MathProf - Geraden - Punkte - Abstand Punkt-Gerade - Lotgerade - Lotfußpunkt - Parallele Gerade - Lagebeziehung

MathProf - Mathematik-Software - Gerade | Punkt | Nullstelle | Abstand | Gleichung

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gerade | Punkt | Nullstelle | Abstand | Gleichung

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Untersuchungen mit
Geraden und Punkten.

In diesem Teilprogramm wird unter anderem die Nullstelle einer definierten Gerade berechnet und deren Abstand zum Koordinatenursprung ausgegeben. Es dient unter anderem der Veranschaulichung und Untersuchung der Lagebeziehung Punkt-Gerade.

Auch wird die Darstellung und Analyse paralleler Geraden (parallel liegender Geraden) ermöglicht. Zudem kommt das Lotfußpunktverfahren zum Einsatz um den Abstand eines frei festlegbaren Punktes von der Gerade ermitteln zu lassen.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer praktizierten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Parallele Geraden - Lotfußpunkt - Lotgerade - Lineare Funktionen - Steigungswinkel einer Geraden - Steigung einer Gerade - Abstand eines Punkts von einer Gerade - Nullstellen einer Gerade - Funktionsgleichung einer Geraden - Geradengleichungen - Normale einer Gerade

 

Gerade - Punkt - Interaktiv

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Gerade - Punkt - Interaktiv können Untersuchungen mit Punkten und Geraden (linearen Funktionen) interaktiv durchgeführt werden.

 

MathProf - Punkt - Parallele Gerade - Abstand - Lotfußpunkt - Nullstelle - Gleichung - Gerade - Parallele - Lagebeziehung Punkt - Gerade - Lineare Funktionen - Steigung - Geradengleichung - Lotgerade

 

In diesem Modul können folgende Untersuchungen durchgeführt werden:

  • Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden (Abstand Punkt-Gerade)
  • Ermittlung der Gleichung der Lotgeraden durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ermittlung des entsprechenden Lotfußpunkts
  • Ermittlung der Gleichung der Parallelen zu einer Geraden durch einen externen Punkt

Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden ermittelt und ausgegeben:

  • Funktionsgleichungen der Geraden
  • Nullstellen der Geraden
  • Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse
  • Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung

Geradengleichungen (Funktionsgleichungen) können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Steigungs-Form der Gerade
    y = m·x+b
     
  • Zwei-Punkte-Form der Gerade
    Gerade - Gleichung  - 1
     
  • Hessesche Normalenform der Gerade
    x·cos(β)+y·sin(β) = p
     
  • Achsenabschnittsform der Gerade
    Gerade - Gleichung  - 2
     
  • Allgemeine Form der Gerade
    a·x + b·y + c = 0

Mathematische Zusammenhänge


Allgemein gilt für die Berechnung des Abstands eines Punktes P(x;y) von einer Geraden der Form Ax + By + C = 0 folgender Zusammenhang:

Gerade - Gleichung  - 3

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden und Punkten durchzuführen:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Art der Gerade g festzulegen, mit welcher Untersuchungen durchzuführen sind (zur Auswahl stehen: Steigungsform, 2-Punkte-Form, Hessesche Normalenform, Achsenabschnittsform, Allgemeine Form).
     
  2. Stellen Sie hierauf mit den zur Verfügung stehenden Schiebereglern (falls vorhanden) auf dem Bedienformular die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden ein (Gerade in Steigungsform: Steigung m ; Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel β und Koeffizient p ; Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b ; Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c).
     
  3. Sind zur Definition einer Geraden Punktkoordinaten erforderlich, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Möchten Sie die Lage eines Geradenpunktes mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  4. Legen Sie durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters fest, welche Untersuchungsart Sie durchführen möchten. Um den Abstand eines Punkte von einer Geraden ermitteln zu lassen, wählen Sie den Kontrollschalter Abstand Punkt - Gerade. Soll die Gleichung einer Lotgeraden zu einer Geraden durch einen Punkt ausgegeben werden, aktivieren Sie den Kontrollschalter Lot Punkt - Gerade. Die Parallele durch einen Punkt zu einer Geraden wird ermittelt, wenn Sie den Kontrollschalter Parallele Punkt - Gerade wählen.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Abstand - Punkt - Gerade - Parallele - Lotstrecke

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Lotfußpunkt: Darstellung des Lotfußpunkts ein-/ausschalten
  • Lotstrecke: Darstellung der Lotstrecke ein-/ausschalten
  • Punkte: Darstellung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade - Punkt

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Geradensteigung

 

Beispiele


Beispiel 1 - Abstand Punkt-Gerade:

Wird der Kontrollschalter Abstand Punkt - Gerade aktiviert und wird aus der Auswahlbox der Eintrag 2-Punkte-Form gewählt, so ermittelt das Programm nach Festlegung der Koordinatenwerte der Geradenpunkte A (1 / 2) und B (3 / 3), sowie der Definition des Punktes P (-3 / 5), nach einem Klick auf die Schaltfläche Punkte, folgende Ergebnisse:

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 4,472

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 0,5·X+1,5

Gleichung der Gerade in allgemeiner Form: 0,5·X - 1·Y + 1,5 = 0

Steigungswinkel der Gerade: 26,565°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 1,342

Nullstelle der Gerade: N (-3 / 0)

 

Lotfußpunkt: L (-1 / 1)
 

Beispiel 2 - Lot Punkt-Gerade:

Eine Gerade g besitze die Steigung m = 2 und verlaufe durch Punkt A (6 / 4). Es gilt, die Lotgerade zu dieser Gerade zu bestimmen, welche durch Punkt P (7 / -2) verläuft.

Vorgehensweise und Lösung:

Es wird der Kontrollschalter Lot Punkt - Gerade aktiviert und aus der Auswahlbox der Eintrag Steigungsform gewählt. Nach einer Positionierung des Schiebereglers m, zur Definition der Steigung der Gerade g, auf den Wert m = 2, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte und der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte A und B, gibt das Programm aus:

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 3,578

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 2·X-8

Gleichung der Gerade in allgemeiner Form: 2·X - 1·Y - 8 = 0

Steigungswinkel der Gerade: 63,435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,578

Nullstelle der Gerade: N (4 / 0)

 

Lotfußpunkt: L (3,8 / -0,4)

 

Die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P lautet: Y = -0,5·X + 1,5
 

Beispiel 3 - Parallele Punkt-Gerade:

Eine Gerade wird durch die Gleichung 10·x - 4·y - 3 = 0 beschrieben. Es gilt, die Parallele zu dieser Geraden zu bestimmen, die durch den Punkt P (8 / 4) verläuft.

Vorgehensweise und Lösung:

Hierzu wird der Kontrollschalter Parallele Punkt - Gerade aktiviert und aus der Auswahlbox der Eintrag Allgemeine Form gewählt. Nach einer Positionierung der Schieberegler a, b und c, zur Definition der Gerade g, auf die Werte a = 10, b = -4 und c = -3, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte und der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts P, gibt das Programm aus:

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 5,664

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

Gleichung der Gerade: 10·x - 4·y - 3 = 0

Steigungswinkel der Gerade: 68,199°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,279

Nullstelle der Gerade: N (0,3 / 0)

 

Lotfußpunkt: L (2,741 / 6,103)

 

Die Gleichung der Parallelen durch Punkt P zur Geraden 10·x - 4·y - 3 = 0

lautet: Y = 2,5·X - 16
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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