MathProf - Kugel und Ebene und Punkt im Raum (3D)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kugel und Ebene und Punkt im Raum (3D)

 

Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Kugel - Ebene - Punkt ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Ebenen, Kugeln und Punkten.

 

MathProf - Kugel - Schnittkreis


Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Moduls sind u.a:

  • Ermittlung der Eigenschaften des Schnittkreises einer Kugel und einer Ebene
  • Ermittlung der Eigenschaften der Polarebene eines Punktes und einer Kugel
  • Ermittlung der Eigenschaften der Tangentialebenen einer in 4-Punkte-Form definierten Kugel in den Kugelpunkten
  • Eigenschaftsanalyse von Polar-, Tangential- und Schnittebenen
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene

Definitionsformen von Kugeln

Um eine Kugel zu beschreiben, bestehen in diesem Unterprogramm folgende Möglichkeiten:

Definition der Kugel in vektorieller Form:

Kugel - Ebene - Gleichung - 1

Definition der Kugel durch vier auf ihr liegende Punkte:

A(x;y;z), B(x;y;z), C(x;y;z) und D(x;y;z).

Definitionsformen von Ebenen

Die vektoriellen Darstellungsformen zur Definition einer Ebene sind:

3-Punkte-Form:

Kugel - Ebene - Gleichung - 2

Normalenform:

Kugel - Ebene - Gleichung - 3

Punkt-Richtungs-Form:

Kugel - Ebene - Gleichung - 4

Koordinatenform:

E: a·x + b·y + c·z = d

Der Lotfußpunkt ist Fußpunkt des Lots vom Mittelpunkt der Kugel auf die Ebene. Schneiden sich Kugel und Ebene, so ist dieser der Mittelpunkt des Schnittkreises.

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E: Ebene in Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform
P1,P2,P3: Ebenenpunkte bzw. Punkt
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene
n: Normalenvektor einer Ebene
MP: Mittelpunkt einer Kugel
x,y,z: Koordinaten des Mittelpunkts einer Kugel
r: Radius einer Kugel
A,B,C,D: Auf einer Kugel liegende Punkte

 

MathProf - Kugel - Ebene - Punkt

 

Kugel - Ebene
Berechnung und Darstellung

 

Dieses Unterprogramm ermöglicht u.a. die Untersuchung, ob eine Kugel von einer Ebene geschnitten (bzw. berührt) wird und gibt ggf. den Radius des Schnittkreises von Kugel und Ebene aus. Die Koordinaten des Mittelpunkts des Schnittkreises (des Lotfußpunkts) werden ebenfalls ermittelt.

 

Um die Lage einer Ebene und einer Kugel zu untersuchen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie das Registerblatt Kugel - Ebene.
     
  2. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Kugel in vekt. Form bzw. Kugel in 4-Punkte-Form aus, in welcher Form die Kugel beschrieben werden soll und geben Sie die erforderlichen Koeffizienten bzw. Koordinatenwerte in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in Normalenform in die hierfür vorgesehenen Felder n und r1 ein.

    Liegt die Ebene in einer anderen Darstellungsform (z.B. Koordinatenform) vor, so können Sie diese in die benötigte Normalenform wandeln lassen. Bedienen Sie hierzu den Schalter Ebene, wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters auf dem Eingabeformular die entsprechende Form der Ebene, geben Sie die Koordinaten- bzw. Koeffizientenwerte dieser in die hierfür vorgesehenen Felder ein und bedienen die Schaltfläche Übernehmen. Das Programm transformiert die Eingabedaten hierauf in Werte zur Definition der Ebene in Normalenform und trägt die entsprechenden Daten in die Eingabefelder auf dem Hauptformular des Unterprogramms ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Um sich die Eigenschaften einer defnierten Ebene ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Details Ebene.

Soll bei Ausgabe der grafischen Darstellung eine Spiegelung der Kugel an der Ebene durchgeführt werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Kugel an Ebene spiegeln. Das Programm ermittelt die Eigenschaften der gespiegelten Kugel und zeigt diese an.

Eigenschaftsanalyse einer Ebene


MathProf - Kugel - Punkt

Um sich die Eigenschaften einer in Normalenform defnierten Ebene ausgeben zu lassen, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

  1. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Vektoren der Ebene in die dafür vorgesehenen Felder n und r im Hauptformular ein.
     
  2. Wählen Sie den Menüpunkt Details Ebene.

Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene in Normalenform werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse ausgegeben:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform

Kugel - Punkt
Berechnung und Darstellung

 

Von einem Punkt P außerhalb einer Kugel K gibt es unendlich viele Geraden, die die Kugel K in nur einem Punkt berühren. Die Berührpunkte aller Geraden durch diesen Punkt P liegen auf einem Kreis, den die Ebene E aus der Kugel ausschneidet. Die Tangenten an die Kugel K durch den Punkt P bilden einen Kreiskegel, den Tangentialkegel von K mit der Spitze P.

 

Liegt der Punkt P außerhalb der Kugel, so ermittelt das Programm den Mittelpunkt des Kreises (Lotfußpunkt) und den Radius dessen, sowie die Gleichung der Polarebene in Koordinatenform (Ebene auf welcher der Kreis liegt). Liegt der definierte Punkt auf der Kugel, so ist die Polarebene eine Tangentialebene.

 

Um Untersuchungen hierzu durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

  1. Aktivieren Sie das Registerblatt Kugel - Punkt.
     
  2. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Kugel in vekt. Form bzw. Kugel in 4-Punkte-Form aus, in welcher Form die Kugel beschrieben werden soll und geben Sie die erforderlichen Koeffizienten- bzw. Koordinatenwerte in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  3. Legen Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den dafür vorgesehenen Feldern im Formularbereich Punkt fest.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Soll bei Ausgabe der grafischen Darstellung eine Spiegelung der Kugel an Punkt P durchgeführt werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Kugel an Punkt spiegeln. Das Programm ermittelt die Eigenschaften der gespiegelten Kugel und zeigt diese an.

 

Kugel in vektorieller Form
Berechnung und Darstellung

 

Um sich die Eigenschaften einer Kugel, welche in vektorieller Form beschrieben wird, ausgeben zu lassen, führen Sie Folgendes aus:
 

  1. Aktivieren Sie das Registerblatt Kugel in vektor. Form.
     
  2. Geben Sie die Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Kugel in 4-Punkte Form
Berechnung und Darstellung

 

Um Untersuchungen mit einer Kugel, welche in 4-Punkte Form beschrieben wird, durchzuführen, gehen Sie folgendermaßen vor:
 

  1. Aktivieren Sie das Registerblatt Kugel in 4-Punkte- Form.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der vier Punkte, durch welche die Kugel beschrieben werden soll, in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  3. Um sich Tangentialebenen in den vier, die Kugel beschreibenden, Punkten darstellen zu lassen, aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen Tang.-ebene Ta, Tang.-ebene Tb, Tang.-ebene Tc bzw. Tang.-ebene Td.
     
  4. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Gleichungen der Tangentialebenen in den, die Kugel beschreibenden, Punkten ausgegeben.
     
  5. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen sowie Darstellung - Spiegelung können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Normale: Darstellung der Normale der Ebene ein-/ausschalten
  • Lotfußpunkt: Darstellung des ermittelten Lotfußpunktes ein-/ausschalten
  • Punkt: Darstellung des Punkts P ein-/ausschalten (nur verfügbar bei Darstellungsart statisch)
  • Kugelpunkte: Darstellung der auf der Kugel liegenden Punkte ein-/ausschalten
    (nur verfügbar wenn Kugel in 4-Punkte-Form gewählt wird)
  • Schnittkreis: Darstellung der Schnittkreises (falls vorhanden) der Ebene und der Kugel ein-/ausschalten
  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten
  • Spiegellinien darstellen: Bei Durchführung einer Spiegelung, die Darstellung der Spiegellinien ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kugel - Gerade (3D)

Kugel - Kugel (3D)

Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Ebene in 3-Punkte-Form (3D)

Ebene in Normalen-Form (3D)

Ebene in Koordinaten-Form (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Schnittkreis einer Kugel in vekt. Form und einer Ebene in Normalen-Form:

Es gilt den Schnittkreis einer Kugel K, welche beschrieben wird mit:

Kugel - Ebene - Gleichung - 5

und einer Ebene E, welche in Normalen-Form beschrieben wird mit:

Kugel - Ebene - Gleichung - 6

bzw.

Kugel - Ebene - Gleichung - 7

bestimmen zu lassen.
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Registerblatts Kugel - Ebene, sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Kugel in vekt. Form

Kugel - Ebene - Gleichung - 8

und der Eingabe der Koeffizientenwerte 2, 1, 1 sowie 1, 2, 2 zur Definition der Ebene in Normalenform
 

Kugel - Ebene - Gleichung - 9

ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Kugel und Ebene schneiden sich.

 

Die Koordinaten des Lotfußpunkts (Mittelpunkt des Schnittkreises) lauten: L (1,333 / 0,667 / 2,667). Der Radius des Schnittkreises beträgt r = 3,916.

 

Für die Eigenschaften der Kugel K gibt das Programm aus:

 

Kugelmittelpunkt: M (2 / 1 / 3)

Radius der Kugel: r = 4

Volumen der Kugel: V = 268,083 VE

Oberfläche der Kugel: O = 201,062 FE

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen wird für die Eigenschaften der definierten Ebene ausgegeben:

Die Gleichung der Ebene E in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Kugel - Ebene - Gleichung - 10

Drei Punkte, die auf der Ebene E liegen:

P1 (3 / 0 / 0)

P2 (2,5 / 1 / 0)

P3 (2,5 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 11

 

Die Gleichung der Ebene E in Koordinaten-Form lautet:

 

E: 2·X + 1·Y + 1·Z = 6

 

Der Abstand der Ebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 2,449.

Die Spurpunkte der Ebene E sind:

Sx (3 / 0 / 0)

Sy (0 / 6 / 0)

Sz (0 / 0 / 6)

 

Der Normalenvektor der Ebene E lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 12
 

Beispiel 2 - Schnittkreis einer Kugel in 4-Punkte-Form und einer Ebene in 3-Punkte-Form:

Es gilt, den Schnittkreis einer Kugel K, welche beschrieben wird durch die vier auf ihr liegenden Punkte A (2 / 1 / -3), B (2 / 1 / 1), C (1 / -3 / 3) und D (4 / 0 / -5) sowie einer Ebene E, welche beschrieben wird durch drei auf ihr liegende Punkte P1 (1 / -2 / 1), P2 (0 / 3 / 2) und P3 (4 / 5 / 6), ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Kugel - Ebene und geben Sie die oben aufgeführten Koordinatenwerte der Punkte zur Definition einer Kugel K in 4-Punkte-Form ein. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ebene um eine Ebene E in 3-Punkte-Form durch Eingabe der oben aufgeführten Koordinatenwerte in die dafür vorgesehenen Felder zu definieren. Bestätigen Sie mit Übernehmen.

Das Programm transformiert die festgelegte 3-Punkte-Form der Ebene in deren Normalen-Form und trägt die Koeffizienten 18, 8, -22 sowie 1, -2, 1 dieser Ebene in die Eingabefelder auf dem Hauptformular des Unterprogramms (Ebene in Normalenform) ein. Diese lauten:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 13

 

bzw.

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 14

 

Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm:

 

Kugel und Ebene schneiden sich.

 

Die Koordinaten des Lotfußpunkts (Mittelpunkt des Schnittkreises) sind L (2,274 / -4,008 / 1,313). Der Radius des Schnittkreises beträgt r = 4,052.

 

Für die Eigenschaften der durch vier Punkte definierten Kugel K wird ausgegeben:

 

Mittelpunkt: M (4,167 / -3,167 / -1)

Radius der Kugel: r = 5,104

Volumen der Kugel: V = 557,108 VE

Oberfläche der Kugel: O = 327,424 FE

 

Die Eingabefelder im Formularbereich Ebene in Normalenform werden mit den Koeffizientenwerten beschrieben, welche die durch die drei Punkte P1, P2 und P3 definierte Ebene in Normalenform beschreiben.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen werden weitere Eigenschaften der, durch die drei Punkte beschriebenen Ebene ausgegeben. Es sind dies:

Die Gleichung der Ebene E in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Kugel - Ebene - Gleichung - 15

Drei (weitere) Punkte die auf der Ebene E liegen sind:

P1 (-1,111 / 0 / 0)

P2 (-1,555 / 1 / 0)

P3 (0,111 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Ebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 16

 

Die Gleichung der Ebene E in Koordinaten-Form lautet:

 

E: 18·X + 8·Y - 22·Z = -20

 

Der Abstand der Ebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,677.

Die Spurpunkte der Ebene E sind:

Sx (-1,111 / 0 / 0)

Sy (0 / -2,5 / 0)

Sz (0 / 0 / 0,909)

 

Der Normalenvektor der Ebene E lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 17
 

Beispiel 3 - Kugel in vekt. Form - Punkt:

Die Berührungspunkte aller Tangenten, eines außerhalb der Kugel liegenden Punktes P, an eine Kugel liegen in einer Ebene, der Polarebene der Kugel bezüglich dieses Punktes. Es gilt, die Polarebene E bestimmen zu lassen, welche durch Punkt P (3 / -6 / -2) sowie eine Kugel K mit den Eigenschaften M (2 / 1 / 3) und r = 4 beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Registerblatts Kugel - Punkt sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel K in vekt. Form:

Kugel - Ebene - Gleichung - 18

und der Festlegung der Koordinatenwerte 3 / -6 / -2 für Punkt P, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

Der Lotfußpunkt (Mittelpunkt des Schnittkreises von Polarebene und Kugel) ist L (2,213 / -0,493 / 1,933). Die Gleichung der Polarebene (in Koordinatenform) lautet: 1·X-7·Y-5·Z+4 = 0.

Der Radius des Schnittkreises der Polarebene und der Kugel beträgt r = 3,548. Punkt P liegt außerhalb der Kugel.

 

Für die Eigenschaften der Kugel K gibt das Programm aus:

 

Mittelpunkt: M (2 / 1 / 3)

Radius der Kugel: r = 4

Volumen der Kugel: V = 268,083 VE

Oberfläche der Kugel: O = 201,062 FE

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen werden die Eigenschaften der Polarebene ausgegeben:

Die Gleichung der Polarebene E in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Kugel - Ebene - Gleichung - 19

Drei Punkte, die auf der Polarebene E liegen, sind:

P1 (-4 / 0 / 0)

P2 (3 / 1 / 0)

P3 (1 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Polarebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 20

 

Die Gleichung der Polarebene E in Koordinaten-Form lautet:

 

E: 1·X - 7·Y - 5·Z = -4

 

Der Abstand der Polarebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,462.

Die Spurpunkte der Polarebene E sind:

Sx (-4 / 0 / 0)

Sy (0 / 0,571 / 0)

Sz (0 / 0 / 0,8)

 

Der Normalenvektor der Polarebene E lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 21

 

Für die Fläche des Schnittkreises von Kugel K und Ebene E gibt das Programm aus: A = 39,542 FE
 

Beispiel 4 - Kugel in vekt. Form:

Es gilt, die Eigenschaften einer Kugel K ermitteln zu lassen, welche durch die nachfolgend aufgeführte Gleichung in vektorieller Form definiert ist:

Kugel - Ebene - Gleichung - 22
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Registerblatts Kugel in vekt. Form sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel K in vekt. Form:

Kugel - Ebene - Gleichung - 23

gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die Eigenschaften der Kugel K aus:

Mittelpunkt: M (1 / 1 / 0)

Radius der Kugel: r = 3

Volumen der Kugel: V = 113,097 VE

Oberfläche der Kugel: O = 113,097 FE
 

Beispiel 5 - Kugel in 4-Punkte-Form:

Es sind die Eigenschaften einer Kugel K zu analysieren, welche durch die vier nachfolgend aufgeführten, auf ihr liegenden Punkte, definiert ist:

A (-2 / 1 / 4)

B (2 / 1 / 1)

C (1 / 4 / 3)

D (2 / 1 / 2)

 

Zudem sind die Eigenschaften der, durch Kugelpunkt A verlaufenden, Tangentialebene Ta anzugeben.
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Registerblatts Kugel in 4-Punkte-Form sowie der Eingabe der o.a. Koordinatenwerte zur Definition einer Kugel K in 4-Punkte-Form wird nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen Folgendes ausgegeben:

Für die ermittelten Gleichungen der Tangentialebenen in den 4 Kugelpunkten:

 

Tangentialebene in Punkt A Ta: -1,25·X-1,083·Y+2,5·Z-11,417 = 0

Tangentialebene in Punkt B Tb: 2,75·X-1,083·Y-0,5·Z-3,917 = 0

Tangentialebene in Punkt C Tc: 1,75·X+1,917·Y+1,5·Z-13,917 = 0

Tangentialebene in Punkt D Td: 2,75·X-1,083·Y+0,5·Z-5,417 = 0

Für die Eigenschaften der Kugel:

Mittelpunkt: M (-0,75 / 2,083 / 1,5)

Radius der Kugel: r = 2,998

Volumen der Kugel: V = 112,836 VE

Oberfläche der Kugel: O = 112,923 FE

 

Wird Kontrollkästchen Tang.-Ebene Ta aktiviert und hierauf die Schaltfläche Darstellen bedient, so gibt das Programm für die Eigenschaften der Tangentialebene in Punkt A aus:
 

Die Gleichung der Tangentialebene Ta in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Kugel - Ebene - Gleichung - 24

Drei auf der Tangentialebene Ta liegende Punkte, sind:

P1 (-9,133 / 0 / 0)

P2 (-10 / 1 / 0)

P3 (-7,133 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Tangentialebene Ta in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 25

 

Die Gleichung der Tangentialebene Ta in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -1,25·X - 1,083·Y + 2,5·Z = 11,417

 

Der Abstand der Tangentialebene Ta vom Koordinatenursprung beträgt d = 3,808.

Die Spurpunkte der Tangentialebene Ta sind:

Sx (-9,133 / 0 / 0)

Sy (0 / -10,538 / 0)

Sz (0 / 0 / 4,567)

 

Der Normalenvektor der Tangentialebene Ta lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 26
 

Beispiel 6 - Spiegelung einer Kugel in 4-Punkte-Form an einer Ebene in Koordinaten-Form:

Eine Kugel K1, welche durch die vier auf ihr liegenden Punkte

A (-3 / 1 / -3)

B (2 / -4 / 1)

C (-6 / 1 / -4)

D (2 / -2 / -3)

 

beschrieben wird, ist an einer Ebene E zu spiegeln, welche durch die Gleichung

 

E: -4·X - 5·Y - 6·Z = 12

 

beschrieben wird.

 

Es gilt, die Koordinatenwerte des Mittelpunkts der gespiegelten Kugel K2 ermitteln zu lassen.
 

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Kugel - Ebene, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kugel an Ebene spiegeln und geben Sie nachfolgend aufgeführten Koordinatenwerte der Punkte zur Definition einer Kugel K1 in 4-Punkte-Form ein:

A (-3 / 1 / -3)

B (2 / -4 / 1)

C (-6 / 1 / -4)

D (2 / -2 / -3)

 

Bedienen Sie hierauf der Schaltfläche Ebene, um eine Ebene E in Koordinaten-Form durch die Eingabe nachfolgend aufgeführter Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder zu definieren:

 

E: -4·X - 5·Y - 6·Z = 12

 

Bestätigen Sie mit Übernehmen.

 

Das Programm wandelt die Koordinaten-Form der Ebene in Normalen-Form und trägt die Koeffizienten dieser Ebene in die Eingabefelder auf dem Hauptformular des Unterprogramms (Ebene in Normalenform) ein:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 27

 

Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen, so gibt das Programm aus:

 

Für die zu spiegelnde Kugel K1 (linksseitig):

 

Mittelpunkt: MP (-4,609 / -7,348 / -3,174)

Radius der Kugel: r = 8,503

 

Für die (gesuchte) an der Ebene gespiegelte Kugel K2 (rechtsseitig):

 

Mittelpunkt: M' (1,855 / 0,732 / 6,522)

 

Vier, die gespiegelte Kugel K2 beschreibende Punkte:

A' (-1,649 / 2,688 / -0,974)

B' (1,377 / -4,779 / 0,065)

C' (-2,779 / 5,026 / 0,831)

D' (2,831 / -0,961 / -1,753)

 

Für die Eigenschaften der Spiegelebene E wird (linksseitig) ausgegeben:

 

Die Gleichung der Spiegelebene E in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 28

Drei Punkte die auf der Spiegelebene E liegen, sind:

P1 (-3 / 0 / 0)

P2 (-4,25 / 1 / 0)

P3 (-4,5 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Spiegelebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 29

 

Die Gleichung der Spiegelebene E in Koordinaten-Form lautet:

 

E: 1·X + 1,25·Y + 1,5·Z = -3

 

Der Abstand der Spiegelebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 1,368.

Die Spurpunkte der Spiegelebene E sind:

Sx (-3 / 0 / 0)

Sy (0 / -2,4 / 0)

Sz (0 / 0 / -2)

 

Der Normalenvektor der Spiegelebene E lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 30

 

Nach einem Klick auf den Schalter Berechnen gibt das Programm für die Eigenschaften der zu spiegelnden Kugel K1 außerdem folgende Ergebnisse aus:

 

Der Lotfußpunkt (Mittelpunkt des Schnittkreises von Polarebene) ist L (-1,377 / -3,308 / 1,674).

Der Radius des Schnittkreises der Polarebene beträgt r = 4,694.

 

Mittelpunkt der Kugel K1: MP (-4,609 / -7,348 / -3,174)

Radius der Kugel der Kugel K1: r = 8,503

Volumen der Kugel der Kugel K1: V = 2575,344 VE

Oberfläche der Kugel der Kugel K1: O = 908,603 FE
 

Beispiel 7 - Spiegelung einer Kugel in vektorieller Form an einem Punkt:

Nach der Wahl des Registerblatts Kugel - Punkt, der Eingabe der o.a. Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel K1 in vekt. Form, der Aktivierung des Kontrollkästchens Kugel an Ebene spiegeln sowie der Eingabe der Koordinatenwerte 4 / 4 / 4 für Punkt P, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen aus:

Kugel - Ebene - Gleichung - 31
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Wahl des Registerblatts Kugel - Punkt, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel K1 in vekt. Form, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte 4 / 4 / 4 für Punkt P, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen aus:

Für die (gesuchte), an Punkt P gespiegelte Kugel K2 (rechtsseitig), werden deren Mittelpunktkoordinaten mit M' (11 / 12 / 12) ausgegeben.

 

Ferner ermittelt das Programm für die zu spiegelnde Kugel K1 bzgl. des Punkts P:

Die Gleichung der Polarebene E in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:
 

Kugel - Ebene - Gleichung - 32

Drei Punkte die auf der Polarebene E liegen, sind:

P1 (-5,143 / 0 / 0)

P2 (-6,286 / 1 / 0)

P3 (-6,286 / 0 / 1)

 

Die Gleichung der Polarebene E in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 33

 

Die Gleichung der Polarebene E in Koordinaten-Form lautet:

 

E: 1·X + 1,143·Y + 1,143·Z = -5,143

 

der Abstand der Polarebene E vom Koordinatenursprung beträgt d = 2,706.

Die Spurpunkte der Polarebene E sind:

Sx (-5,143 / 0 / 0)

Sy (0 / -4,5 / 0)

Sz (0 / 0 / -4,5)

 

Der Normalenvektor der Polarebene E lautet:

 

Kugel - Ebene - Gleichung - 34

 

Für den definierten Punkt P (4 / 4 / 4) zeigt das Programm linksseitig folgende Informationen:

 

Punkt P liegt außerhalb der Kugeln.

Die Potenz des Punktes P ist p = 128.

 

Für den Schnittkreis der Polarebene E und der zu spiegelnden Kugel K1 wird (rechtsseitig ausgegeben:

 

Lotfußpunkt (Mittelpunkt des Schnittkreises von Polarebene) auf Ebene: L (-1,062 / -1,785 / -1,785)

Radius des Schnittkreises der Polarebene: r = 5,953

Fläche des Schnittkreises der Polarebene: A = 111,322 FE

 

Wird die Ausgabe der grafischen Darstellung beendet und wird hierauf ein Klick auf den Schalter Berechnen ausgeführt, so gibt das Programm für die Eigenschaften der zu spiegelnden Kugel K1 zudem Folgendes aus:

 

Radius der Kugel: r = 7

Volumen der Kugel: V = 1436,755 VE

Oberfläche der Kugel: O = 615,752 FE
 

Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)


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