MathProf - Analyse quadratischer Funktionen - Parabel verschieben - Nullstellen

MathProf - Mathematik-Software - Quadratische Funktionen | Scheitelpunktform | Parameter

Fachthema: Quadratische Funktionen

MathProf - Analysis - Eine Anwendung für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Quadratische Funktionen | Scheitelpunktform | Parameter

Online-Hilfe
für das Modul zur Untersuchung und Darstellung einer in Scheitelpunktform definierten quadratischen Gleichung.

In diesem Programmteil erfolgt unter anderem das Berechnen des Scheitelpunkts sowie der Nullstellen einer definierten Parabel. Hierbei kann die Analyse der Eigenschaften einer gemischt quadratischen Gleichung, einer Normalparabel oder einer reinquadratischen Gleichung durchgeführt werden.

Ferner können beim Zeichnen des Graphen einer quadratischen Funktion dieser Art folgende Transformationen mit dieser praktiziert werden: Parabel verschieben, Parabel strecken und Parabel stauchen.


Die Berechnung der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar.

Wertetabellen für quadratische Funktionen lassen sich im Unterprogramm Funktionswertetabellen ausgeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Quadratische Gleichungen - Quadratische Funktion - Parabelgleichungen - Quadratische Gleichung berechnen - Parabelstreckung - Parabelstauchung - Parabeln verschieben - Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen - Scheitelpunkt einer Parabel - Scheitelpunktform einer Parabel - Gestreckte Parabel - Gestauchte Parabel - Normalparabel - Reinquadratische Gleichung - Rein quadratische Gleichungen - Gemischt quadratische Gleichung - Lösungen quadratischer Gleichungen - Eigenschaften quadratischer Funktionen - Eigenschaften einer Parabel - Normalparabel verschieben - Quadratische Funktionen zeichnen - Quadratische Funktionen verschieben - Schaubild einer quadratischen Funktion - Streckfaktor einer Parabel - Verschobene Parabel - Verschobene Normalparabel - Parabel strecken - Parabel stauchen - Parabel verschieben - Funktionsanpassung - Quadratische Funktion bestimmen - Transformation einer Funktion - Bestimmung der Funktionsgleichung einer Parabel - Horizontale Verschiebung einer Funktion - Untersuchen - Untersuchung Parameter - Bild - Grafik - Bilder - Rechner - Beispiel - Koeffizienten - Grafisch - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Graph - Plotten - Zeichnen - Verschiebung - Streckung - Grafische Darstellung - Wertetabelle - Vertikale Verschiebung einer Funktion - Gestreckte Parabel zeichnen - Gestauchte Parabel zeichnen - Parabelstauchung - Achsenschnittpunkte einer Parabel

 
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Quadratische Funktionen

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Parabel und Gerade] - Analyse quadratischer Funktionen können Untersuchungen mit einer in Scheitelpunktform definierten Parabel durchgeführt werden.

 

MathProf - Quadratische Funktion - Scheitelpunkt - Parabel - Nullstellen - Quadratische Gleichung - Funktionsgleichung - Parabel verschieben - Parabel strecken - Parabel stauchen - Quadratische Gleichungen - Quadratische Funktionen - Scheitelpunktform

 

In diesem Modul wird die Analyse einer quadratischen Funktion der Form f(x) = a (x – b)² + c ermöglicht. Diese Form der Funktionsgleichung kann mit Hilfe der Methode der quadratischen Ergänzung aus einer Gleichung der Form y = ax² + bx + c transformiert werden. Die Koordinatenwerte des Scheitelpunkts der Parabel können aus den Koeffizienten der Gleichung f(x) = a (x – b)² + c ermittelt werden mit:
 

xs = -b/2a 
ys = c - b²/4a 
 

Eine Veränderung der Parameter beeinflusst/bewirkt:

a: Streckung bzw. Stauchung der Parabel

b: Verschiebung der Funktion in x-Richtung

c: Verschiebung der Funktion in y-Richtung

 

Mit dem auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Streckung kann Parameter a eingestellt werden. Die Lage des Scheitelpunkts der Parabel kann durch die Positionierung des Mausfangpunkts festgelegt werden.
 

Darstellung

Um das Verhalten der Funktion 2. Grades in Abhängigkeit von Parametern zu untersuchen, sollten Sie Folgendes durchführen:

  1. Stellen Sie mit dem Schieberegler Streckung auf dem Bedienformular den Wert für die Streckung (Parameter a) der Parabel ein.
     
  2. Möchten Sie die Position des Scheitelpunkts S der Parabel exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Soll die Lage des Fangpunktes mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Parabel - Streckung - Gleichung - Quadratische Funktion - Parabelgleichung


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung der Hilfslinien ein-/ausschalten
  • Verschiebung: Pfeilmarkierung der Verschiebungsbereiche ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Parabelgleichungen

Parabel und Gerade - Interaktiv

Mathematische Funktionen I

 

Beispiel

 

Wird der Scheitelpunkt der Parabel mit den Koordinatenwerten S (-0,6 / -1,8) festgelegt und die Position des Rollbalkens Streckung auf den Wert 1,8 eingestellt, so ermittelt das Programm für die Funktionsgleichung in allgemeiner Form den Term f(x) = 1,8·x² + 2,16·x - 1,152 und gibt für die Koordinaten der Nullstellen der dargestellten Funktion die Punkte N1 (-1,6 / 0) und N2 (0,4 / 0) aus.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Quadratische Funktionen - Quadratische Gleichungen - Quadratische Gleichung - Beispiel - Parabel verschieben - Parabel strecken - Parabel stauchen - Nullstellen - Scheitelpunkt - Quadratische Gleichungen - Scheitelpunktform
MathProf - Parabel - Scheitelpunktform - Nullstellen - Lösen - Scheitelpunkt - Darstellen - Funktionsgleichung - Graph - Gleichung - Beispiel - Parabel verschieben - Parabel strecken - Parabel stauchen - Scheitelpunkt - Quadratische Gleichungen - Quadratische Funktionen
MathProf - Quadratische Funktion - Lösung - Parameter - Plotter - Stauchung - Streckung - Verschieben - Zeichnen - Graph - Beispiel - Parabel verschieben - Parabel strecken - Parabel stauchen - Nullstellen - Scheitelpunkt - Quadratische Gleichungen - Quadratische Funktionen - Scheitelpunktform
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Quadratische Funktion zu finden.

 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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