MathProf - Funktionen - Parameter - Analyse

Science for all - Maths for you

 

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Funktionsparameteranalyse
(Funktionen - Parameter - Analyse)

 

Mit dem Modul [Analysis] - [Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse] - Funktionsparameteranalyse kann das Verhalten von mathematischen Funktionen in Abhängigkeit von bis zu drei reellwertigen Parametern untersucht werden.

 

MathProf - Parameter - Analyxse


Das Programm ermöglicht in diesem Modul eine Funktionsparameteranalyse mit Funktionen nachfolgend aufgeführter Arten:

  • Funktionen in expliziter Form y = f(x,u,v,p)
  • Funktionen in Parameterform, beschrieben durch x = f(k,u,v,p) und y = g(k,u,v,p)
  • Funktionen in Polarform r = f(w,u,v,p) bzw. r = f(φ,u,v,p)

Hierbei besteht die Möglichkeit, den Einfluss von bis zu drei verschiedenen Parametern auf den Kurvenverlauf einer Funktion zu untersuchen. Diese Parameter tragen die Bezeichnungen U, V und P. Um eine derartige Untersuchung zu ermöglichen, muss eine Funktion daher stets mindestens eines dieser Zeichen enthalten. Die Parameterwertebereiche sowie die Schrittweite einzelner Parameter können vor der Ausgabe der grafischen Darstellung eingestellt werden.

Funktionsparameteranalyse mit Funktionen in expliziter Form

 

MathProf - Funktion - Analyse

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um den Einfluss verschiedener Parameter auf den Kurvenverlauf einer Funktion in expliziter Form zu untersuchen:
 

  1. Geben Sie den Funktionsterm der Form f(x,u,v,p) in das Eingabefeld mit der Bezeichnung y = f(x,u,v,p) = ein. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Soll eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse.
     
  3. Betätigen Sie den Schalter Darstellen.
     
  4. Wird eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt, so klicken Sie mit der linken Maustaste in einen rechteckig umrahmten Mausfangbereich der markierten Untersuchungsstelle und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts oder bedienen Sie die Schaltfläche Punkt, geben den entsprechenden Abszissen-Koordinatenwert ein und bestätigen mit OK.
     
  5. Gehen Sie wie nachfolgend unter Bedienformular zur Parameterwertänderung beschrieben vor, um eine Funktionsparameteranalyse mit Hilfe des zur Verfügung stehenden Bedienformulars durchzuführen.

Funktionsparameteranalyse mit Funktionen in Parameterform


Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
x = f(t)  y = g(t) x = f(k)  y = g(k)

 

MathProf - Kurven - Analyse

 

Führen Sie Folgendes aus, um den Einfluss verschiedener Parameter auf den Kurvenverlauf von Funktionen in Parameterform zu untersuchen:
 

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k,u,v,p) = und y = g(k,u,v,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Parameterwertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen die Kurve darzustellen ist (voreingestellt: -π k π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das dafür relevante Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Bestimmen Sie durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  4. Soll eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse. Eine Koordinatenwertanalyse wird in diesem Fall nur ausgeführt, wenn wenigstens ein Funktionsterm das Zeichen U, V oder P enthält, ansonsten wird das Kontrollkästchen vor Ausgabe der grafischen Darstellung deaktiviert.
     
  5. Betätigen Sie den Schalter Darstellen.
     
  6. Bei Durchführung einer Koordinatenwertanalyse positionieren Sie den Rollbalken Parameter K. Der Funktionsparameter K durchläuft den Wertebereich, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.
     
  7. Gehen Sie wie nachfolgend unter Bedienformular zur Parameterwertänderung beschrieben vor, um eine Funktionsparameteranalyse mit Hilfe des zur Verfügung stehenden Bedienformulars durchzuführen.

Funktionsparameteranalyse mit Funktionen in Polarform

 

Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate φ. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(φ) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel φ verwendet werden.

 

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
r = f(φ) r = f(w)

 

MathProf - Funktion - Parameter

 

Gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor, um den Einfluss verschiedener Parameter auf den Kurvenverlauf einer Funktion in Polarform zu untersuchen:
 

  1. Geben Sie den Funktionsterm der Form f(w,u,v,p) in das Feld mit der Bezeichnung r = f(w,u,v,p) = ein. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Wertebereich für Winkel w (Winkel w von w1 = und bis w2 =) fest, über welchen die Funktion darzustellen ist (voreingestellt: -π w π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Bestimmen Sie durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  4. Soll eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse. Eine Koordinatenwertanalyse wird in diesem Fall nur ausgeführt, wenn wenigstens ein Funktionsterm das Zeichen U, V oder P enthält, ansonsten wird das Kontrollkästchen vor Ausgabe der grafischen Darstellung deaktiviert.
     
  5. Betätigen Sie den Schalter Darstellen.
     
  6. Bei Durchführung einer Koordinatenwertanalyse bedienen Sie den Rollbalken Winkelpos. W. Der Winkel W durchläuft den Wertebereich, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.
     
  7. Gehen Sie wie nachfolgend unter Bedienformular zur Parameterwertänderung beschrieben vor, um eine Funktionsparameteranalyse mit Hilfe des zur Verfügung stehenden Bedienformulars durchzuführen.

Hinweis:

Um sich Funktionen in Polarform in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.

 

Bedienformular zur Parameterwertänderung


Nach Aufruf einer Darstellung in diesem Unterprogramm wird ein dem nachfolgend gezeigten, ähnliches Bedienformular zur Verfügung gestellt. Die Anzahl vorhandener Rollbalken auf diesem Formular richtet sich nach der Anzahl verschiedener, bei der Funktionsdeklaration verwendeter Parameter.

MathProf - Funktionsparameter - Darstellung

Mit Hilfe dieses Formulars haben Sie u.a. die Möglichkeit die Wertebereiche der benutzten Parameter zu verändern. Führen Sie hierzu Folgendes aus:

  1. Definieren Sie den zu durchlaufenden Wertebereich der benutzten Parameter (U, V oder P), indem Sie die Schaltfläche Parameter bedienen. Hierauf wird ein Formular geöffnet auf welchem Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder den Startwert, den Endwert sowie die Schrittweite des entsprechenden Parameters festlegen.

    Bei Verwendung mehrerer Parameter aktivieren Sie zunächst einen der zur Auswahl stehenden Kontrollschalter unter Parameterauswahl. Voreingestellt sind für alle Parameter die Startwerte -5, die Endwerte 5 sowie eine Schrittweite von 0,1.
     
  2. Verwenden Sie hiernach (den) die sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken, um gewünschte Parameterwerte einzustellen.
     
  3. Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform
Kurvenscharen

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Beispiele


Beispiel 1 - Parameteranalyse mit Funktionen in expliziter Form:

Es sind Untersuchungen bzgl. der Einflüsse der Parameter u, v und p auf den Verlauf einer Kurve, welche in expliziter Form durch den Term y = f(x,u,v,p) = 2·(sin(p·x/2)+sin(cos(3·u+x)-v)) beschrieben werden kann, durchzuführen.

 

Vorgehensweise:

 

Definieren Sie den Funktionsterm 2*(SIN(P*X/2)+SIN(COS(3*U+X)-V)) im Eingabefeld y = f(x,u,v,p) =. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen und werden die Rollbalken wie folgt positioniert:

 

Parameter P: -2

Parameter U: -3

Parameter V: 4

 

so stellt das Programm die Kurve der nachfolgend aufgeführten Funktion dar:

 

y = f(x) = 2*(SIN((-2)*X/2)+SIN(COS(3*(-3)+X)-4))

 

bzw.

 

y = f(x) = 2*(SIN(-X)+SIN(COS(-9+X)-4))
 

Beispiel 2 - Parameteranalyse mit Funktionen in Parameterform:

Über die Einflüsse der Parameter u, v und p auf den Verlauf einer Kurve, welche in Parameterform durch die Terme x = f(k,u,v,p) = 7·sin(u·k)-2·p·sin(v·k) und y = g(k,u,v,p) = 7·cos(u-v·k), über einen Wertebereich π k π beschrieben wird, ist eine Analyse durchzuführen.

 

Vorgehensweise:

 

Definieren Sie die Funktionsterme 7*SIN(U*K)-2*P*SIN(V*K) und 7*COS(U-V*K) in den Eingabefeldern x = f(k,u,v,p) = und y = g(k,u,v,p) =. Legen Sie den Funktionsparameterwertebereich -π k π fest (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist), klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen und werden die Rollbalken wie folgt positioniert:

 

Parameter P: -5

Parameter U: -3

Parameter V: -4

 

so gibt das Programm die Kurve aus, welche durch nachfolgend aufgeführte Funktionen beschrieben wird:

 

x = f(k) = 7*SIN((-3)*K)-2*P*SIN((-4)*K)

y = f(k) = 7*COS((-3)-(-5)*K)

 

bzw.

 

x = f(k) = 7*SIN(-3*K)-2*P*SIN(-4*K)

y = f(k) = 7*COS(-3+5*K)
 

Beispiel 3 - Parameteranalyse mit Funktionen in Polarform:

Die Einflüsse der Parameter u und p auf den Verlauf einer Kurve, welche in Polarform durch den Term r = f(φ,u,p) = 2·u·sin(φ+u·cos(φ-p)) über einen Wertebereich -π φ π beschrieben wird, sind zu untersuchen.

 

Vorgehensweise:

 

Definieren Sie den Funktionsterm 2*U*SIN(W+U*COS(W-P)) im Eingabefeld r = f(w,u,v,p) = und legen Sie den Winkelwertebereich -π w π fest (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist). Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen und werden die Rollbalken wie folgt positioniert:

 

Parameter P: 3

Parameter U: -4

 

so stellt das Programm die Kurve der nachfolgend aufgeführten Funktion dar:

 

r = f(w) = 2*(-4)*SIN(W+(-4)*COS(W-3))

 

bzw.

 

r = f(φ) = -8·sin(φ-4·cos(φ-3))
 

Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen


Zur Inhaltsseite