MathProf - Exponentialfunktion - Wachstum - Zerfall - Prozess

MathProf - Mathematik-Software - Exponentialfunktion - Graph - Parameter

Fachthemen: Exponentialfunktion - Wachstum - Zerfall - Prozesse

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Exponentialfunktion | Graph | Parameter | Ableiten | Steigung

Online-Hilfe
für das Modul zur grafischen Untersuchung des Einflusses von
Parametern auf eine Exponentialfunktion (Exponentialgleichung)
und derer erster Ableitung.

In diesem Unterprogramm können insbesondere die Basis, der Exponent sowie der Parameter zur Verschiebung dieser verändert werden und deren Einflüsse auf den Verlauf und die Eigenschaften der Exponentialfunktion untersucht werden.

Beim Zeichnen des Graphen einer Funktion dieser Art erlaubt es der Rechner auch die Nullstellen der exponentiellen Funktion ermitteln und ausgeben zu lassen.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Auch die Ermittlung der Funktionswerte einer derartigen Funktion kann ebenfalls veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer Wertetabelle.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Exponentialfunktionen - Exponentialgleichungen - Exponent - Exponentialfunktion ableiten - Eigenschaften der Exponentialfunktion - Graphen von Exponentialfunktionen - Ableitung einer Exponentialfunktion - Ableiten einer Exponentialfunktion - Exponential - Gleichung einer Exponentialfunktion - Steigung einer Exponentialfunktion - Natürliche Exponentialfunktion - e-Funktion - Exponentialfunktion zeichnen - Berechnen einer Exponentialfunktion - Graphen ablesen - Funktionsgleichung ablesen - Nullstellen ablesen - Exponentialkurve - Exponentialrechnung - Transzendente Funktion - Exponentielle Funktion - Exp Funktion - Exponentielle Kurve - Allgemeine Exponentialfunktion - Ungerade Exponenten - Gerade Exponenten - Negative Exponenten - Positive Exponenten - Rationale Exponenten - Untersuchung von Exponentialfunktionen - Untersuchen - Untersuchung - Globalverhalten - Wachstumsprozesse - Zerfallsprozesse - Exponentielle Abnahme - Exponentiell - Exponentielle Zunahme - Exponentieller Anstieg - Exponentielles Wachstum - Strecken - Stauchen - Plotten - Verschieben - Verändern - Veränderung - Ändern - Änderung - Bestimmen - Bestimmung - Grafisch - Rechner - Analysieren - Beispiel - Plotter - Kurve - Zeichnen - Darstellung - Darstellen - Formel - Nullstellen - Graph - Gleichung - Bild - Parametervariation - Ableiten - Ableitung - Parameter - Grafik - Tabelle - Werte - Eigenschaften - Berechnen - Funktionswerte - Wertetabelle - Grafische Darstellung - Grundlagen - Grundlegendes - Verschiebung einer Exponentialfunktion - Zeit - Zeitpunkt - Schranke - Wachstumsschranke - Wachstumsfunktion - Wachstum - Zerfall - Funktion - Konstante - Exponentielles Wachstum - Wachstumskonstante - Beschränktes Wachstum - Wachstumsfunktionen - Begrenztes Wachstum - Begrenztes exponentielles Wachstum - Beschränkte Abnahme - Wachstumsrate - Wachstumsfaktor - Wachstumskurve - Population - Zeitpunkt - Abnehmend - Zunehmend - Wachsend - Steigend - Fallend - Erklärung - Lineares Wachstum - Nichtlineares Wachstum - Minderung - Lineare Abnahme - Logistisches Wachstum - Exponentieller Zerfall - Wachstumsgeschwindigkeit - Geschwindigkeit - Wachstumsfaktor bestimmen - Abnahmefaktor - Exponentielle Abnahme - Exponentielle Zunahme - Wachstumsprozesse - Exponentieller Prozess - Exponentielle Prozesse - Zerfallsprozess - Zerfallsprozesse - Wachstumsprozess - Abklingfunktion - Abklingfaktor - Sättigungsfunktion - Zeitabhängige Funktion - Verdoppelungszeit - Verdoppelungszeit - Zeitwert - Radioaktiver Zerfall - Zerfallszeit - Halbwertszeit - Zerfallsgesetz - Zerfallskonstante - Anfangsbestand - Organisches Wachstum - Kettenreaktion

      
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I - Parameter der Exponentialfunktion


MathProf - Exponentialfunktionen - Exponentialgleichungen - Exponentielle Funktion - Ableiten - Exponentialkurve - Strecken - Stauchen - Verschieben - Analysieren - Nullstellen - Parameter - Ableiten - Funktionswerte - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild
Modul Parameter der Exponentialfunktion


 
Durch die Benutzung des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Parameter der Exponentialfunktion kann der Einfluss von Parametern auf Exponentialfunktionen und derer 1. Ableitung grafisch untersucht werden.

 

MathProf - Exponentialfunktionen - Exponentialgleichungen - Exponentielle Funktion - Ableiten - Exponentialkurve - Strecken - Stauchen - Verschieben - Analysieren - Nullstellen - Parameter - Ableiten - Funktionswerte - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild

 
Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken haben Sie die Möglichkeit die Parameter a, b und c einer Exponentialfunktion der Form

 

f(x) = ab·x+c

zu ändern und somit deren Wirkung auf den Funktionsverlauf zu untersuchen.

Eine Veränderung der Parameter beeinflusst/bewirkt:

a: Basis der Funktion

b: Streckung bzw. Stauchung der Funktion in y-Richtung (Exponent)

c: Verschiebung der Funktion in y-Richtung

 

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:

  1. Durch die Positionierung der Schieberegler Basis a, Parameter b und Parameter c können Sie die Parameter a, b (Exponent) und c der o.a. Funktion verändern und somit deren Einfluss analysieren. Zudem ermöglicht das Programm die Darstellung der 1. Ableitung der Kurve. Aktivieren Sie hierzu das Kontrollkästchen 1. Ableitung. Verfügt die Kurve über eine Nullstelle, so wird diese nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstelle markiert.
     
  2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punkts der Kurve (bzw. derer 1. Ableitung) exakt untersuchen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Aktivieren Sie hierfür zuvor das Kontrollkästchen Punkt. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Soll die Position des Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach rechts oder nach links.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular

 

MathProf - Grafik - Exponentialfunktion - Graph - Ableiten - Transzendente Gleichung - E-Funktion


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

  • 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der dargestellten Funktion ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

 

Beispiel


Beispiel zur Exponentialfunktion:

Wurden durch die Positionierung der Rollbalken folgende Werte eingestellt:

Basis a: 2

Parameter b (Exponent): -0,4

Parameter c: -4

 

so wird die e-Funktion f(x) = 2-0.4x-4 ausgegeben.

 

Für die Nullstelle der Funktion gibt das Programm die Koordinatenwerte N (-5 / 0) aus.

 

Bei einer Positionierung des Mausfangpunkts auf den Wert (1 / 0) kann festgestellt werden, dass der Ordinatenwert der Funktion an dieser Stelle y = -3,242, sowie der entsprechende Wert für die 1. Ableitung an dieser Stelle y = -0,21 beträgt.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Exponentialfunktion - Exponentielle Kurve - Allgemeine Exponentialfunktion - Eigenschaften - Untersuchen - Ableitung - Strecken - Stauchen - Verschieben - Nullstellen - Parameter - Funktionswerte - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Exponentialfunktion - Eigenschaften - Analysieren - Exponenten - Verändern - Grafische Darstellung - Bild - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Exponentialfunktionen - Ableiten - Berechnen - Darstellen - Graphen - Lösen - Nullstellen - Parameter - Berechnen - Strecken - Steigung - Verschieben - Zeichnen - Beispiel - Exponentialgleichungen - Exponentialfunktionen
Grafische Darstellung - Beispiel 3
   
 

II - Natürliche Exponentialfunktion

 

Nachfolgend aufgeführt finden Sie einige grundlegende relevante Zusammenhänge, durch welche Wachstumsprozesse und Zerfallsprozesse mathematisch beschrieben werden können. Funktionen dieser Art können Sie sich durch die Verwendung geeigneter Variablen und Parameter bzw. Konstanten im Unterprogramm Mathematische Funktionen I darstellen lassen und untersuchen.
 

A - Grundlegendes

 
Eine spezielle Exponentialfunktion stellt die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion f(x) = ex dar. Die Konstante e wird Eulersche Zahl bezeichnet. Sie besitzt den Wert 2,71828... . Jeder Ordinatenwert (y-Wert) dieser Funktion entspricht dem Steigungswert (der 1. Ableitung) ihrer im entsprechenden Punkt. Jede Exponentialfunktion lässt sich durch den geltenden Zusammenhang ax = e(x · ln a) auf eine e-Funktion zurückführen.
 

MathProf - Natürliche Exponentialfunktion - Eulersche Zahl - Euler - E-Funktion - Darstellen - Rechner - Grafik - Plotten - Zeichnen - Plotter - Graph
Kurvenveraluf der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = ex.
  
MathProf - Natürliche Exponentialfunktion - Ableitung - 1. Ableitung - Steigung - E-Funktion - Darstellen - Rechner - Grafik - Plotten - Zeichnen - Plotter - Graph
Kurvenveraluf der 1. Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = ex.
 

B - Wachstum - Wachstumsfunktionen - Wachstumsprozesse - Zerfall - Zerfallsprozesse

 
I - Lineares Wachstum - Lineare Abnahme

a. Lineares Wachstum:

Lineares Wachstum kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = B(0) + k·t

Mit:
B(0): Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
k: Wachstumsfaktor
t: Zeitpunkt


MathProf - Lineares Wachstum - Anfangsbestand - Zeitpunkt - Zeit - Wachstumsfaktor - Faktor - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Beispiel
Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang eines linearen Wachstums mit der Gleichung f(x) = 0,5+2*X dar.

b. Lineare Abnahme:

Lineare Abnahme kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = B(0) - k·t

Mit:
B(0): Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
k: Abnahmefaktor
t: Zeitpunkt
 

MathProf - Lineare Abnahme - Anfangsbestand - Zeitpunkt - Zeit - Faktor - Abnahmefaktor - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Abnahmefaktor - Zerfallsprozess - Beispiel
Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang einer linearen Abnahme mit der Gleichung f(x) = 0,5-0,4*X dar.


II - Exponentielles Wachstum - Exponentieller Zerfall
(Exponentielle Zunahme - Exponentielle Abnahme)


a. Exponentielles Wachstum:

Exponentielles Wachstum kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = A·bt

Mit:
A: Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
b: Wachstumsfaktor
t: Zeitpunkt


MathProf - Exponentielles Wachstum - Anfangsbestand - Bestand - Wachstumsfaktor - Zeit - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Exponentieller Prozess - Exponentielle Prozesse - Beispiel
 Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang eines exponentiellen Wachstums mit der Gleichung f(x) = 0,5*(1,3)^X dar.

b. Exponentieller Zerfall:

Exponentieller Zerfall kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:


B(t) = A·(1+b)t
 
Mit:
A: Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
b: Wachstumsfaktor
t: Zeitpunkt


MathProf - Exponentieller Zerfall - Anfangsbestand - Bestand - Wachstumsfaktor - Zeit - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Beispiel
Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang eines exponentiellen Zerfalls mit der Gleichung f(x) = 0,5*(1+0,2)^X dar.

c. Wachstumsgeschwindigkeit:

Eine Wachstumsgeschwindigkeit kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

N'(t) = A⋅ln(b)⋅bt

Mit:
N'(t): Wachstumsgeschwindigkeit
A: Anfangsbestand
b: Abnahmefaktor
t: Zeitpunkt


MathProf - Wachstumsgeschwindigkeit - Anfangsbestand - Abnahmefaktor - Zeit - Zeitpunkt - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Beispiel
Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang einer Wachstumsgeschwindigkeit mit der Gleichung f(x) = 0,5*Ln(1,3)*1,3^X dar.


III - Logistisches Wachstum


Logistisches Wachstum kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

MathProf - Logistisches Wachstum - Formel

Mit:
f(t): Zeitliche Entwicklung einer Population
f(0): Population zum Zeitpunkt t = 0
G: Obere Schranke
k: Wachstumsfaktor
e: Eulersche Zahl
t: Zeitpunkt

 
MathProf - Logistisches Wachstum - Zeitliche Entwicklung - Population -  Obere Schranke - Wachstumsfaktor - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Wachstum - Konstante - Wachstumsrate - Wachstumsfaktor - Wachstumskurve - Wachstumsgeschwindigkeit - Wachstumsprozesse - Beispiel
Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang eines logistischen Wachstums mit der Gleichung f(x) = 4/(1+e^(-1*3*X))*(3/2-1) dar.


IV - Wachstumsfunktion


a. Beschränktes Wachstum - Beschränkte Zunahme:

Beschränktes Wachstum kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = S - (S - B(0))·e(-kt)

Bedingung: S > B(0)


Mit:
B(0): Zustand zum Zeitpunkt t = 0
B(t): Zustand zum Zeitpunkt t
S: Wachtsumsschranke
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
k: Wachstumskonstante


MathProf - Wachstumsfunktion - Beschränktes Wachstum - Beschränkte Zunahme - Zustand - Zeit - Zeitpunkt - Wachtsumsschranke - Wachstumskonstante - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Wachstum - Konstante - Wachstumsrate - Wachstumsfaktor - Wachstumskurve - Wachstumsgeschwindigkeit - Wachstumsprozesse - Beispiel
Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang eines beschränkten Wachstums mit der Gleichung f(x) = 10 - (10 - 0)*e^(-0,05*X) dar.
 
b. Beschränkter Zerfall - Beschränkte Abnahme:

Beschränkter Zerfall kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:


B(t) = S - (S - B(0))·e(-kt)

Bedingung: S < B(0)


Mit:
B(0): Zustand zum Zeitpunkt t = 0
B(t): Zustand zum Zeitpunkt t
S: Wachtsumsschranke
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
k: Wachstumskonstante

 
MathProf - Wachstumsfunktion - Beschränkter Zerfall - Beschränkte Abnahme - Zustand - Zeit - Zeitpunkt - Wachtsumsschranke - Wachstumskonstante - Gleichung - Funktion - Rechner - Berechnen - Grafik - Grafisch - Plotten - Zeichnen - Diagramm - Darstellen - Parameter - Beispiel
Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang eines beschränkten Zerfalls mit der Gleichung f(x) = 1.5 - (1,5 - 4)*e^(-0,5*X) dar.
 


V - Abklingfunktion
   
Eine weitere spezielle Exponentialfunktion stellt eine Abklingfunktion der Form f(x) = ae-λt+b dar. Sie besitzt eine Asymptote bei y = b.
 

MathProf - Abklingfunktion - Abklingfaktor - Zeitabhängige Funktion - Graph - Rechner - Berechnen - Formel - Funktion - Plotten
Die zuvor dargestellte Abbildung stellt eine streng monoton abfallende Abklingfunktion mit der Gleichung f(x) = 2*E^(-0,5*X)+1 dar.

Mit
a: Wachstumsfaktor
b: Vertikaler Verschiebungsparameter
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
λ: Parameter

 


VI - Sättigungsfunktion

  
Ebenfalls mit Hilfe der Exponentialfunktion kann auch eine Sättigungsfunktion der Form f(x) = a(1-e-λt)+b beschrieben werden. Sie verfügt über eine Asymptote bei y = a+b.
 

MathProf - Sättigungsfunktion - Zeitabhängige Funktion - Graph - Rechner - Berechnen - Formel - Funktion - Plotten
Die obige Abbildung zeigt eine streng monoton abfallende Abklingfunktion, welche durch die Funktion f(x) = 2*(1-E^(-0,5*X))+1 beschrieben wird.

Mit
a: Wachstumsfaktor
b: Vertikaler Verschiebungsparameter
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
λ: Parameter

   

C - Organisches Wachstum - Radioaktiver Zerfall - Kettenreaktion

 
Im Weiteren wird auf Zusammenhänge eingegangen, mit deren Hilfe das organische Wachstum, der radioaktive Zerfall sowie der Verlauf einer Kettenreaktion mathematisch charakterisiert werden können.
 

1. Organisches Wachstum

 
Ein organisches Wachstum kann mit nachfolgender Gleichung beschrieben werden:

n = n0·ek·t

k > 0
Wachstumsprozess
k < 0
Abklingprozess

Mit:
n: Organisches Wachstum
n0: Grundmenge
k: Wachstumsintensität
t: Zeit
 

2. Radioaktiver Zerfall

 
Der Prozess eines radioaktiven Zerfalls verhält sich gemäß den nachfolgend gezeigten Gesetzmäßigkeiten:

n(t) = n0·e-λ·t

Die Zahl Th = ln(2)/|λ| wird als Halbwerts- oder Verdoppelungszeit bezeichnet. Ist die Zerfallskonstante λ > 0, so wird Th als Halbwertszeit bezeichnet. Ist λ < 0, so wird Th als Verdoppelungszeit bezeichnet.

Mit:
n(t): Kettenreaktion
λ: Zerfallskonstante

n0: Anfangsbestand an Atomkernen
t: Zeit

  

3. Kettenreaktion

 
Der Verlauf einer Kettenreaktion lässt sich wie folgt ausdrücken:

n(t) = n0·e(
ϑ-1)t/l

Mit:
n(t): Radioaktiver Zerfall

ϑ: Vermehrungsfaktor je Neutronengeneration mit ϑ ≧ 1
n0: Anzahl freier Neutronen zum Zeipunkt t = 0
l: Mittlere Zeit zwischen zwei Neutronengenerationen
t: Zeit

     

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Exponentialfunktion zu finden.
 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen

 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Potenzfunktionen - Ableitung - Graphen - Strecken - Streckfaktor - Steigung - Basis - Exponent - Untersuchen - Untersuchung - Grafik - Graph - Nullstelle - Beispiel -   Plotter - Zeichnen - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Schaubild - Ableiten - Parameter - Eigenschaften - Berechnen - Werte - Funktionswerte - Wertetabelle
MathProf 5.0 - Unterprogramm Parameter der Potenzfunktion



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph

 

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0