MathProf - Ortskurve - Komplex - Integral - Integrieren - Rechner

Das Teilprogramm [Komplex] - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen ermöglicht die Durchführung von Integralberechnungen mit Funktionen, welche als Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen bezeichnet werden.
 

Die Ortskurve einer von einem reellwertigen Parameter k abhängigen komplexen Zahl z(k) = x(k) + iy(k) ist die Bahnkurve, die der zugehörige Zeiger z = z(k) in der Gaußschen Zahlenebene beschreibt, wenn der Parameter das Intervall [a,b] durchläuft (a £  k £  b). Derartige Ortskurven lassen sich auch durch die Parametergleichungen x = x(k), y = iy(k), sowie in Polarform beschreiben.
 
Dieses Unterprogramm bietet die Möglichkeit folgendes durchführen zu lassen:
 

• Integralberechnungen mit einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,p) = x(k,p) + iy(k,p) (kartesische Form)
• Integralberechnungen mit einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen, beschrieben durch Terme der Form x = Re f(k,p) und y = Im g(k,p) (Parameterform)
• Integralberechnungen mit einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k) (Polarform)

   
Kartesische Form:
 
z = f(k) = x(k) + iy(k)
 
Definitionsbeispiel:
 
z = f(k) = E^(1+2*PI*I*K)
 
Parameterform:
 

 
Definitionsbeispiel:
 

 
Polarform:
 
Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate j. Die Definition einer Ortskurve in Polarform kann erfolgen mit:
 
f(r,j) = r·cos(j) + ir·sin(j)

bzw. mit r = f(j)

z = f(j)·cos(j) + if(j)·sin(j)
 
Das Programm verwendet für den Winkel j den Buchstabe K. Eine Ortskurve in Polarform kann somit beschrieben werden durch:
 
z = f(k)·cos(k) + if(k)·sin(k)
 
bzw.
 

 
Zu definieren ist im Eingabefeld die Funktion f(k).
 
Definitionsbeispiel:
 
Auszugeben ist in Polarform:
 
f(j) = 2·sin(j)  mit -π £ j £ π
 
Zu definieren ist:
 
2*sin(k)
 
Dargestellt wird (in kartesischer Form):
 
z = 2·sin(k)·cos(k) + i2·sin(k)·sin(k)

bzw.

z =  2·sin(j)·cos(j) + i2·sin(j)·sin(j)
   
Bei der Ausführung von Berechnungen werden die Werte folgender Größen innerhalb des festgelegten Parameterintervallbereichs k1 £ k £ k2 numerisch ermittelt und ausgegeben:
 

• Kartesische Form:
  Fläche A zwischen der Kurve z = f(k) = x(k) + iy(k), sowie den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 mit P1 bei k1 und P2 bei k2 (Leibnitzsche Sektorenformel)
   
  Parameterform:
  Fläche A zwischen der Kurve x = Re f(k) und y = Im g(k), sowie den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 mit P1 bei k1 und P2 bei k2 (Leibnitzsche Sektorenformel)
   
  Polarform:
  Fläche A zwischen der Kurve z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k), sowie den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 mit P1 bei k1 und P2 bei k2 (Leibnitzsche Sektorenformel)
   
• Bogenlänge s der Kurve

• Volumen (abs.) V(Re) des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers
• Volumen (abs.) V(Im) des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers
   
• Mantelfläche (abs.) A(Re) des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers
• Mantelfläche (abs.) A(Im) des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers
   
• Statisches Moment M(Re) des Kurvenstücks
• Statisches Moment M(Im) des Kurvenstücks
• Statisches Moment M(Re) des Flächenstücks
• Statisches Moment M(Im) des Flächenstücks
• Statisches Moment M(Imz) des Drehkörpers
   
• Schwerpunktkoordinaten der Kurve

 

Hinweise:

Der Schwerpunkt des Flächensegments wird nur ausgegeben, wenn die Werte definierter Funktionen innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs keinen Vorzeichenwechsel aufweisen. Das Rotationsvolumen, welches eine Funktion bei Rotation um die Im-Achse bildet, kann auf zwei verschiedene Weisen errechnet werden. In diesem Unterprogramm wird dieses nicht über die Umkehrfunktion errechnet, sondern über den angegebenen Wertebereich bzgl. der Re-Achse (näheres siehe Fachliteratur).
 

 
Sollen Integralberechnungen mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen durchgeführt und hierfür relevante Zusammenhänge grafisch ausgegeben werden, so gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:
 

1. Wählen Sie durch eine Selektion des entsprechenden Eintrags unter Auswahl, für welche Art der komplexen Funktion(en) die Berechnungen durchzuführen sind und die Darstellung auszugeben ist. Es stehen zur Auswahl:
   
   Kartesisch: -> Kurve der Form: z = f(k,p) = x(k,p) + iy(k,p)
   Parameterform: -> Kurve der Form: x = Re f(k,p) und y = Im g(k,p)
   Polarform: -> Kurve der Form: z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k)
    
2. Sind Berechnungen mit Ortskurven in kartesischer Form oder Polarform durchzuführen, so definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(k,p) =.
   
   Um Untersuchungen mit Kurven in Parameterform ausführen zu lassen, definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = Re f(k,p) = sowie y = Im g(k,p) =.
   
   Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Parameterwertebereich fest, über welchen die numerische Integration durchgeführt werden soll (Integration von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Integrationsbereich -π £ k £ π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
4. Definieren Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
    
5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben. Zur Ausführung von Berechnungen darf der definierte Funktionsterm nicht das Einzelzeichen P enthalten!
    
6. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Wertebereich für Parameter k fest, über welchen die Darstellung der Kurve ausgegeben werden soll (Darstellungsbereich von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π £ k £ π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
7. Bestimmen Sie ggf. durch die Selektion des entsprechenden Eintrags aus der Auswahlbox, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellungsbereich festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Einstellungen zur numerischen Berechnung definiert wurde.
   
   Wurde der Eintrag Nur Integrationsbereichsweite gewählt, so legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Parameterwertebereich fest, über welchen die Flächenmarkierung durchgeführt werden soll (Integration von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π £ k £ π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
8. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
    
9. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
10. Verändern Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Parameter k den Wertebereich über welchen integriert werden soll.
     
11. Soll eine Echtzeitberechnung o.a. Werte erfolgen, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Berechnung. Es sei darauf hingewiesen, dass die Durchführung dieser Berechnungen die notwendige Darstellungszeit erheblich erhöht. Diese Berechnungen werden mit einer vorgegebenen (nicht veränderbaren) Anzahl von 10000 Stützstellen durchgeführt.
     
12. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen reellwertigen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des reellwertigen Parameters P zu untersuchen.
     
13. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Parameter k oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.
    
    Um den Wert für Parameter k simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung der Simulation zur Änderung des Parameterwerts k wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:
Es wird die Fläche zwischen der Kurve und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2 gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel markiert. Auch die Ermittlung der Berechnungsergebnisse für Flächen erfolgt nach diesem Verfahren.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen oder deren Frageworte die Wörter Welche?, Welcher?, Welches? bzw. Wodurch? sind, beantwortet werden und zugrunde liegende Sachverhalte können einfach erklärt werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 
 
Wird bei der Funktionsdeklaration kein Zeichen für den reellwertigen Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.



Wird bei der Funktionsdeklaration ein Zeichen für den reellwertigen Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.



Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkt: Darstellung des Punktes der Funktion welcher bei aktuell eingestelltem Parameterwert vorhanden ist ein-/ausschalten
• Param. k: Einblendung der Werte für Funktionsparameter K ein-/ausschalten

 
Die numerische Errechnung der Ergebnisse wird durch die Anzahl vorgegebener Stützstellen beeinflusst. Je mehr Stützstellen verwendet werden, desto genauer werden die Ergebnisse. Dennoch gilt es zu beachten, dass die Berechnungszeit durch eine Erhöhung der Stützstellenanzahl exponentiell steigt. Den Abbruch der Durchführung von Berechnungen können Sie durch eine Bedienung der Taste ESC veranlassen.

Prinzipiell sollten diese numerischen Integrationsverfahren nur bei stetigen Funktionen verwendet werden, bzw. bei unstetigen Funktionen nur innerhalb derer stetiger Wertebereiche, da es ansonsten zu Verfälschungen der Ergebnisse kommen kann. Die Genauigkeit bei der Errechnung der Bogenlänge, Mantelfläche und stat. Momente hängt von der Differenzierbarkeit der Funktion ab. Somit kann es hierbei zu erheblichen Abweichungen kommen. Der Schwerpunkt einer Fläche kann nur errechnet werden, wenn zwischen den Intervallgrenzen des Integrationsbereichs kein Vorzeichenwechsel auftritt (näheres siehe Fachliteratur).
   
Eine Aktivierung/Deaktivierung des Menüeintrags Option / Flächen füllen auf dem Hauptformular des Unterprogramms veranlasst das Programm eine Füllung der Flächen durchzuführen bzw. zu unterlassen.
   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D)
Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D)
   
Beispiel 1 - Integration mit einer Ortskurve in kartesischer Form:
 
Es gilt u.a., die von der Ortskurve z = f(k) = 2·cos(k+i)+2, innerhalb des Bereichs 0 £ k £ p, eingeschlossene Fläche ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Zunächst wird unter Auswahl der Eintrag Kartesisch selektiert. Durch eine Positionierung des dafür vorgesehenen Schiebereglers wird eine Stützstellenanzahl von ca. 25000 festgelegt.
 
Nach erfolgter Eingabe der Zahlenwerte 0 und 3,1459 (durch Bedienung der rechten Maustaste) in die Felder Integration von k1 = und bis k2 =, sowie der Definition des Funktionsterms 2*COS(K+I)+2 im Eingabefeld, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
 
Zwischen den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 eingeschlossene Fläche: A = 11,394 FE
 
Für weitere Eigenschaften der Ortskurve wird ausgegeben:

Bogenlänge der Kurve s: 8,579
 
Volumen des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers: V(Re): 71,415 VE
Volumen des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der Im-Achse verwendet wird: V(Im): 152,843 VE

Mantelfläche des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers: A(Re): 126,924 FE
Mantelfläche des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers: A(Im): 84,294 FE

Stat. Moment des Kurvenstücks M(Re): -13,416
Stat. Moment des Kurvenstücks M(Im): 17,158
Stat. Moment des Flächenstücks M(Re): -11,366
Stat. Moment des Flächenstücks M(im): 11,394
Stat. Moment des Körpers M(Imz): -142,831
 
Schwerpunkt der Kurve: 2 -1,564i

Beispiel 2 - Integration mit einer Ortskurve in Parameterform:

Die Funktionen x = f(k) = Re 4·sin(k) und y = g(k)= Im 3·cos(k)·i beschreiben über einen Darstellungsbereich von -π £ k £ π eine Ellipse mit den Halbachsen a = 4 und b = 3. U.a. ist die von der Kurve über diesen Bereich eingeschlossene Fläche, ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Unter Auswahl wird der Eintrag Parameterform gewählt. Nach erfolgter Definition der Funktionsterme durch die Eingabe der Zeichenfolgen 4*SIN(K) und 3*COS(K)*I in die dafür vorgesehenen Felder x = Re f(k) = und y = Im g(k) =, der Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Integration von k1 = und bis k2 =, führt die Ausführung der erforderlichen Berechnungen bei einer eingestellten Stützstellenzahl von ca. 100000 zu den Ergebnissen:

Zwischen den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 eingeschlossene Fläche: A = 37,699 FE
 
Für weitere Eigenschaften der Ortskurve wird ausgegeben:

Bogenlänge der Kurve s: 22,103
 
Volumen des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers: V(Re): 301,583 VE
Volumen des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der Im-Achse verwendet wird: V(Im): 402,124 VE

Mantelfläche des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers: A(Re): 337,059 FE
Mantelfläche des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers: A(Im): 277,862 FE

Stat. Moment des Kurvenstücks M(Re): 0
Stat. Moment des Kurvenstücks M(Im): 0
Stat. Moment des Flächenstücks M(Re): 0
Stat. Moment des Flächenstücks M(im): 0
Stat. Moment des Körpers M(Imz): 0
 
Schwerpunkt der Kurve: 0 + 0i
 
Beispiel 3 - Integration mit einer Ortskurve in Polarform:
 
Es ist u.a., die von der Ortskurve z = f(j) = 2·j+i über einen Bereich -p £ j £ p, eingeschlossene Fläche ermitteln zu lassen. 
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Zunächst wird unter Auswahl der Eintrag Polar selektiert. Durch eine Positionierung des dafür vorgesehenen Schiebereglers wird eine Stützstellenanzahl von ca. 25000 festgelegt.
 
Nach Eingabe der Zahlenwerte -3,1459 und 3,1459 (durch Bedienung der rechten Maustaste) in die Felder Integration von k1= und bis k2 = sowie der Definition des Funktionsterms 2*K+I (Variable k beschreibt in diesem Fall den Winkel j, siehe oben) im Eingabefeld, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
 
Zwischen den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 eingeschlossene Fläche: A = 41,341 FE
 
Für weitere Eigenschaften der Ortskurve wird ausgegeben:

Bogenlänge der Kurve s: 24,439
 
Volumen des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers: V(Re): 409,596 VE
Volumen des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der Im-Achse verwendet wird: V(Im): 623,366 VE

Mantelfläche des bei Rotation der Kurve um die Re-Achse entstehenden Körpers: A(Re): 401,422 FE
Mantelfläche des bei Rotation der Kurve um die Im-Achse entstehenden Körpers: A(Im): 338,58 FE

Stat. Moment des Kurvenstücks M(Re): 53,887
Stat. Moment des Kurvenstücks M(Im): 0
Stat. Moment des Flächenstücks M(Re): -64,836
Stat. Moment des Flächenstücks M(im): 0
Stat. Moment des Körpers M(Imz): 0
 
Schwerpunkt der Kurve: 0 + 2,205i
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
 

Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion
Wikipedia - Integralrechnung
 

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

Startfenster des UnterprogrammsIntegrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Mathematische Funktionen I

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform

 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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