MathProf - Venn-Diagramme - Mengenalgebra - Mengen - Operationen - Rechner

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Mengen] - Venn-Diagramm ermöglicht die Durchführung von Mengenoperationen, sowie eine grafische Veranschaulichung von Mengenbeziehungen (Darstellung von Teilmengen) anhand eines Venn-Diagramms.

 

 

Venn-Diagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Zusammenhänge der Mengenlehre. Dieses Modul stellt die drei Mengen A, B und C einer Gesamtmenge zur Verfügung, mit welchen folgende Operationen durchgeführt werden können:
 

• Bildung des Durchschnitts von Mengen

• Bildung der Vereinigung von Mengen

• Bildung der Differenz von Mengen

• Bildung der symmetrischen Differenz von Mengen

• Bildung der Komplementmenge bzgl. der Grundgesamtheit

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Durchschnittsmenge:
Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) umfasst alle Elemente,
die sowohl in Menge A, wie auch in Menge B enthalten sind.

A ∪ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Vereinigungsmenge:
Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in Menge A, oder in Menge B, oder in beiden Mengen enthalten sind.
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}

 

Differenzmenge:
Die Differenzmenge umfasst alle Elemente, die zu einer
Menge A gehören, jedoch nicht zu einer Menge B.

A \ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Symmetrische Differenz:

Menge aller Elemente, die entweder in Menge A oder in Menge B, aber nicht in beiden Mengen enthalten sind.

A Δ B = (A \ B) ∈ (B \ A)

 

Komplementärmenge:

Die Komplementärmenge zu A umfasst alle Elemente, die nicht zu einer Menge A gehören.

¬A = {x | x ∉ A}

 

 

 

 

Identitätsgesetz:

 

A ∪ A = A

A ∩ A = A

 

Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv. Für sie gilt:

 

 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

 

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

C (A ∪ B) = C A ∪ C B

C (A ∩ B) = C A ∩ C B

 

Für die Differenzmengenbildung gilt:

 

(A \ B) \ C  = A \ (B ∪ C)

A \ (B \ C)  = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)

(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

A \ (B ∩ C)  = (A \ B) ∪ (A \ C)

A \ (B ∪ C)  = (A \ B) ∩ (A \ C)

 

Für die symmetrische Differenz gilt:

 

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

A Δ B = B Δ A

(A Δ B) ∩ C = (A ∩ C) Δ (B ∩ C)

A Δ ∅ = A

A Δ A = ∅

 

 

Aufgrund der eingeschränkten Möglichkeiten bzgl. Tastatureingaben müssen zur Definition von Mengenoperationen folgende Zeichen verwendet werden:

 

Mengenoperation	Üblich	In MathProf
Durchschnitt von Mengen	∩	+
Symmetrische Differenz von Mengen	Δ	#
Vereinigung von Mengen	∪	%
Differenz von Mengen	\	\
Komplementmenge	¬	~

 

Für Mengenangaben müssen stets die Zeichen A, B und C verwendet werden.

 

Geben Sie die entsprechende Zeichenfolge in die Felder mit den Bezeichnungen Operation ein und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Hierauf wird das Venn-Diagramm angezeigt.

 

Wünschen Sie keine farbliche Unterscheidung der einzelnen Mengen, so aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Einfarbig. Sämtliche Operationen können mit einer, zwei, oder drei Mengen durchgeführt werden.

 

Hinweise:

Bleibt ein Eingabefeld leer, so wird die entsprechende Mengendarstellung ignoriert. Bei der Definition der Mengenoperation dürfen keine Leerzeichen verwendet werden. Der eingegebene Term wird unter Verwendung der üblichen Operationszeichen im entsprechenden Diagramm ausgegeben.

 

 

Mengenelemente

 

 

Es gilt, mit drei Mengen A, B und C folgende Mengenoperationen durchführen zu lassen und die Ergebnisse zu vergleichen:

 

Operation 1: AΔ(B\C)∩(A∪C)

Operation 2: (¬AΔB)\(¬C\A)

 

Vorgehensweise:

 

Nach der Festlegung der Zeichenfolge A#(B\C)+(A%C) im linksseitig angeordneten Eingabefeld für Mengendarstellung 1 und der Eingabe der Zeichenfolge (~A#B)\(~C\A) in das rechtsseitig angeordnete Feld für Mengendarstellung 2, stellt das Programm die Resultate nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen, wie nachfolgend gezeigt, dar.

 

 

 

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Mengendiagramm sowie unter Wikipedia - Mengenlehre zu finden.

 

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