MathProf - Schnittpunkt - Funktionen - Kurven - Funktionsschnittpunkt

 

Modul Funktionsschnittpunkte - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Funktionswerte und Schnittpunkte] - Funktionsschnittpunkte - Interaktiv bietet die Möglichkeit der Durchführung der interaktiven Ermittlung und grafischen Darstellung der Schnittpunkte zweier verschiedener Funktionen, welche in expliziter Form definiert sind.
 

 
Das Modul ermöglicht innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs die Durchführung einer iterativen Suche nach Schnittpunkten zweier Funktionen, die in expliziter Form definiert sind.
Es werden ermittelt und grafisch ausgegeben:

• Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Funktionen der Formen f1(x,p) und f2(x,p)
• Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten dieser Funktionen
• Eigenschaften der Krümmungskreise der Funktionen, welche durch diese Schnittpunkte verlaufen

 
Um die Schnittpunkte zweier Funktionen innerhalb eines bestimmten Untersuchungsbereichs ermitteln zu lassen, gehen Sie folgendermaßen vor:
 

1. Definieren Sie die beiden, den geltenden Syntaxregeln gemäß formulierten, Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(x,p) = und f2(x,p) =.
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
3. Legen Sie den zum Auffinden von Funktionsschnittpunkten zu analysierenden Bereich fest, indem Sie in die rechteckig umrahmten Mausfangbereiche klicken und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse) (voreingestellt: -10 £ x £ 10).
    
4. Möchten Sie die Abszissenwerte des Untersuchungsbereichs exakt positionieren, so können Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
5. Um die Darstellung von Tangenten, Normalen und Krümmungskreisen in/durch Schnittpunkte zu ermöglichen, aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten, Normalen bzw. Krümmungskreise und wählen aus der aufklappbaren Auswahlbox den entsprechenden Eintrag, um festzulegen für welche Kurve die entsprechenden Geraden oder Kreise auszugeben sind.
    
6. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.
Aufgefundene Schnittpunkte werden mit der Bezeichnung SP, sowie einem fortlaufenden Nummer-Index gekennzeichnet.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wurden zum Auffinden von Schnittpunkten Funktionsterme erstellt, von welchen keiner das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.


 
Enthält einer der erstellten Terme das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Schnittpkt.: Markierung und Nummerierung ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
• Bereich: Untersuchungsbereichsmarkierung ein-/ausschalten
   
• Tangenten: Darstellung der Tangenten der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
• Krümmungskreise: Darstellung der durch die Schnittpunkte der entsprechenden Kurve verlaufenden Krümmungskreise ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Funktionsschnittpunkte
Mathematische Funktionen I
Gleichungen
   
Beispiel 1:
 
Es gilt, die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = 3·cos(x/5) sowie f2(x) = 2·x·2^(-(X²)/20) ermitteln sowie sich deren Eigenschaften in diesen Punkten ausgeben zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Definieren Sie die Funktionsterme 3*COS(X/5) und 2*X*2^(-(X^2)/20) in den Eingabefeldern f1(x,p) sowie f2(x,p) und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Das Programm ermittelt die Schnittpunkte der Funktionen innerhalb des voreingestellten Bereichs -10 £ x £ 10. Es sind dies:
 
SP1 (-9,368 / -0,894)
SP2 (1,5527 / 2,8565)
 
Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Tangente, Normale und Krümmungskreise, sowie Schnittpkt. und Koordinaten gibt das Programm für die Eigenschaften der Tangenten, Normalen und Krümmungskreise am/im ermittelten Schnittpunkt SP1 aus:
 
Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Funktionen: SP1 (-9,368 / -0,894)
 
Für Kurve K1, bei Selektion des Eintrags Kurve 1 aus der Auswahlbox, wird angezeigt:
 
Tangente v. f1(x): Y = -0,57269·X + 4,4704
Normale v. f1(x): Y = -1,746·X - 17,253
 
Mittelpunkt des Krümmungskreises an f1(x): MP (-30,618 / 36,21)
Radius des Krümmungskreises an f1(x): r = 42,759
 
Für Kurve K2, bei Selektion des Eintrags Kurve 2 aus der Auswahlbox, wird angezeigt:
 
Tangente v. f2(x): Y = -0,4855·X - 5,4431
Normale v. f2(x): Y = 2,0597·X + 18,4012
 
Mittelpunkt des Krümmungskreises an f2(x): MP (-12,506 / -7,357)
Radius des Krümmungskreises an f2(x): r = 7,183
 
Beispiel 2:
 
E sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = 6·sin(x/2-cos(6·x)/10) sowie f2(x) = 4·cos(x-1/2)-1 zu ermitteln, sowie sich deren Eigenschaften in diesen Punkten ausgeben zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Definieren Sie die Funktionsterme 6*SIN(X/2-COS(6*X)/10) und 4*COS(X-1/2)-1 in den Eingabefeldern f1(x,p) = sowie f2(x,p) = und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Das Programm ermittelt die Schnittpunkte der Funktionen innerhalb des voreingestellten Bereichs -10 £ x £ 10. Es sind dies:
 
SP1 (-6,824 / 1,021)
SP2 (1,036 / 2,438)
SP3 (5,742 / 1,021)
 
Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Tangente, Normale und Krümmungskreise, sowie Schnittpkt. und Koordinaten gibt das Programm für die Eigenschaften der Tangenten, Normalen und Krümmungskreise am/im ermittelten Schnittpunkt SP1 aus:
 
Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Funktionen: SP1 (-6,824 / 1,021)
 
Für Kurve K1, bei Selektion des Eintrags Kurve 1 aus der Auswahlbox, wird angezeigt:
 
Tangente v. f1(x): Y = -3,326·X - 21,678
Normale v. f1(x): Y = -0,3006·X + 3,0728
 
Mittelpunkt des Krümmungskreises an f1(x): MP (-4,889 / 1,6)
Radius des Krümmungskreises an f1(x): r = 2,01
 
Für Kurve K2, bei Selektion des Eintrags Kurve 2 aus der Auswahlbox, wird angezeigt:
 
Tangente v. f2(x): Y = 3,451·X + 24,576
Normale v. f2(x): Y = -0,289·X - 0,955
 
Mittelpunkt des Krümmungskreises an f2(x): MP (-2,044 / 0,931)
Radius des Krümmungskreises an f2(x): r = 3,429so wird die Funktion f(x) =  -1,5 ·|x + 2|-1 dargestellt.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Schnittpunkt zu finden.

 

 

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Unterprogramm Funktionsschnittpunkte - Interaktiv
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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