MathProf - Gerade in Zwei-Punkte-Form im Raum (3D)

MATHPROF 5.0
  Interaktive Mathematik-Software für Analysis, Algebra, Geometrie, Stochastik, Vektoralgebra und vieles andere mehr ...

 

Gerade in 2-Punkte-Form im Raum (3D)
(Geraden im Raum)

 

Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Gerade in 2-P-Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Geraden in Zwei-Punkte-Form im Raum.

 

MathProf - Gerade - 3D


Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Unterprogramms sind:

  • Eigenschaftsanalyse einer Gerade in 2-Punkte-Form
  • Darstellung einer Gerade in 2-Punkte-Form (sowie eines Punktes, oder einer weiteren Geraden)
  • Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden in 2-Punkte-Form
  • Ermittlung des Schnittpunkts und des Schnittwinkels zweier Geraden
  • Ermittlung des Abstands zweier Geraden

Definitionsformen von Geraden

Mögliche Definitionsformen von Geraden in diesem Unterprogramm sind:

Parameterdarstellung einer Geraden in Zwei-Punkte-Form:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 1

Parameterdarstellung einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 2

Zusammenhänge

Relevante Zusammenhänge zu diesem Fachthema sind nachfolgend aufgezeigt.

Abstand eines Punktes Q von einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 3

rQ: Ortsvektor des Punktes Q

Abstand zweier Geraden:

Abstand zweier windschiefer Geraden, welche in Punkt-Richtungs-Form definiert sind:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 4

Zwei Geraden welche in Punkt-Richtungs-Form definiert sind, schneiden sich wenn dieses Spatprodukt verschwindet:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 5

Schnittpunkt zweier Geraden:

Der Schnittpunkt zweier windschiefer Geraden, welche in Punkt-Richtungs-Form definiert sind, kann ermittelt werden durch die Gleichsetzung der Vektorgleichungen:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 6

Schnittwinkel zweier windschiefer Geraden:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 7

Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Geraden in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

d: Abstand einer Geraden vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Gerade
SP: Schnittpunkt zweier Geraden
SW: Schnittwinkel zweier Geraden
g,g1,g2: Gerade in 2-Punkte- oder Punkt-Richtungs-Form
α,β,γ: Neigungswinkel einer Geraden bzgl. entspr. Achsen
r,r1,r2: Ortsvektor einer Geraden
a,b: Richtungsvektor einer Geraden
P,P1,P2,P3: Punkte
λ: Parameterwerte für Richtungsvektoren einer Geraden
g1-g2: Gerade 1 - Gerade 2

 

MathProf - Gerade - Raum

 

Darstellung einer Geraden in 2-Punkte-Form

 

Um eine Gerade, welche in 2-Punkte-Form definiert ist, darstellen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Wählen Sie den Kontrollschalter Gerade in 2-P-Form.
     
  3. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Gerade beschrieben wird, in die dafür vorgesehenen Felder P1 und P2 ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Eigenschaftsanalyse einer Geraden in 2-Punkte-Form


MathProf - Gerade - Punkte

Die Untersuchung einer Geraden auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

  1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in 2-P-Form.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Gerade beschrieben wird, in die hierfür vorgesehenen Felder P1 und P2 ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

Die im Folgenden aufgeführten Details einer Geraden in 2-Punkte-Form werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse ermittelt:

  • Abstand d der Geraden vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Gerade
  • Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Achsen
  • Streckenlänge der Geraden zwischen zwei Punkten P1 und P2
  • Definition der Geraden in 2-Punkte- sowie Punkt-Richtungs-Form

Abstand eines Punktes von einer Geraden in 2-Punkte-Form
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Gerade - Abstand - Punkt

 

Um den Abstand eines Punktes von einer Geraden ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Wählen Sie den Kontrollschalter Gerade in 2-P-Form und Punkt.
     
  3. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Gerade beschrieben wird, in die hierfür vorgesehenen Felder P1 und P2 ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und legen Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern (x,y,z) des Unterformulars fest.
     
  5. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lage des Punktes und der Geraden grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Ermittlung der gegenseitigen Lage zweier Geraden (Schnittpunkt, Schnittwinkel, Abstand)
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Vektoren - Abstand

 

Um den Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Möchten Sie die Lagen einer Geraden in 2-Punkte-Form und einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form analysieren, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in 2-P-Form und Gerade in P-R-Form. Um die Lagen zweier Geraden in 2-Punkte-Form zu untersuchen, aktivieren Sie den Kontrollschalter 2 Geraden in 2-P-Form.
     
  3. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die erste Gerade beschrieben wird, in die hierfür vorgesehenen Felder P1 und P2 ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Geben Sie die Koeffizientenwerte, bzw. Punktkoordinaten der Vektoren der zweiten Geraden in die dafür vorgesehenen Felder im Unterformular ein.
     
  6. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  7. Möchten Sie sich die Lagen der Geraden grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Liegen beide Gerade parallel, so ermittelt das Programm deren Abstand.

Soll bei Ausgabe der Darstellung eine Strecke eingezeichnet werden, die vertikal zu den Geraden steht, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Abstandslinie.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Option können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten
  • Vektoren: Darstellung der Orts- und Richtungsvektoren der Geraden ein-/ausschalten
  • Geradenpunkte: Darstellung zweier Punkte, durch welche die Gerade verläuft ein-/ausschalten (bei Darstellung einer Gerade in 2-Punkte-Form sind dies die Punkte, welche durch Rollbalkenpositionierung festgelegt wurden)
  • Abstandslinie: Darstellung der vertikalen Abstandslinie zwischen zwei Geraden ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien der Geraden ein-/ausschalten
  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Eigenschaften einer Gerade in 2-Punkte-Form:

Es gilt, sich die Eigenschaften einer Gerade ausgeben zu lassen, welche durch die Punkte P1 (-4 / 2 / -3) und P2 (6 / -7 / 8) verläuft.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in 2-P-Form, der Eingabe der Koordinatenwerte der beiden Punkte, durch welche die Gerade g verläuft und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, ermittelt das Programm folgende Ergebnisse:

Gleichung der Geraden g in vektorieller Schreibweise (Punkt-Richtungs-Form):

 

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 8
 

Richtungswinkel der Gerade g:
 

α = 54,87°

β = 121,191°

γ = 50,73°

 

Abstand der Gerade g vom Koordinatenursprung: d = 1,257
 

Spurpunkte der Gerade g:
 

Sx (0 / -1,6 / 1,4)

Sy (-1,778 / 0 / -0,566)

Sz (-1,273 / -0,455 / 0)
 

Länge der Strecke zwischen den Geradenpunkten P1 und P2: 17,378

Beispiel 2 - Abstand eines Punkts von einer Gerade in 2-Punkte-Form:

Es ist der Abstand des Punktes P (1,5 / 4,5 / 2) von einer Gerade g zu ermitteln, welche durch die Punkte P1 (2 / 7 / 1) und P2 (1 / 2 / 3) verläuft.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Eingabe der Koordinatenwerte zweier Punkte, durch welche Gerade g verläuft und einer Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in 2-P-Form und Punkt, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, wie der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts P im Unterformular, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:

Der Abstand des Punktes P von der Geraden g beträgt: d = 0

(Punkt P liegt auf der Geraden)

 

Wir hierauf die Schaltfläche Darstellen bedient, so gibt das Programm für den definerten Punkt

P (1,5 / 4,5 / 2) zusätzlich aus:

 

Die Koordinatenwerte des Lotfußpunkts vom Punkt P auf die Gerade g sind L (1,5 / 4,5 / 2).

 

Der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung beträgt d = 5,148.

Beispiel 3 - Lage einer Geraden in 2-Punkte-Form und einer Gerade in Punkt-Richtungs-Form:

Es ist eine Analyse bzgl. der Lagen zweier Geraden durchzuführen. Die erste Gerade verlaufe durch die beiden Punkte P1 (2 / 7 / 1) und P2 (1 / 2 / 3). Die zweite Gerade sei beschrieben mit:

Gerade - Raum - Richtung - Gleichung - 9
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Eingabe der Koordinatenwerte der beiden Punkte P1 und P2, durch welche Gerade g1 verläuft und einer Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in 2-P-Form und Gerade in P-R-Form, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Geraden g2 im Unterformular, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:

Die Geraden schneiden sich in Punkt: SP (1 / 2 / 3)
Der Schnittwinkel beider Geraden beträgt: 49,217°

 

Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)


Zur Inhaltsseite