MathProf - Durchschnitt - Geometrisches Mittel - Harmonisches Mittel

Modul Mittelwerte

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Das kleine Unterprogramm [Algebra] - [Sonstiges] - Mittelwerte ermöglicht die grafische Veranschaulichung der Zusammenhänge bezüglich der Mittelwerte reeller Zahlen.

 

In diesem Modul werden die Mittelwerte zweier reeller Zahlen a und b auf einem Zahlenstrahl dargestellt. Es sind dies:
 

• Arithmetisches Mittel (arithmetischer Mittelwert)

• Harmonisches Mittel (harmonischer Mittelwert)

• Geometrisches Mittel (geometrischer Mittelwert bzw. mittlere Proportionale)

• Quadratisches Mittel (quadratischer Mittelwert)

• Logarithmisches Mittel (logarithmischer Mittelwert)

Ist der Wert der Zahl a ≤ 0, so kann festgestellt werden:

 

Quadratisches Mittel > Arithmetisches Mittel > Logarithmisches Mittel > Geometrisches Mittel > Harmonisches Mittel
 

  
Der Durchschnitt (Durchschnittswert) bzw. der Mittelwert mehrerer Zahlen wird durch das Addieren aller Zahlenwerte und das anschließende Dividieren dieser durch deren Anzahl errechnet (siehe nachf. arithmetisches Mittel).
 

Nachfolgend aufgeführt sind Formeln und Eigenschaften der in der Statistik verwendeten Mittelwerte.
 

Arithmetisches Mittel (arithmetischer Mittelwert):

 

Das arithmetische Mittel (der arithmetische Mittelwert) ist ein Lagemaß einer Häufigkeitsverteilung. Es bildet sich aus dem Quotient der Summe aller Beobachtungswerte x_i und der Beobachtungszahl n. Das arithmetische Mittel wird berechnet, indem man die Summe aller Einzelwerte einer Datenreihe durch die Anzahl n der Einzelwerte dividiert.

 

Harmonisches Mittel (harmonischer Mittelwert):

 

Das harmonische Mittel (der harmonische Mittelwert) ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen, der dazu verwendet wird, um den Mittelwert von Verhältniszahlen (den Quotient zweier Größen) zu berechnen. Das harmonische Mittel wird berechnet, indem die Anzahl der Beobachtungswerte n durch die Summe der Kehrwerte der Beobachtungswerte von 1/x_i bis 1/x_n dividiert wird.

 

Geometrisches Mittel (geometrischer Mittelwert):

 

Das geometrische Mittel (der geometrische Mittelwert) ist der Mittelwert, der mit Hilfe der n-ten Wurzel aus dem Produkt der n betrachteten positiven Zahlen berechnet wird. Es ist stets kleiner oder gleich dem Wert des arithmetischen Mittels. Das geoemtrische Mittel wird errechnet, indem alle vorliegenden Werte von x_i bis x_n miteinander multipliziert werden (Bildung des Produkts dieser Werte). Hierauf wird die n-te Wurzel des ermittelten Produkts gezogen.

 

Quadratisches Mittel (quadratischer Mittelwert):

 

 
Das quadratische Mittel (der quadratische Mittelwert) ist der Mittelwert, der als Quadratwurzel des Quotienten aus der Summe der Quadrate der beachteten Zahlen sowie ihrer Anzahl berechnet wird. Das quadratische Mittel wird gebildet, indem die Summe der Quadrate der Elemente x_i durch die Anzahl der Werte n geteilt wird und hiervon die Wurzel gezogen wird.
 

Logarithmisches Mittel (logarithmischer Mittelwert):

 

Das logarithmische Mittel (der logarithmische Mittelwert) ist eine streng monoton wachsende Funktion. Es liegt zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel. Es findet Anwendung, wenn über große Bereiche hinweg zu mitteln ist.
 

 

 

Untersuchungen zu diesem Fachthema können Sie durchführen, indem Sie Folgendes ausführen:
 

1. Zur Veränderung der Werte der Zahlen a oder b bedienen Sie die Schaltfläche Werte und geben die entsprechenden im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    

2. Möchten Sie die Positionen der Anfasspunkte A oder B (Werte der Zahlen a oder b) mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
    

3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Werte: Anzeige der Werte der Zahlen A und B ein-/ausschalten

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Werden die Zahlen a = 4 und b = 14 nach einer Bedienung der Schaltfäche Werte festgelegt, so gilt bzgl. derer Mittelwerte:

 

Quadratisches Mittel: 10,296

Arithmetisches Mittel: 9

Logarithmisches Mittel: 7,982

Geometrisches Mittel: 7,483

Harmonisches Mittel: 6,222

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Mittelwert zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Regression

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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