MathProf - Polynom - Regression

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Polynom - Regression

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Polynomregression ermöglicht die Auffindung von Näherungspolynomen bis 8. Grades, welche durch mindestens 3 Stützstellen beschrieben werden.

 

MathProf - Polynom - Regression

 

Konkret bedeutet dies, dass das Programm die Parameter einer Funktionsgleichung des Polynoms ermittelt, dessen Grad höher sein kann als die Anzahl (n-1) verwendeter Stützstellen, was mit den Verfahren Interpolation nach Lagrange bzw. Interpolation nach Newton nicht möglich ist. Zudem führt es, bei Bedarf, eine Kurvendiskussion mit dem ermittelten Polynom durch.

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Polynom - Grad


Um dieses Verfahren durch die Eingabe numerischer Werte anzuwenden, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Definieren Sie den Grad des zu ermittelnden Polynoms durch die Eingabe eines entsprechenden ganzzahligen Werts (3 n 8) in das Feld Grad des Polynoms.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Stützstellen (mindestens 3) in die dafür vorgesehenen Felder ein und bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen.
     
  3. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
     
  4. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das entsprechende Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
     
  5. Legen Sie im Formularbereich Einstellungen für numerische Berechnung, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, den Bereich fest, innerhalb dessen eine Analyse der ermittelten Funktion bzgl. derer Nullstellen, Extrema und Wendepunkten durchgeführt werden soll (von x1 = und bis x2 =). Voreingestellt ist ein Untersuchungsbereich -5 x 5.
     
  6. Kann mit den eingegebenen Werten eine Näherungsfunktion ermittelt werden, so wird der Funktionsterm dieser nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen im Formularbereich Ergebnis angezeigt.
     
  7. Um sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  8. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bzw. Pole aus, ob Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bzw. Pole der ermittelten Funktion angezeigt werden sollen.
     
  9. Bestimmen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung, 2. Ableitung, 3. Ableitung, ob die Darstellung der 1. Ableitung, 2. Ableitung oder 3. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.
     
  10. Wollen Sie sich ggf. die Tangenten oder Normalen, die durch Hoch-, Tief- und Wendepunkte der ermittelten Funktion verlaufen, zeigen lassen, so aktivieren Sie hierfür das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten bzw. Normalen. Um sich Krümmungskreise darstellen zu lassen, die durch Nullstellen oder Extrema verlaufen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Krümmungskreise.
     
  11. Sollen die Bereichsgrenzen zur Untersuchung der Funktion mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden nach Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens angezeigt:
 

  • Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)

  • Extrema der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)

  • Wendepunkte der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt)

Hinweise:

Wird ein Abszissenwert mehrfach verwendet, so kann keine Näherungsfunktion ermittelt werden und Sie erhalten eine entsprechende Fehlermeldung.

 

Die Mindestanzahl erforderlicher Stützstellen beträgt 3, die max. Anzahl definierbarer Stützstellen beträgt 8.

 

Möchten Sie eingegebene Stützstellen speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Stützstellen speichern durchgeführt werden. Um mit bereits gespeicherten Werten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Stützstellen laden. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!

 

Bedienformular


MathProf - Polynom - Nullstellen

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung ermittelter Nullstellen, Extrema und Wendepunkte sowie verwendeter Stützstellen ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte sowie der Stützstellen ein-/ausschalten
  • Bereichsmark.: Markierung des festgelegten Untersuchungsbereichs zur Durchführung einer Kurvendiskussion ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Interpolation nach Newton

Kurvendiskussion

 

Beispiel


Um ein Näherungspolynom 6. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die vier Stützpunkte P1 (-2 / 4), P2 (3 / 5), P3 (4 / 2) und P4 (5 / 1) beschrieben wird, übernehmen Sie die Koordinatenwerte dieser in die Tabelle, geben in das Feld Grad des Polynoms den Wert 6 ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt für das Näherungspolynom den Term:

f(x) = 0,0147661967807·X6 - 0,115762703586·X5 + 0,127559443301·X4 + 0,385485791113·X3 + 0,143439811053·X2 + 0,102931413623·X + 0,0255957104133

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt im Bereich von -5 x 5:

Nullstellen: N1 (-1,149 / 0) N2 (-0,286 / 0)
  N3 (4,441 / 0) N4 (4,85 3 / 0)
Hochpunkte: HP (2,963 / 5,004)  
Tiefpunkte: TP1 (-0,883 / -0,072) TP2 (4,664 / -0,396)
Wendepunkte: W1 (-0,597 / -0,041) W2 (-0,14 / 0,013)
  W3 (1,921 / 2,935) W4 (4,042 / 1,786)


Werden dieselben Stützstellen P1 - P4 verwendet und gilt es ein Polynom 4. Grades (Feld Grad des Polynoms wird mit Zahlenwert 4 belegt) ermitteln zu lassen, so werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Funktionsgleichung des Näherungspolynoms:

f(x) = 0,0971498002389·X4 - 0,752450383341·X3 +0,605873976923·X2 + 3,59833130336·X + 1,19916682848

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt im Bereich von -5 x 5:

Nullstellen: N1 (-1,455 / 0) N2 (-0,367 / 0)
Hochpunkte: HP (2,032 / 6,356)  
Tiefpunkte: TP1 (-0,962 / -0,949) TP2 (4,738 / 0,775)
Wendepunkte: W1 (0,29 / 2,276) W2 (3,582 / 3,272)

 

Module zum Themenbereich Analysis


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