MathProf - Rekonstruktion - Funktionsbedingung - Funktion - Polynom

 

Modul Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Interaktiv

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Das Teilprogramm [Analysis] - [Ganz- und gebrochenrationale Funktionen] - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Interaktiv ermöglicht die interaktive Ermittlung der Gleichungen ganzrationaler Funktionen aus vorgegebenen Bedingungen und stellt diese grafisch dar.

Ganzrationale Funktionen der Form



können u.a. bestimmt werden durch:
 

• Koeffizienten a[i] der Funktionsgleichung
• Punkte, durch welche die Funktion verläuft
• Punkte, durch welche die 1. Ableitung der Funktion verläuft
• Punkte, durch welche die 2. Ableitung der Funktion verläuft

Durch n+1 verschiedene Bedingungen kann eine Funktion n-ten Grades eindeutig bestimmt werden. Dieses Modul ermöglicht es, aus o.g. Bedingungen die Gleichung einer Funktion bis 3. Grades dieser Art ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen.
  Prinzipiell gelten in diesem Anwendungsfall dieselben Zusammenhänge wie unter Ermittlung ganzrationaler Funktionen beschrieben, verbunden mit der Tatsache, dass Zahlenwerte durch manuelle oder simulative Veränderung der Position von Rollbalken festgelegt werden. Eingestellte Vorgabebedingungen (B1 ... B4) werden unterhalb der entsprechenden Rollbalken angezeigt.

Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine interaktive Ermittlung ganzrationaler Funktionen durchführen zu lassen: 
 

1. Wählen Sie durch eine Bedienung des Steuerelements Funktionsgr. auf dem Bedienformular den Grad der gesuchten Funktion, die die vorgegebenen Bedingungen erfüllen soll.
    
2. Definieren Sie die Arten der gestellten Bedingungen, indem Sie die entsprechenden Kontrollschalter aktivieren und Zahlenwertvorgaben durch die Benutzung der entsprechenden Schieberegler einstellen. Festgelegte Vorgabebedingungen werden unterhalb der entsprechenden Rollbalken, sowie bei der Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.
    
3. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung oder 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung bzw. der 2. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.
    
4. Um sich die Markierung für Punkte vorgegebener Bedingungen anzeigen zu lassen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Bedingungen.
    
5. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung des Kontrollkästchens Kurvendiskussion fest, ob eine Kurvendiskussion mit der ermittelten ganzrationalen Funktion durchgeführt werden soll und schalten Sie bei Bedarf die Darstellung der Stammfunktion dieser durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Stammfunktion ein.
   
   Möchten Sie die Grenzen des Untersuchungsbereichs zur Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so aktivieren Sie den Kontrollschalter mit der Bezeichnung U-Bereich, klicken in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
6. Es besteht die Möglichkeit, Zahlenwertvorgaben für gewählte Bedingungen vom Programm simulativ verändern zu lassen. Bedienen Sie hierfür die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die simulativ zu verändernden Vorgabebedingungen durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:

• Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)
• Extrema der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)
• Wendepunkte der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt)

Beachten Sie:
Nicht für alle gegebenen Bedingungen existieren eindeutige Lösungen. Wird keine Lösung gefunden, so wird ein entsprechender Hinweis ausgegeben.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Es wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie u.a. die gestellten Vorgabebedingungen zur Ermittlung von Funktionen dieser Art festlegen können.
 


Auf diesem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte

Bedeutung der auf dem Formular verwendeten Bezeichnungskürzel:
 

• f(x): Funktionswert an der Stelle x
• f'(x): Funktionswert der 1. Ableitung der Funktion an Stelle x
• f''(x): Funktionswert der 2. Ableitung der Funktion an Stelle x
• a(n): n-ter Koeffizient der Funktion

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Ermittlung ganzrationaler Funktionen
Mathematische Funktionen I
 
Beispiel 1:

Gesucht wird eine Funktion 3. Grades, die den folgenden Bedingungen genügen soll:
Sie soll durch die Punkte P1 (-4 / -2), P2 (3 / 2), P3 (-1 / 4) und P4 (-2 / 1) verlaufen. Anders dargestellt lauten diese Bedingungen daher:

B1: f(-4) = -2
B2: f(3) = 2
B3: f(-1) = 4
B4: f(-2) = 1
 
Vorgehensweise und Lösung:

Zunächst wird mit dem Steuerelement Funktionsgr. der Wert 3 eingestellt. Danach sind die vier Kontrollschalter mit den Bezeichnungen f(x) zur Festlegung aller Bedingungen zu aktivieren (voreingestellt).



Positionieren Sie die Schieberegler wie in obiger Abb. dargestellt.

Als ermittelte Funktion gibt das Programm aus:
 
f(x) = 0,17143·X³-0,7·X²+2,1·X+6,62857

Es ist festzustellen, dass die dargestellte Funktion f(x) durch diese 4 definierten Punkte verläuft und somit die vorgegebenen Bedingungen erfüllt.

Wird das Kontrollkästchen Kurvendiskussion aktiviert und der relevante Untersuchungsbereich auf die Werte -6 £ x £ 6 festgelegt, so gibt das Programm zudem folgende Eigenschaften der ermittelten Kurve aus:

Diese Funktion besitzt die Nullstellen N1 (-4,985 / 0), N2 (-2,371 / 0) und N3 (3,272 / 0), einen Tiefpunkt an der Stelle (-3,797 / -2,053), einen Hochpunkt bei (1,075 / 7,864) sowie den Wendepunkt W (-1,361 / 2,906).

Beispiel 2:

Es gilt eine Funktion 3. Grades ermitteln zu lassen, welche die folgenden Bedingungen erfüllt:

B1: f'(-4) = -1
B2: f'(3) = 5
B3: f''(4) = 4
B4: f(-2) = 4

Vorgehensweise und Lösung:

Bei Ausführung des ersten Schritts wird mit dem Steuerelement Funktionsgr. der Wert 3 eingestellt. Hierauf sind die vier Kontrollschalter f'(x) bei B1, f'(x) bei B2, f''(x) bei B3 sowie f(x) bei B4 (siehe nachf. Abbildung) zu aktivieren und die Schieberegler entsprechend zu positionieren. Zudem werden die Kontrollkästchen 1. Ableitung und 2. Ableitung aktiviert.



Das Programm ermittelt die gesuchte Funktion mit:
 
f(x) = 0,1164·X³+0,60317·X²-1,7619·X-1,00529

Es kann entnommen werden, dass die Kurve der ermittelten Funktion f(x) durch den Punkt P4 (-2 / 4), die erste Ableitung dieser durch die Punkte P1 (-4 / -1) und P2 (3 / 5), die zweite Ableitung durch Punkt P3 (4 / -4) verläuft und somit die vorgegebenen Bedingungen erfüllt.

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Kurvendiskussion und der Festlegung eines Untersuchungsbereichs von -8 £ x £ 8, markiert das Programm die folgenden relevanten Punkte der Kurve:

Nullstelle N1 (-7,134 / 0)
Nullstelle N2 (-0,495 / 0)
Nullstelle N3 (2,447 / 0)
Hochpunkt H (-4,561 / 8,534)
Tiefpunkt T (1,106 / -2,059)
Wendepunkt W (-1,727 / 3,238)
  

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Ganzrationale Funktion
Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
 

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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