MathProf - DGL-System - Differentialgleichungssystem lösen - Homogen

Modul DGL-Gleichungssystem

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Differentialgleichungen] - DGL-Gleichungssystem ermöglicht es, Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung, bestehend aus bis zu 8 Differentialgleichungen, numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

Eine Gleichung in welcher die 1. Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differentialgleichung 1. Ordnung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden. Sind mehrere Bedingungen vorhanden, die erfüllt sein müssen, so bedarf es der Verwendung eines Differentialgleichungssystems.

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung der Lösungen von Differentialgleichungssystemen (DGL-Systemen) mit bis zu 8 Differentialgleichungen 1. Ordnung bei einer Definition von Termen folgender Typen:

dy/dx = f(x;y1)  (ab 2 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2)  (ab 2 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3)  (ab 3 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4)  (ab 4 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5  (ab 5 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5;y6)  (ab 6 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5;y6;y7)  (ab 7 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5;y6;y7;y8)  (8 Gleichungen)

 

 

Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um Lösungskurven von Differentialgleichungssystemen dieser Art mit Hilfe dieses Moduls ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:
 

1. Legen Sie die Anzahl der Gleichungen, aus denen das System besteht, durch eine Bedienung des Steuerelements Anz. Gleichungen fest.
    
2. Definieren Sie die Terme des zu analysierenden Differentialgleichungssystems 1. Ordnung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, in den dafür vorgesehenen Eingabefeldern mit den Bezeichnungen DGL 1, DGL 2, DGL 3 usw.
    
3. Tragen Sie in die Felder x0 =, y1(x0) =, y2(x0) =, y3(x0) =, usw. die entsprechenden Startwerte ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse numerischer Berechnungen ausgegeben werden sollen.
    
4. Legen Sie Anzahl zu verwendender Schritte durch die Positionierung des Rollbalkens (Anz. Schritte) fest.
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
6. Möchten Sie sich die entsprechenden Lösungskurven grafisch ausgeben lassen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.
   
   Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Beachten Sie:

Für die Bezeichnungen der 1. Ableitungen müssen Sie bei der Formulierung der Funktionsterme von Differentialgleichungen in diesem Unterprogramm die Zeichen Y1, Y2 ... Y8 verwenden. Ist ein System mit 2 Gleichungen zu lösen, so können die Zeichen Y1 und Y2 verwendet werden. Ist ein System mit 3 Gleichungen zu analysieren, so stehen die Zeichen Y1, Y2 und Y3 zur Verfügung. Bei der Definition eines Systems mit 4 Gleichungen sind die Zeichen Y1, Y2, Y3 und Y4 zu verwenden, usw..

 

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf ausgegeben.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

DGL 1. Ordnung

 

Um das Differentialgleichungssystem (DGL-System)

dy/dx = sin(-2·y₁-sin(x))+2/5

dy/dx = cos(y₂/2)

dy/dx = cos(-y₃·x)
 

mit den Startwerten

x0 = -6

y1(x0) = 1

y2(x0) = -2

y3(x0) = -1
 

im Intervall 0  ≤ x ≤ 4 lösen zu lassen, stellen Sie das Steuerelement Anz. Gleichungen auf den Wert 3 ein und definieren folgende Terme:

DGL 1: dy/dx = SIN(-2*Y1-SIN(X))+2/5

DGL 2: dy/dx = COS(Y2/2)

DGL 3: dy/dx = COS(-Y3*X)
 

Geben Sie die Startwerte in die entsprechenden Eingabefelder ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 4 fest. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen, so stellt das Programm die ermittelten Lösungskurven des DGL-Systems unter Berücksichtigung der gestellten Startwertbedingungen dar.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

 

Startfenster des Unterprogramms Differentialgleichungssysteme
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm DGL höherer Ordnung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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