MathProf - Geraden - Punkte - Abstand Punkt-Gerade - Lotgerade

MathProf - Mathematik-Software - Gerade | Punkt | Nullstelle | Abstand | Gleichung

Fachthema: Geraden und Punkte

MathProf - Geometrie - Software zum Lösen unterschiedlichster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich hierfür interessieren. Zur effektiven Benutzung derer wird ein bereits erlangtes Grundwissen zum entsprechenden Themengebiet vorausgesetzt.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gerade | Punkt | Nullstelle | Abstand | Gleichung

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Untersuchungen mit
Geraden und Punkten.

In diesem Teilprogramm wird unter anderem die Nullstelle einer definierten Gerade berechnet und deren Abstand zum Koordinatenursprung ausgegeben. Es dient unter anderem der grafischen Veranschaulichung und Untersuchung der Lagebeziehung Punkt-Gerade.

Auch wird die Darstellung und Analyse paralleler Geraden (parallel liegender Geraden) ermöglicht. Zudem kommt das Lotfußpunktverfahren zum Einsatz, um den Abstand eines frei festlegbaren Punktes von der Gerade ermitteln zu lassen (Distanzrechnung). Des Weiteren besteht die Möglichkeit der Bildung einer Lotrechten auf die definierte Gerade durch einen extern dieser liegenden Punkt.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer praktizierten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Parallele Geraden - Lotfußpunkt - Lotgerade - Lineare Funktionen - Steigungswinkel einer Geraden - Steigung einer Gerade - Abstand eines Punkts von einer Gerade - Nullstellen einer Gerade - Parallele Gerade - Lagebeziehung Punkt Gerade - Funktionsgleichung einer Geraden - Geradengleichungen - Untersuchen - Untersuchung - Normale einer Gerade - Entfernung zwischen Gerade und Punkt - Normalabstand Punkt Gerade - Lotrechte auf eine Gerade

 
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Gerade - Punkt - Interaktiv

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Gerade - Punkt - Interaktiv können Untersuchungen mit Punkten und Geraden (linearen Funktionen) interaktiv durchgeführt werden.

 

MathProf - Punkt - Parallele Gerade - Abstand - Lotfußpunkt - Nullstelle - Gleichung - Gerade - Parallele - Lagebeziehung Punkt - Gerade - Lineare Funktionen - Steigung - Geradengleichung - Lotgerade

 

In diesem Modul können folgende Untersuchungen durchgeführt werden:

  • Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden (Abstand Punkt-Gerade)
  • Ermittlung der Gleichung der Lotgeraden durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ermittlung des entsprechenden Lotfußpunkts
  • Ermittlung der Gleichung der Parallelen zu einer Geraden durch einen externen Punkt

Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden ermittelt und ausgegeben:

  • Funktionsgleichungen der Geraden
  • Nullstellen der Geraden
  • Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse
  • Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung

Geradengleichungen (Funktionsgleichungen) können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Steigungs-Form der Gerade
    y = m·x+b
     
  • Zwei-Punkte-Form der Gerade
    Gerade - Gleichung  - 1
     
  • Hessesche Normalenform der Gerade
    x·cos(β)+y·sin(β) = p
     
  • Achsenabschnittsform der Gerade
    Gerade - Gleichung  - 2
     
  • Allgemeine Form der Gerade
    a·x + b·y + c = 0

Mathematische Zusammenhänge


Allgemein gilt für die Berechnung des Abstands eines Punktes P(x;y) von einer Geraden der Form Ax + By + C = 0 folgender Zusammenhang:

Gerade - Gleichung  - 3

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden und Punkten durchzuführen:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Art der Gerade g festzulegen, mit welcher Untersuchungen durchzuführen sind (zur Auswahl stehen: Steigungsform, 2-Punkte-Form, Hessesche Normalenform, Achsenabschnittsform, Allgemeine Form).
     
  2. Stellen Sie hierauf mit den zur Verfügung stehenden Schiebereglern (falls vorhanden) auf dem Bedienformular die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden ein (Gerade in Steigungsform: Steigung m ; Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel β und Koeffizient p ; Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b ; Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c).
     
  3. Sind zur Definition einer Geraden Punktkoordinaten erforderlich, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Möchten Sie die Lage eines Geradenpunktes mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  4. Legen Sie durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters fest, welche Untersuchungsart Sie durchführen möchten. Um den Abstand eines Punkte von einer Geraden ermitteln zu lassen, wählen Sie den Kontrollschalter Abstand Punkt - Gerade. Soll die Gleichung einer Lotgeraden zu einer Geraden durch einen Punkt ausgegeben werden, aktivieren Sie den Kontrollschalter Lot Punkt - Gerade. Die Parallele durch einen Punkt zu einer Geraden wird ermittelt, wenn Sie den Kontrollschalter Parallele Punkt - Gerade wählen.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Abstand - Punkt - Gerade - Parallele - Lotstrecke

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Lotfußpunkt: Darstellung des Lotfußpunkts ein-/ausschalten
  • Lotstrecke: Darstellung der Lotstrecke ein-/ausschalten
  • Punkte: Darstellung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade - Punkt

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Geradensteigung

 

Beispiele


Beispiel 1 - Abstand Punkt-Gerade:

Wird der Kontrollschalter Abstand Punkt - Gerade aktiviert und wird aus der Auswahlbox der Eintrag 2-Punkte-Form gewählt, so ermittelt das Programm nach Festlegung der Koordinatenwerte der Geradenpunkte A (1 / 2) und B (3 / 3), sowie der Definition des Punktes P (-3 / 5), nach einem Klick auf die Schaltfläche Punkte, folgende Ergebnisse:

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 4,472

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 0,5·X+1,5

Gleichung der Gerade in allgemeiner Form: 0,5·X - 1·Y + 1,5 = 0

Steigungswinkel der Gerade: 26,565°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 1,342

Nullstelle der Gerade: N (-3 / 0)

 

Lotfußpunkt: L (-1 / 1)
 

Beispiel 2 - Lot Punkt-Gerade:

Eine Gerade g besitze die Steigung m = 2 und verlaufe durch Punkt A (6 / 4). Es gilt, die Lotgerade zu dieser Gerade zu bestimmen, welche durch Punkt P (7 / -2) verläuft.

Vorgehensweise und Lösung:

Es wird der Kontrollschalter Lot Punkt - Gerade aktiviert und aus der Auswahlbox der Eintrag Steigungsform gewählt. Nach einer Positionierung des Schiebereglers m, zur Definition der Steigung der Gerade g, auf den Wert m = 2, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte und der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte A und B, gibt das Programm aus:

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 3,578

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 2·X-8

Gleichung der Gerade in allgemeiner Form: 2·X - 1·Y - 8 = 0

Steigungswinkel der Gerade: 63,435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,578

Nullstelle der Gerade: N (4 / 0)

 

Lotfußpunkt: L (3,8 / -0,4)

 

Die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P lautet: Y = -0,5·X + 1,5
 

Beispiel 3 - Parallele Punkt-Gerade:

Eine Gerade wird durch die Gleichung 10·x - 4·y - 3 = 0 beschrieben. Es gilt, die Parallele zu dieser Geraden zu bestimmen, die durch den Punkt P (8 / 4) verläuft.

Vorgehensweise und Lösung:

Hierzu wird der Kontrollschalter Parallele Punkt - Gerade aktiviert und aus der Auswahlbox der Eintrag Allgemeine Form gewählt. Nach einer Positionierung der Schieberegler a, b und c, zur Definition der Gerade g, auf die Werte a = 10, b = -4 und c = -3, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte und der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts P, gibt das Programm aus:

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 5,664

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

Gleichung der Gerade: 10·x - 4·y - 3 = 0

Steigungswinkel der Gerade: 68,199°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,279

Nullstelle der Gerade: N (0,3 / 0)

 

Lotfußpunkt: L (2,741 / 6,103)

 

Die Gleichung der Parallelen durch Punkt P zur Geraden 10·x - 4·y - 3 = 0

lautet: Y = 2,5·X - 16
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Gerade - Punkt - Abstand - Lineare Funktionen - Gleichung - Funktionsgleichung - Funktionsgleichungen - Steigung - Beispiel - Geradengleichung - Lotgerade - Parallele Geraden
MathProf - Gerade - Punkt - Geradengleichung - Winkel - Steigung - Funktion - Lotgerade - Nullstelle - Abstand - Beispiel - Lineare Funktionen
MathProf - Geraden - Punkt - Lotfußpunkt - Nullstelle - Mathematik - Lotgerade - Abstand - Lagebeziehung - Steigung - Beispiel - Lineare Funktionen - Gerade - Geradengleichung
MathProf - Geraden - Punkt - Lagebeziehung - Darstellen - Steigung - Mathematik - Lagebeziehung - Gleichung - Geradengleichungen - Beispiel - Lineare Funktionen - Gerade - Geradengleichung - Lotgerade - Parallele Geraden
MathProf - Gerade - Punkt - Abstand - Darstellen - Gleichung - Geradengleichung - Nullstelle - Mathematik - Lotgerade - Steigung - Beispiel - Lineare Funktionen
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Lineare Funktion
Wikipedia - Achsenabschnittsform
Wikipedia - Punktsteigungsform
Wikipedia - Zweipunkte-Form
Wikipedia - Hessesche Normalenform
 

Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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