

Weitere Themenbereiche

 

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

 

Beispiel


Legen Sie mit Hilfe des Rollbalkens Anzahl Schächte die Anzahl der Brettschächte auf 8 fest und positionieren Sie den Rollbalken Wahrsch. f. Fallen nach links auf den Wert 0.5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen führt das Programm eine Simulation durch und gibt die Ergebnisse aus.

Vergleichen Sie die durch die Zufallsergebnisse ermittelten Werte (empirische Wahrscheinlichkeiten) mit den rechtsseitig angegeben Werten für die theoretischen Wahrscheinlichkeiten des Eintreffens der Ereignisse (bei einer Binomialverteilung), so kann man bereits bei der relativ geringen Anzahl von Wiederholungen (100) leicht erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten für das Gelangen einer Kugel in einen bestimmten Behälter durch eine Binomialverteilung beschrieben werden kann.
 

Module zum Themenbereich Stochastik


Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)


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