MathProf - DGL-System - Differentialgleichungssystem lösen - Inhomogen

MathProf - Mathematik-Software - Differentialgleichungen | System | DGL erster Ordnung

Fachthema: Gleichungssysteme von Differentialgleichungen

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Veranschaulichung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Ein Programm, welches als Begleiter beim Maschinenbau-Studium oder Elektrotechnik-Studium zur Lösung anspruchsvoller Aufgaben sowie zur Erlangung tiefergreifenden Fachwissens der Mathematik eingesetzt werden kann.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Differentialgleichungen | System | DGL erster Ordnung

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und Darstellen der Lösungskurven von
DGL-Systemen erster Ordnung.

In diesem Unterprogramm ermöglicht der 
eingebundene Rechner das numerische Lösen von einem Differentialgleichungssystem dieser Ordnung mit bis zu 8 Differentialgleichungen. Nach Durchführung einer Berechnung können ermittelte Zusammenhänge dieser Art grafisch analysiert werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

DGL-System - Differentialgleichungssystem - Gleichungssystem von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung - Homogenes DGL-System - Lineares DGL-System - Graph - Rechner - Lösung - Plotter - Grafik - Grafisch - Lösen - Lösungen - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Lineare Differentialgleichungssysteme - Systeme von Differentialgleichungen

 
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DGL-Gleichungssystem

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Differentialgleichungen] - DGL-Gleichungssystem ermöglicht es, Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung, bestehend aus bis zu 8 Differentialgleichungen, numerisch iterativ lösen zu lassen.

 

MathProf - DGL Gleichungssystem - Lösen - Berechnen - Lösungskurve - Differentialgleichungen - DGL-System

 

Eine Gleichung in welcher die 1. Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differentialgleichung 1. Ordnung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden. Sind mehrere Bedingungen vorhanden, die erfüllt sein müssen, so bedarf es der Verwendung eines Differentialgleichungssystems.

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung der Lösungen von Differentialgleichungssystemen (DGL-Systemen) mit bis zu 8 Differentialgleichungen 1. Ordnung bei einer Definition von Termen folgender Typen:

dy/dx = f(x;y1)  (ab 2 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2)  (ab 2 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3)  (ab 3 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4)  (ab 4 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5  (ab 5 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5;y6)  (ab 6 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5;y6;y7)  (ab 7 Gleichungen)

dy/dx = f(x;y1;y2;y3;y4;y5;y6;y7;y8)  (8 Gleichungen)

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - DGL Gleichungssystem - Lösen - Berechnen - Differentialgleichung Gleichungssystem - Lösungskurven - Differentialgleichung - DGL-System


Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um Lösungskurven von Differentialgleichungssystemen dieser Art ermitteln und grafisch ausgeben zu lassen:

  1. Legen Sie die Anzahl der Gleichungen, aus denen das System besteht, durch eine Bedienung des Steuerelements Anz. Gleichungen fest.
     
  2. Definieren Sie die Terme des zu analysierenden Differentialgleichungssystems 1. Ordnung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, in den dafür vorgesehenen Eingabefeldern mit den Bezeichnungen DGL 1, DGL 2, DGL 3 usw.
     
  3. Tragen Sie in die Felder x0 =, y1(x0) =, y2(x0) =, y3(x0) =, usw. die entsprechenden Startwerte ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = einen Maximalwert für x1 fest, über welchen die Ergebnisse numerischer Berechnungen ausgegeben werden sollen.
     
  4. Legen Sie Anzahl zu verwendender Schritte durch die Positionierung des Rollbalkens (Anz. Schritte) fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die entsprechenden Lösungskurven grafisch ausgeben lassen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb des festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.

    Wurde der Kontrollschalter mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen gewählt, so legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Bereich markieren fest, ob bei der Darstellung der Lösungskurve eine Markierung des gewählten Intervallbereichs erfolgen soll.

Beachten Sie:

Für die Bezeichnungen der 1. Ableitungen müssen Sie bei der Formulierung der Funktionsterme von Differentialgleichungen in diesem Unterprogramm die Zeichen Y1, Y2 ... Y8 verwenden. Ist ein System mit 2 Gleichungen zu lösen, so können die Zeichen Y1 und Y2 verwendet werden. Ist ein System mit 3 Gleichungen zu analysieren, so stehen die Zeichen Y1, Y2 und Y3 zur Verfügung. Bei der Definition eines Systems mit 4 Gleichungen sind die Zeichen Y1, Y2, Y3 und Y4 zu verwenden, usw..

 

Hinweis:

Die Auflösungsgenauigkeit bei Ausgabe der grafischen Darstellung hängt von der gewählten Schrittanzahl zur numerischen Ermittlung der Lösungen ab. Je höher diese gewählt wird, desto exakter wird der Funktionsverlauf ausgegeben.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

DGL 1. Ordnung

 

Beispiel


Um das Differentialgleichungssystem (DGL-System)

dy/dx = sin(-2·y1-sin(x))+2/5

dy/dx = cos(y2/2)

dy/dx = cos(-y3·x)
 

mit den Startwerten

x0 = -6

y1(x0) = 1

y2(x0) = -2

y3(x0) = -1
 

im Intervall 0  x 4 lösen zu lassen, stellen Sie das Steuerelement Anz. Gleichungen auf den Wert 3 ein und definieren folgende Terme:

DGL 1: dy/dx = SIN(-2*Y1-SIN(X))+2/5

DGL 2: dy/dx = COS(Y2/2)

DGL 3: dy/dx = COS(-Y3*X)
 

Geben Sie die Startwerte in die entsprechenden Eingabefelder ein und legen Sie im Eingabefeld Bereich von x0 bis x1 = den Wert 4 fest. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen, so stellt das Programm die ermittelten Lösungskurven des DGL-Systems unter Berücksichtigung der gestellten Startwertbedingungen dar.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Differentialgleichungssystem 1. Ordnung - Differentialgleichungen erster Ordnung - Lösungskurve - Lösungskurven - DGL - Lösung - Rechner - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL-System
MathProf - Differentialgleichungssystem 1. Ordnung - Differentialgleichungen erster Ordnung - Lösungskurve - Lösungskurven - DGL - Lösung - Rechner - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL-System
MathProf - Differentialgleichungssystem 1. Ordnung - Differentialgleichungen erster Ordnung - Lösungskurve - Lösungskurven - DGL - Lösung - Rechner - Gewöhliche Differentialgleichungen - Beispiel - DGL-System

  

Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzinfos zum Themengebiet Analysis Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie Kurzinfos zum Themengebiet Algebra Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen und wissenschaftlichen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozessabläufe zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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