PhysProf - Wellen - Simulation - Sinuswelle - Wellenlänge
Fachthema: Wellen
PhysProf - Mechanik - Ein Programm zur Visualisierung physikalischer Sachverhalte mittels Simulationen und 2D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure und alle die sich für Physik interessieren.
Online-Hilfe für das Modul
zur Untersuchung und Darstellung der Einflüsse von Parametern
auf das Verhalten von Transversalwellen bei Ausführung einer Wellensimulation.
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Wellen
Modul Wellen
Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Mechanik I] - [Wellen] können Einflüsse von Parametern, welche bei der Entstehung von Transversalwellen von Bedeutung sind, untersucht werden.
Wellen - Abbildung 1
Wellen - Abbildung 2
Als mechanische Wellen werden Schwingungsvorgänge in Medien bezeichnet. Hierbei werden zum Schwingen angeregte Teilchen, welche miteinander in Beziehung stehen, zur Ausführung von Schwingungen angeregt. Als Wellenlänge λ wird der Abstand zweier benachbarter Wellenberge gleicher Schwingungsphase bezeichnet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) von Wellen wird beschrieben mit:
c = λ / T = λ · f
c: Phasengeschwindigkeit [m/s]
T: Schwingungsdauer [s]
f: Frequenz [1/s]
λ: Wellenlänge [m]
Entsprechend ihrer Schwingungsrichtung wird zwischen zwei Wellenarten unterschieden. Es sind dies:
- Transversalwellen (Querwellen): Wellen bei welchen die Richtung der Teilchengeschwindigkeit zur Richtung der Phasengeschwindigkeit senkrecht ist. Hierbei wechseln Wellenberge und Wellentäler.
- Longitudinalwellen (Längswellen): Wellen bei welchen die Richtung von Phasengeschwindigkeit und Schwingungsgeschwindigkeit gleich ist (in ihnen wechseln Verdichtungen und Verdünnungen).
Huygenssches Prinzip - Elementarwellen - Wellenausbreitung
Das Huygenssche Prinzip besagt, dass jeder Punkt der Wellenfront eines Mediums als Ausgangspunkt einer neuen Welle betrachtet werden kann. Die dabei entstehenden Elementarwellen kommen zur Überlagerung (Superposition).
Hierdurch entsteht eine Wellenfront der einzelnen Elementarwellen. Diese neue Wellenfront ist die Einhüllende der einzelnen Elementarwellen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der einzelnen Elemantarwellen entspricht der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ursprungswelle. Dieses Prinzip gilt für alle Wellenarten.
Transversalwellen - Formeln
Die Elongation (Ausbreitung) der in diesem Modul dargestellten Sinuswellen (Transversalwellen) kann mit Hilfe der Wellengleichung harmonischer Wellen, wie nachfolgend gezeigt, beschrieben werden.
bzw.
Hierbei sind:
y: Elongation an Ort x zur Zeit t [m]
ymax: Amplitude der Welle [m]
ω: Kreisfrequenz (ω = 2πf) [1/s] bzw. [Hz]
t: Zeit [s]
x: Abstand vom Wellenzentrum [m]
c: Phasengeschwindigkeit [m/s]
T: Schwingungsdauer [s]
λ: Wellenlänge [m]
Programmbedienung
Beim Start dieses Moduls wird die Ausbreitung gleichmäßiger Transversalwellen simuliert.
Hierbei stehen Ausbreitungs- und Schwingungsrichtung aufeinander senkrecht. Wird nach dem Aufruf dieses Unterprogramms die Schaltfläche Stop bedient, so können die Einflussgrößen Frequenz und Amplitude mit Hilfe der dafür zur Verfügung stehenden Rollbalken eingestellt werden. Durch ein erneutes Bedienen dieser Schaltfläche wird die Simulation wieder mit den zugewiesenen Parameterwerten gestartet. Die vertikale Skalierung präsentiert die momentane lotrechte Elongation z.B. eines Seils, welche notwendig ist, eine Welle mit diesen Ausmaßen zu erzeugen.
Stehende Wellen
Die Überlagerung von Wellen wird als Interferenz bezeichnet. Die Überlagerung zweier sich entgegengesetzt ausbreitender Wellen in einem Medium mit gleicher Frequenz, gleicher Amplitude sowie gleicher Wellenlänge wird als stehende Welle bezeichnet. Für die hinlaufende Welle gilt:
Für die entgegenlaufende Welle gilt:
Aus diesen beiden Zusammenhängen ergibt sich für die resultierende Welle:
oder:
Bei entsprechenden Werten für x ist die Amplitude 2y für andere 0. An diesen Stellen findet keine Bewegung der Wellen statt, sie befinden sich stets am selben Ort und besitzen einen Abstand von λ/2 zueinander. Stellen bei welchen die Amplitude Null ist werden als Knoten bezeichnet.
Überlagerung (Interferenz) von Wellen
Zu einer Überlagerung (Interferenz oder Wellenüberlagerung) von Wellen kommt es, wenn mehrere Wellen ein Medium durchlaufen. Die resultierende Elongation einer derartigen Superpositionierung kann wie folgt errechnet werden:
Δx: Gangunterschied der beiden Wellen
Δφ: Phasendifferenz der beiden Wellen
λ: Wellenlänge der beiden Wellen
Die Bedingungen für die kleinste Gesamtamplitude der beiden Wellen lauten:
bzw.
Die Bedingungen für die größte Gesamtamplitude der beiden Wellen lauten:
bzw.
mit k = 0, ±1, ±2 ...
Abbildung 1 - Interferenz zweier Sinuskurven, die in Phase liegen
Abbildung 2 - Interferenz zweier Sinuskurven gleicher Amplitude, deren Phasendifferenz 180° (π) beträgt
Abbildung 3 - Interferenz zweier Sinuskurven unterschiedlicher Amplitude, deren Phasendifferenz 180° (π) beträgt
Energiedichte - Energiestrom - Mechanische Welle
Als mechanische Welle wird eine sich ausbreitende mechanische Schwingung bezeichnet, die Energie durch ein Medium überträgt. Wellen transportieren Energie. Diese wird in Form von Schwingungsenergie von Teilchen zu Teilchen innerhalb eines Mediums übertragen.
Unter dem Begriff Energiestrom wird die innerhalb eines Zeitraums durch eine Fläche strömende Energiemenge (beliebiger Form) verstanden. Als Energiedichte wird der Energiegehalt der Welle bezeichnet, der sich auf das Volumen des Mediums bezieht.
Für die Energiedichte gilt:
w = ρv²max/2
w: Energiedichte [J/m³]
ρ: Dichte des Mediums [kg/m³]
vmax: Maximale Schwinggeschwindigkeit der Teilchen [m/s]
Für die Energie, die während eines Zeitraums durch eine Fläche A strömt gilt:
E = Actρv²max/2
E: Energie, die während eines Zeitraums durch eine Fläche A strömt
A: Fläche [m²]
ρ: Dichte des Mediums [kg/m³]
t: Zeit [s]
vmax: Maximale Schwinggeschwindigkeit der Teilchen [m/s]
Die Leistung P die hierbei erbracht wird, kann wie folgt berechnet werden:
P = Acw = ρAcv²max/2
P: Leistung [W]
c: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle [m/s]
w: Energiedichte [J/m³]
A: Fläche [m²]
ρ: Dichte des Mediums [kg/m³]
vmax: Maximale Schwinggeschwindigkeit der Teilchen [m/s]
Die Intensität des Energiestroms ist wie nachfolgend gezeigt definiert:
J = cw = ρcv²max/2
P: Intensität [W/m²]
c: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle [m/s]
w: Energiedichte [J/m³]
vmax: Maximale Schwinggeschwindigkeit der Teilchen [m/s]
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Mechanik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Elektrotechnik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Optik - Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik sowie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Welle zu finden.
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Schräger Wurf - Schiefer Wurf, Waagerechter Wurf - Horizontaler Wurf, Hookesches Gesetz, Mechanische Arbeit, Zweites Newtonsches Gesetz, Drittes Newtonsches Gesetz, Gedämpfte mechanische Schwingung, Bewegungen auf einer Kreisbahn, Hebelgesetz, Chaotisches Doppelpendel, Mathematisches Pendel, Freier Fall und Luftwiderstand, Harmonische Schwingungen, Molekularbewegungen, Brownsche Bewegungen, Potentielle und kinetische Energie, Ideale Strömung - Volumenstrom, Druck in Flüssigkeiten, Wellen - Simulationen, Zusammengesetzte Bewegung, Bewegungen in der Ebene, Carnotscher Kreisprozess, Adiabatische Zustandsänderung, Isotherme Zustandsänderung, Isobare Zustandsänderung, Isochore Zustandsänderung, Beugung am Spalt, Hohlspiegel, Sammellinse, Zerstreuungslinse, Wechselstromkreise, RLC-Kreis - RLC-Schaltung, RL-Kreis - RL-Schaltung, RC-Kreis - RC-Schaltung, Resonanz - Resonanzkurve, Widerstände im Wechselstromkreis, Schwingungen und deren Überlagerung, Plattenkondensator, Ladung und Entladung von Kondensatoren, Reihenschaltung und Parallelschaltung, Lissajou-Figuren, 1. Keplersches Gesetz, 2. Keplersches Gesetz, 3. Keplersches Gesetz
4-Takt-Ottomotor - Impulssatz - Gleichförmige und gleichförmig beschleunigte Bewegung - Bewegung und Geschwindigkeit - Geschwindigkeit und Beschleunigung - Druck in Flüssigkeiten - Ideale Strömung - Kinetische und potentielle Energie - Brownsche Bewegung - Molekularbewegung - Harmonische Schwingungen - Kreisbahnbewegung - Auftrieb - Geneigte Ebene - Freier Fall - Waagerechter und schiefer Wurf - Pendel - Chaos-Doppelpendel - Gedämpfte mechanische Schwingung - Rolle und Flaschenzug - Balkenwaage - Hebelgesetz - Zweites Newtonsches Gesetz - Drittes Newtonsches Gesetz - Mechanische Arbeit - Hookesches Gesetz
Unterprogramm Wellen
PhysProf 1.1 - Unterprogramm RLC-Kreis
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven in Parameterform
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Physik interaktiv
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Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Eine Übersicht aller in MathProf 5.0 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im MathProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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