MathProf - Venn Diagramme - Mengenalgebra - Euler Diagramm

Modul Venn-Diagramm

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Mengen] - Venn-Diagramm ermöglicht die Durchführung von Mengenoperationen, sowie eine grafische Veranschaulichung von Mengenbeziehungen (Darstellung von Teilmengen) anhand eines Venn-Diagramms. Grafische Darstellungen erlauben das Interpretieren (die Interpretation) entsprechender Sachverhalte und Zusammenhänge zu diesem Fachthema.

 

 

Venn-Diagramme (Euler-Diagramme) dienen der grafischen Veranschaulichung der Zusammenhänge der Mengenlehre. Dieses Modul stellt die drei Mengen A, B und C einer Gesamtmenge zur Verfügung, mit welchen folgende Operationen durchgeführt werden können:
 

• Bildung des Durchschnitts von Mengen

• Bildung der Vereinigung von Mengen

• Bildung der Differenz von Mengen

• Bildung der symmetrischen Differenz von Mengen

• Bildung der Komplementmenge bzgl. der Grundgesamtheit

Diagramme dieser Art dienen auch der grafischen Darstellung der bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung geltenden Regeln und Zusammenhänge. Das Programm ermöglicht die Visualisierung derartiger Gegebenheiten mit zwei oder drei Mengen. Logische Gesetzmäßigkeiten zwischen Mengen werden hierbei in Form von Kreisen dargestellt.
 
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 
Nachfolgend sind grundlegende und wichtige Operationen der Mengenalgebra aufgeführt:
 

Durchschnittsmenge:
 
Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) umfasst alle Elemente,
die sowohl in Menge A, wie auch in Menge B enthalten sind.

A ∪ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Vereinigungsmenge:
 
Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in Menge A, oder in Menge B, oder in beiden Mengen enthalten sind.
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}

 

Differenzmenge:
 
Die Differenzmenge umfasst alle Elemente, die zu einer
Menge A gehören, jedoch nicht zu einer Menge B.

A \ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Symmetrische Differenz:
 

Menge aller Elemente, die entweder in Menge A oder in Menge B, aber nicht in beiden Mengen enthalten sind.

A Δ B = (A \ B) ∈ (B \ A)

 

Komplementärmenge:
 

Die Komplementärmenge zu A umfasst alle Elemente, die nicht zu einer Menge A gehören.

¬A = {x | x ∉ A}

 

 

 

 

Identitätsgesetz:

 

A ∪ A = A

A ∩ A = A

 

Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv. Für sie gilt:

 

 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

 

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

C (A ∪ B) = C A ∪ C B

C (A ∩ B) = C A ∩ C B

 

Für die Differenzmengenbildung gilt:

 

(A \ B) \ C  = A \ (B ∪ C)

A \ (B \ C)  = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)

(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

A \ (B ∩ C)  = (A \ B) ∪ (A \ C)

A \ (B ∪ C)  = (A \ B) ∩ (A \ C)

 

Für die symmetrische Differenz gilt:

 

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

A Δ B = B Δ A

(A Δ B) ∩ C = (A ∩ C) Δ (B ∩ C)

A Δ ∅ = A

A Δ A = ∅

 

 

Aufgrund der eingeschränkten Möglichkeiten bzgl. Tastatureingaben müssen zur Definition von Mengenoperationen in diesem Modul folgende Zeichen verwendet werden:

 

Mengenoperation	Üblich	In MathProf
Durchschnitt von Mengen	∩	+
Symmetrische Differenz von Mengen	Δ	#
Vereinigung von Mengen	∪	%
Differenz von Mengen	\	\
Komplementmenge	¬	~

 

Für Mengenangaben müssen stets die Zeichen A, B und C verwendet werden.

 

Geben Sie die entsprechende Zeichenfolge in die Felder mit den Bezeichnungen Operation ein und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Hierauf wird das Venn-Diagramm angezeigt.

 

Wünschen Sie keine farbliche Unterscheidung der einzelnen Mengen, so aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Einfarbig. Sämtliche Operationen können mit einer, zwei, oder drei Mengen durchgeführt werden.

 

Hinweise:

Bleibt ein Eingabefeld leer, so wird die entsprechende Mengendarstellung ignoriert. Bei der Definition der Mengenoperation dürfen keine Leerzeichen verwendet werden. Der eingegebene Term wird unter Verwendung der üblichen Operationszeichen im entsprechenden Diagramm ausgegeben.

 

 

Mengenelemente

 

 

Es gilt, mit drei Mengen A, B und C folgende Mengenoperationen durchführen zu lassen und die Ergebnisse mit Hilfe des Venn-Diagramms (Euler-Diagramms) zu vergleichen:

 

Operation 1: AΔ(B\C)∩(A∪C)

Operation 2: (¬AΔB)\(¬C\A)

 

Vorgehensweise:

 

Nach der Festlegung der Zeichenfolge A#(B\C)+(A%C) im linksseitig angeordneten Eingabefeld für Mengendarstellung 1 und der Eingabe der Zeichenfolge (~A#B)\(~C\A) in das rechtsseitig angeordnete Feld für Mengendarstellung 2, stellt das Programm die Resultate nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen, wie nachfolgend gezeigt, dar.

 

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

    

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Mengendiagramm sowie unter Wikipedia - Mengenlehre zu finden.

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Mengenelemente

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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