MathProf - Analyse impliziter Funktionen - Graph plotter - Implizite Gleichungen

MathProf - Mathematik-Software - 3D-Plotter | Implizite Fläche | Darstellung | Raum

Fachthema: Analyse impliziter Funktionen im Raum

MathProf - Flächen im Raum - Software für 3D-Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen und Computeranimationen für Technik und Wissenschaft. Ein Programm zur Darstellung von Gebilden und zur Analyse von Sachverhalten zweiter und dritter Dimension.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - 3D-Plotter | Implizite Fläche | Darstellung | Raum

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse von impliziten Funktionsgleichungen im Raum.

Mit Hilfe des hierzu implementierten Plotters lassen sich 3D-Funktionen mit 2 Variablen der Form z = f(x,y) im 3D-Koordinatensystem darstellen, welche durch zusätzliche Bedingungsanweisungen definiert werden können. Er lässt die Darstellung der Lösungsmengen von impliziten Gleichungen mit 2 Unbekannten zu.


Ein frei bewegbares und drehbares, räumliches Koordinatensystem erlaubt die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema und die Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar.

Dieser Funktionsplotter bietet zudem die Möglichkeit zur Ausführung von 3D-Simulationen mit mathematischen Gebilden dieser Art. Auch lässt sich das Verhalten dieser unter dem Einfluss frei festlegbarer Parameter untersuchen.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

3D-Plotter für Gleichungen mit 2 Unbekannten - 3D-Plotter für eine Funktion mit 2 Variablen - Mehrdimensionale Funktionen plotten - 3D-Flächen implizit darstellen - Flächenfunktion im 3D-Koordinatensystem plotten - Funktionenplotter für implizite Funktionen - Implizite Gleichung untersuchen - Implizite Darstellung von Flächen - Graph - Grafisch - Bilder - Berechnung - Darstellen - Funktionen von zwei Veränderlichen - Analyse von Funktionen mehrerer Variablen - Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher - Ungleichungen lösen - Funktionsplotter zur Ausgabe der Graphen von Funktionen mit 2 Variablen - Graph plotter für implizite 3D-Funktionen

 
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Analyse implizit definierter Funktionen im Raum

 

Das Unterprogramm [3D-Mathematik] - Analyse implizit definierter Funktionen im Raum ermöglicht die grafische Untersuchung funktionaler Zusammenhänge, die in impliziter Form gegeben sind.

 

MathProf - Analyse implizit definierter Flächen - 3D - Plotten - Flächen implizit - Implizite Funktionen - Funktionen mehrerer Variablen


Mathematische Funktionen können nicht nur in expliziter, sondern auch in impliziter Form definiert werden. Die Untersuchung von Funktionen, die in der Form f(x,y) w, f(x,y) w bzw. f(x,y) = w vorliegen, gestaltet sich meist schwierig. Es besteht jedoch die Möglichkeit, Funktionen dieser Art als einen Sonderfall dreidimensionaler Funktionen der Form z = f(x,y) zu betrachten und diese nur an Punkten darzustellen, bei welchen deren Funktionswerte den Bedingungen z w, z w bzw. z = w genügen. Werden die Konturverläufe (Randlinien) dieser, parallel zur (x,y)-Ebene liegenden Punktmengen betrachtet, so lässt sich der Funktionsverlauf der entsprechenden Kurve ableiten.

 

In diesem Modul wird es ermöglicht, Untersuchungen dieser Art durchzuführen. Es besteht die Möglichkeit, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Das Modul ermöglicht eine Darstellung von Flächen und Punktmengen, die beschrieben werden durch
 

  • Implizit definierte Funktionen der Formen:

    z = f(x,y,p)
    ³
    z = f(x,y,p)
    w
    z = f(x,y,p) = w

Hierbei kann sowohl die Fläche ausgegeben werden, die durch eine Funktion der Form z = f(x,y) beschrieben wird (explizit), wie auch die Punktmenge einer Ebene die Bedingungen der Art z w, z w bzw. z = w erfüllt (implizit). Parameter w ist ein frei wählbarer, reeller Zahlenwert.
 

Screenshots


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Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Darstellung

 

MathProf - Implizite Fläche - Raum - Koordinaten - 3D - Plotten

 

Um Untersuchungen mit implizit definierten Funktionen dieser Art durchzuführen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Definieren Sie den Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(x,y,p) = und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln
     
  2. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters z = f(x,y,p) >= w, z = f(x,y,p) <= w bzw. z = f(x,y,p) = w die Art der zu erfüllenden Bedingung und geben Sie den entsprechenden Zahlenwert für w in das dafür vorgesehene Feld ein.
     
  3. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den Z-Koordinatenwertebereich (vertik. Darstellungsbereich) automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Darstellungsbereich Z fest.
     
  4. Legen Sie ggf. durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Darstellungsbereich X sowie Darstellungsbereich Y die (x,y)-Darstellungsbereiche fest, über welche die Fläche ausgegeben werden soll.
     
  5. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:

    Definieren Sie, durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ..., den Startwert, sowie den Endwert des vom Parameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Parameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.

    Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simulation oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
     
  6. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     

Hinweise:

Werden Untersuchungen mit Funktionen durchgeführt, die nicht das Einzelzeichen P enthalten (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen eine Funktion definiert, welche dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

 

Bei Ausgabe der Darstellung kann durch die Aktivierung des Kontrollkästchens f(x,y,p) auf dem Bedienformular gewählt werden, ob die in expliziter Form definierte Fläche f(x,y,p) eingeblendet werden soll.

 

Funktionswerte

 

Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen derartiger Zusammenhänge ermöglicht.

 

MathProf - Explizite Fläche  - Implizite Fläche - 3D - Koordinaten

 

Wird der Menüpunkt Werte gewählt, so ermittelt das Programm für Punkte innerhalb eines frei wählbaren Areals der (x,y)-Ebene, ob die vorgegebene Bedingung erfüllt wird, oder nicht. Wird sie erfüllt, so wird dies in den entsprechenden Tabelleneinträgen angezeigt, andernfalls werden die z-Koordinatenwerte der Flächenfunktion ausgegeben. Um sich die numerisch ermittelten Berechnungsergebnisse ausgeben zu lassen, sollten Sie wie nachfolgend geschildert vorgehen:
 

  1. Definieren Sie den Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(x,y) und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Bestimmen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters z = f(x,y) >= w bzw. z = f(x,y) <= w die Art der zu erfüllenden Bedingung und geben Sie den entsprechenden Zahlenwert für w in das dafür vorgesehene Feld ein.
     
  3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von x1 =, bis x2 =, Von y1 = und bis y2 = den Bereich fest, über welchen Werte ausgegeben werden sollen.
     
  4. Wählen Sie über die aufklappbare Auswahlbox die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind (voreingestellt: 0,1).
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Es gilt zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich bei der Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.

 

Hinweis:

Befindet sich im Eingabefeld des Hauptformulars des Unterprogramms bereits eine Funktionsdeklaration, so wird diese in das Eingabefeld des Unterformulars übernommen.

 

Darstellungsbereich

 

Den Bereich bzgl. der x- und y-Achse, der zur Ausgabe der grafischen Darstellung verwendet werden soll, legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Darstellungsbereich X und Darstellungsbereich Y im Formularbereich Darstellung - Voreinstellung Darstellungsbereiche für X und Y fest. Das Programm benutzt diese Werte um die räumliche Dimensionierung der Darstellung in x- wie in y-Achsrichtung festzulegen.

 

Bei der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Z Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch, durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm den zur vollständigen Darstellung der Fläche (Punktmenge) erforderlichen z-Koordinatenwert automatisch.

     

    Um Änderungen dieser Einstellungen bei der Ausgabe der grafischen Darstellung vorzunehmen, steht auf dem Bedienformular der Schalter Bereich zur Verfügung.

    Bedienen Sie diesen und legen Sie im hierauf erscheinenden Eingabeformular die Abmaße des gewünschten räumlichen Darstellungsbereichs bezüglich der x- und der y-Achse, durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Für x und Für y fest.

     

    Temporär kann die Bemessung des z-Darstellungsbereichs geändert (vergrößert) werden. Hierzu ist die Eingabe eines entsprechenden Werts notwendig. Dieser darf nicht unter dem vom Programm (im Eingabefeld) vorgegebenen Mindestwert liegen und wird nur bis zur erstmaligen Beendigung der Ausgabe der Darstellung beibehalten. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Ok wird die Darstellung aktualisiert.
     

  2. Statisch:

    Bei einer Aktivierung des Kontrollschalters Statisch stellt das Programm die Fläche (Punktmenge) innerhalb des gewählten z-Darstellungsbereichs dar und beschneidet diese an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei der Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den, auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden, Rollbalken Z-Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Darstellungsbereich Z, auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

     

    Um Änderungen dieser Einstellungen bei Ausgabe der grafischen Darstellung vorzunehmen, steht auf dem Bedienformular der Schalter Bereich zur Verfügung. Legen Sie im hierauf erscheinenden Eingabeformular die Abmaße des gewünschten räumlichen Darstellungsbereichs, durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Für x, Für y und Für z fest und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok.

Option

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.

 

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Flächen mit Funktionen in expliziter Form (3D)

 

Beispiel

 

Es gilt, sich die Lösungen einer implizit definierten Gleichung z = f(x,y) = x²/2 +y²/2 -1 mit der Bedingung z -0,2 als Punktmenge im dreidimensionalen Raum darstellen zu lassen.

 

Hierzu definieren Sie den Funktionsterm X^2/2+Y^2/2-1 im Eingabefeld z = f(x,y,p) =, geben den Zahlenwert -0,2 in das dafür vorgesehene Feld ein, aktivieren den Kontrollschalter z = f(x,y,p) >= w, belassen die Werte in den Formularbereichen Voreinstellung - Darstellungsbereiche auf den Vorgabeeinstellungen, wählen den Kontrollschalter Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

 

Aktivieren Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung auf dem Bedienformular das Kontrollkästchen f(x,y,p), so wird zudem die Fläche ausgegeben, welche durch die definierte Funktion beschrieben wird (ohne die Berücksichtigung der gestellten Bedingung).

 

Um sich die Lösung einer Gleichung mit der Bedingung x²/2 +y²/2 -1 ≤ -0,2 als Punktmenge im dreidimensionalen Raum darstellen zu lassen, verwenden Sie zuvor durchgeführte Einstellungen, aktivieren den Kontrollschalter z = f(x,y,p) >= w auf dem Hauptformular des Unterprogramms und bedienen hierauf die Schaltfläche Darstellen.

 

Wird Kontrollschalter z = f(x,y,p) >= w auf dem Hauptformular des Unterprogramms aktiviert, so wird lediglich der Konturverlauf der parallel zur (x,y)-Ebene liegenden Punktmenge betrachtet, welche die Bedingung x²/2 +y²/2 -1 = -0,2 erfüllen. Diese wird als Linienkontur dargestellt.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Flächen im Raum zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich 3D-Mathematik


Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
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