MathProf - Inversion einer Geraden am Kreis

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Inversion einer Geraden am Kreis

 

Unter dem Menüpunkt [Geometrie] - [Inversion] - Inversion einer Geraden am Kreis kann die Inversion einer Geraden an einem Kreis vollzogen werden.

 

MathProf - Inversion - Gerade - Kreis

 

Gegeben seien ein Kreis I mit dem Mittelpunkt O (dem Zentrum der Inversion) und dem Radius r sowie ein Punkt P, welcher von O verschieden ist. Dann ist der zu P inverse Punkt P' derjenige auf dem Strahl OP, der von O die Entfernung OP' = r²/OP besitzt. Punkt P' wird als inverser Punkt der Punkts P bezüglich I bezeichnet. Aus dieser Definition folgt, dass, falls P' der inverse Punkt zu P ist, auch P invers zu P' ist. Punkte die unverändert bleiben, sind die Punkte des Kreises I selbst.

 

Dieses Modul wendet das Verfahren nicht lediglich auf einen Punkt P, sondern auf die Menge aller Punkte die auf einer Geradenliegen, an.

 

Allgemein gilt:
 

Eine Inversion am Kreis I überführt

- eine Gerade, die durch O verläuft, in eine Gerade die durch O verläuft

- eine Gerade, die nicht durch O verläuft, in einen Kreis durch O

- einen Kreis durch O in eine Gerade, die nicht durch O verläuft

- einen Kreis, der nicht durch O verläuft, in einen Kreis der nicht durch O verläuft

 

Die hierbei vonstatten gehende Koordinatentransformation kann beschrieben werden durch:

 

x' = x0 + r² (x - x0) / ((x - x0)² + (y - y0)²)

y' = y0 + r² (y - y0) / ((x - x0)² + (y - y0)²)

 

mit:

x',y': Transformierte Koordinaten des Punkts P'

x,y: Koordinaten des zu transformierenden Punkts P

x0,y0: Kreismittelpunkt des Inversionskreises I

r: Radius des Inversionskreises I

 

In diesem Unterprogramm können Sie diese Sachverhalte, anhand der Durchführung einer Inversion einer Geraden durch die Punkte A und B an einem Kreis K1 analysieren, dessen Mittelpunkt frei wählbar ist und dessen Radius eingestellt werden kann. Der entstandene Kreis trägt die Bezeichnung K2.

 

Hinweis:

Das Programm führt darüber hinaus eine Inversion mit den zwei zur Definition der Geraden erforderlichen Punkten A und B durch. Die hierdurch entstandenen Punkte A' und B' liegen (verständlicherweise) stets auf der Peripherie des durch Inversion entstandenen Kreises.
 

Darstellung

Führen Sie Folgendes aus, um Zusammenhänge bei einer Inversion dieser Art zu analysieren:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Radius auf dem Bedienformular den Radius des Ursprungskreises fest.
     
  2. Möchten Sie den Mittelpunkt des Ursprungskreises, oder Geradenpunkte, exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Sollen die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Möchten Sie die Inversion zudem nur für zwei ausgewählte Geradenpunkte (Anfasser A und B) durchführen lassen und deren Position auf der Peripherie des Kreises K2 lokalisieren, der nach Durchführung der Inversion entstanden ist, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Punkte darstellen. Die durch Inversion entstandenen Punkte tragen die Bezeichnungen A' und B'.

Bedienformular

 

MathProf - Inversion - Mittelpunkt
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Inversion eines Kreises am Kreis

 

Beispiel


Legen Sie den Radius des Ursprungskreises mit r1 = 3 fest und positionieren Sie den Mittelpunkt dessen bei M1 (-4 / 4). Definieren Sie hierauf zwei Punkte A (-12 / 8) und B (4 / -2), durch welche die zu invertierende Gerade verlaufen soll, so ermittelt das Programm folgende Ergebnisse:

Der durch Inversion an der Geraden entstandene Kreis K2 besitzt die Eigenschaften:

 

Mittelpunkt: M2 (-6,813 / -0,5)

Radius: r2 = 5,307

 

Für die durch Inversion der Punkte A und B entstandenen Punkte A' und B' ermittelt das Programm die Koordinatenwerte:

 

A' (-4,9 / 4,45)

B' (-3,28 / 3,46)
 

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