MathProf - Venn Diagramme - Mengenalgebra - Euler Diagramm

Modul Venn-Diagramm

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Mengen] - Venn-Diagramm ermöglicht die Durchführung von Mengenoperationen, sowie eine grafische Veranschaulichung von Mengenbeziehungen (Darstellung von Teilmengen) anhand eines Venn-Diagramms. Grafische Darstellungen erlauben das Interpretieren (die Interpretation) entsprechender Sachverhalte und Zusammenhänge zu diesem Fachthema.

 

 

Mengendiagramme werden dazu verwendet, um Mengenbeziehungen zu verdeutlichen. Zu ihnen zählen Venn- und Euler-Diagramme.

Venn-Diagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Zusammenhänge der Mengenlehre. Sie werden werden in der Mengenlehre sowie der Wahrscheinlichkeitsrechnung dazu eingesetzt, um bestehende Relationen zwischen zwei oder mehreren Mengen bzw. Ereignissen grafisch zu veranschaulichen.
 
Ein Venn Diagramm setzt sich aus einem Rechteck, welches den eigentlichen Ereignisraum verkörpert, sowie Kreisen, die die einzelnen Mengen darstellen, zusammen. Einzelne Elemente (durch Punkte dargestellt) die sich innerhalb eines Kreises befinden befinden sich in den Mengen, welche durch Kreise dargestellt werden. Aussagen über die Mächtigkeit einzelner Mengen können mit einem Venn-Diagramm nicht gemacht werden, da bei der Darstellung im Allgemeinen stets gleich große Kreise zum Einsatz kommen. Theoretisch lassen sich beliebig viele Mengen in einem Diagramm dieser Art darstellen.

Venn Diagramme tragen auch die Bezeichnung logische Diagramme. Sie werden dazu eingesetzt, Sachverhalte grafisch darzustellen, indem hervorgehoben wird, worin Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede bestehen. Diagramme dieser Art werden oftmals bei Berichten oder Präsentationen eingesetzt.

Euler-Diagramme sind den Venn-Diagrammen sehr ähnlich, wobei mit Euler-Diagrammen lediglich die tatsächlichen Überschneidungen präsentiert werden. Mittels einem Venn-Diagramm werden dagegen auch bei leeren Mengen mögliche Überdeckungen kenntlich gemacht.
 
Dieses Modul stellt die drei Mengen A, B und C einer Gesamtmenge mittels eines Venn-Diagramms dar, mit welchen folgende Operationen durchgeführt werden können:
 

• Bildung des Durchschnitts von Mengen

• Bildung der Vereinigung von Mengen

• Bildung der Differenz von Mengen

• Bildung der symmetrischen Differenz von Mengen

• Bildung der Komplementmenge bzgl. der Grundgesamtheit

Diagramme dieser Art dienen auch der grafischen Darstellung der bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung geltenden Regeln und Zusammenhänge. In diesem Unterprogramm wird die Visualisierung derartiger Gegebenheiten mit zwei oder drei Mengen ermöglicht. Logische Gesetzmäßigkeiten zwischen Mengen werden hierbei in Form von Kreisen dargestellt.

Beispiel einer Durchschnittsmenge (Schnittmenge):

Gegeben seien die beiden Mengen

A={1,2,3,b,c}

und

B={3,5,7,9,b,d}



Dann ist A ∩ B = {3,b} die Schnittmenge von A und B.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 
Im Weiteren sind grundlegende und wichtige Operationen der Mengenalgebra aufgeführt:
 

Durchschnittsmenge (Schnittmenge):
 
Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) umfasst alle Elemente,
die sowohl in Menge A, wie auch in Menge B enthalten sind.

A ∪ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Vereinigungsmenge:
 
Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in Menge A, oder in Menge B, oder in beiden Mengen enthalten sind.
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}

 

Differenzmenge:
 
Die Differenzmenge umfasst alle Elemente, die zu einer
Menge A gehören, jedoch nicht zu einer Menge B.

A \ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Symmetrische Differenz:
 

Menge aller Elemente, die entweder in Menge A oder in Menge B, aber nicht in beiden Mengen enthalten sind.

A Δ B = (A \ B) ∈ (B \ A)

 

Komplementärmenge:
 

Die Komplementärmenge zu A umfasst alle Elemente, die nicht zu einer Menge A gehören.

¬A = {x | x ∉ A}

 

 

 

 

Identitätsgesetz:

 

A ∪ A = A

A ∩ A = A

 

Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv. Für sie gilt:

 

 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

 

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

C (A ∪ B) = C A ∪ C B

C (A ∩ B) = C A ∩ C B

 

Für die Differenzmengenbildung gilt:

 

(A \ B) \ C  = A \ (B ∪ C)

A \ (B \ C)  = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)

(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

A \ (B ∩ C)  = (A \ B) ∪ (A \ C)

A \ (B ∪ C)  = (A \ B) ∩ (A \ C)

 

Für die symmetrische Differenz gilt:

 

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

A Δ B = B Δ A

(A Δ B) ∩ C = (A ∩ C) Δ (B ∩ C)

A Δ ∅ = A

A Δ A = ∅

 

 

Nachfolgend wird auf die Bedienung dieses Unterprogramms eingegangen.
 
Aufgrund der eingeschränkten Möglichkeiten bzgl. Tastatureingaben müssen zur Definition von Mengenoperationen in diesem Modul folgende Zeichen verwendet werden:

 

Mengenoperation	Üblich	In MathProf
Durchschnitt von Mengen	∩	+
Symmetrische Differenz von Mengen	Δ	#
Vereinigung von Mengen	∪	%
Differenz von Mengen	\	\
Komplementmenge	¬	~

 

Für Mengenangaben müssen stets die Zeichen A, B und C verwendet werden.

 

Geben Sie die entsprechende Zeichenfolge in die Felder mit den Bezeichnungen Operation ein und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Hierauf wird das Venn-Diagramm angezeigt.

 

Wünschen Sie keine farbliche Unterscheidung der einzelnen Mengen, so aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Einfarbig. Sämtliche Operationen können mit einer, zwei, oder drei Mengen durchgeführt werden.

 

Hinweise:

Bleibt ein Eingabefeld leer, so wird die entsprechende Mengendarstellung ignoriert. Bei der Definition der Mengenoperation dürfen keine Leerzeichen verwendet werden. Der eingegebene Term wird unter Verwendung der üblichen Operationszeichen im entsprechenden Diagramm ausgegeben.

 

 

Mengenelemente

 

 

Es gilt, mit drei Mengen A, B und C folgende Mengenoperationen durchführen zu lassen und die Ergebnisse mit Hilfe des Venn-Diagramms (Euler-Diagramms) zu vergleichen:

 

Operation 1: AΔ(B\C)∩(A∪C)

Operation 2: (¬AΔB)\(¬C\A)

 

Vorgehensweise:

 

Nach der Festlegung der Zeichenfolge A#(B\C)+(A%C) im linksseitig angeordneten Eingabefeld für Mengendarstellung 1 und der Eingabe der Zeichenfolge (~A#B)\(~C\A) in das rechtsseitig angeordnete Feld für Mengendarstellung 2, stellt das Programm die Resultate nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen, wie nachfolgend gezeigt, dar.

 

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5
 

Grafische Darstellung - Beispiel 6

     

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Mengendiagramm sowie unter Wikipedia - Mengenlehre zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Mengenelemente

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PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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