MathProf - Simson-Gerade

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Simson-Gerade

 

Das Unterprogramm [Trigonometrie] - Simson-Gerade ermöglicht es, Untersuchungen bzgl. der Eigenschaften von Simson- und Steiner-Geraden durchzuführen.

 

MathProf - Simson-Gerade

 

Simson-Gerade:

Gegeben sei ein Punkt K auf dem Umkreis des Dreiecks ABC. Sind die Punkte P1, P2 und P3 die Fußpunkte der, von K auf die Dreieckseiten, bzw. deren Verlängerungen gefällten Lote, so liegen diese auf einer Geraden, der Simson-Geraden.

 

Die Simson-Gerade besitzt u.a. folgende Eigenschaften:
 

  • Die Simson-Gerade eines Punktes K (auf dem Umkreis) halbiert die Verbindungsstrecke zwischen Punkt K und dem Höhenschnittpunkt H des Dreiecks

  • Der Schnittwinkel zwischen den Simson-Geraden zweier Punkte K und K', auf der Peripherie des Umkreises des Dreiecks, ist halb so groß wie das Winkelmaß des Bogens K'K

  • Die Simson-Geraden zweier diametraler Punkte auf dem Umkreis sind senkrecht zueinander und schneiden sich auf dem Neun-Punkte-Kreis

Die beiden zuletzt aufgeführten Eigenschaften werden in diesem Unterprogramm nicht behandelt.

 

Steiner-Gerade:

Gegeben sei ein Punkt K auf dem Umkreis des Dreiecks ABC. Wird K an den drei (verlängerten) Seiten des Dreiecks gespiegelt, so entstehen drei neue Punkte S1, S2 und S3, die auf einer Geraden, der Steiner-Geraden, liegen. Diese verläuft durch den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC und liegt parallel zur Simson-Geraden.

 

In diesem Unterprogramm können Sie Analysen mit diesen beiden Geraden durchführen. Ist das Kontrollkästchen Simson-Gerade aktiviert, so wird die Simson-Gerade dargestellt. Wird das Kontrollkästchen Steiner-Gerade aktiviert, so wird die Steiner-Gerade ausgegeben.

 

Darstellung

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

  1. Legen Sie durch Bedienung des Rollbalkens Pos. Punkt K die Position des Punktes K auf der Peripherie des Umkreises des Dreiecks ABC fest.
     

  2. Zur exakten Positionierung der Eckpunkte des Dreiecks klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  3. Möchten Sie die Positionen von Anfasspunkten des Dreiecks mit der Maus verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     

  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Steiner-Gerade
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt K u. Lote: Ein-/Ausblendung des Peripheriepunktes K, sowie der Lote auf die Dreiecksseiten
  • Umkreis: Ein-/Ausblendung des Umkreises des Dreiecks ABC

  • Höhen u. Verbind.: Ein-/Ausblendung der Höhen des Dreiecks ABC sowie der Verbindungsstrecke zwischen Punkt K und dem Höhenschnittpunkt H des Dreiecks
     

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte: Darstellung der Schnittpunkte und des Punktes K ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung des Dreiecks ABC ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln

Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte

Allgemeines Dreieck – Interaktiv

 

Beispiel

 

Lassen Sie sich ein Dreieck darstellen, welches durch die Eckpunkte A (-5 / 8), B (-8 / -4) und C (5 / -5) beschrieben wird und positionieren Sie den Rollbalken Pos. Punkt K auf 70°, so gibt das Programm (nach Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen) folgende Werte aus:

 

Innenwinkel des Dreiecks ABC:

 

Winkel BAC: 51,605°

Winkel ABC: 80,362°

Winkel ACB: 48,033°

 

Koordinatenwerte des Punkts K:

 

K (1,741 / 8,467)

 

Umkreis des Dreiecks ABC:

 

Mittelpunkt: MP (-1,104 / 0,651)

Radius: ru = 8,318

 

Drei Punkte auf der Simson-Gerade:

 

Punkt P1 (-4,494 / 10,026)

Punkt P2 (-2,72 / 5,036)

Punkt P3 (0,73 / -4,672)

 

Gleichung der Simson-Gerade:

 

Y = -2,813·X-2,616

 

Zudem:

 

Punkt G (-2,026 / 3,083)

Punkt H (-5,792 / -2,302)

Strecke GH = Strecke GK = 6,571
 

Hieraus kann entnommen werden: Die Simson-Gerade des Punktes K halbiert die Verbindungsstrecke zwischen Punkt K und dem Höhenschnittpunkt H des Dreiecks.

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Steiner-Gerade:

 

Steiner-Gerade:

 

Y = -2,813·X-18,559

 

Punkte auf der Steiner-Gerade:

 

Punkt S1 (-10,728 / 11,585)

Punkt S2 (-7,181 / 1,604)

Punkt S3 (-0,28 / -18,599)
 

Module zum Themenbereich Trigonometrie


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