MathProf - Flächenkontur - Komplex - Linienschar - Isolinien - Niveaufläche

 

Modul Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II

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Im Unterprogramm [Komplex] - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II besteht die Möglichkeit, sich den Verlauf von Höhenlinien und Flächenkonturen der Realteile, Imaginärteile oder Beträge komplexer Funktionen des Typs w = f(z) zu veranschaulichen.

 

 
Das Modul ermöglicht es, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von reellwertigen Funktionsparametern zu untersuchen. Hierbei wird die zweidimensionale Darstellung der Konturen von Flächen ausgegeben, welche beschrieben werden durch
 

• Realteile komplexer Funktionen der Form w = f(z,p)
• Imaginärteile komplexer Funktionen der Form w = f(z,p)
• Beträge komplexer Funktionen der Form w = f(z,p)

Die Höhenlinien einer komplexwertigen Funktion w = f(z) bezeichnen diejenigen Mengen, deren Elemente alle auf komplexe Zahlen mit demselben Imaginärteil oder mit demselben Realteil, bzw. demselben Betrag abgebildet werden.
 
Das Programm ermöglicht die Darstellung von
 

• Höhenlinien bzw. Flächenkonturen bzgl. derer Imaginärteile Im f(z,p)
• Höhenlinien bzw. Flächenkonturen bzgl. derer Realteile Re f(z,p)
• Höhenlinien bzw. Flächenkonturen bzgl. derer Beträge |f(z,p)|

Der Verlauf derartiger Schnittkurven wird ins Zweidimensionale projiziert und grafisch ausgegeben. Hierbei besteht sowohl die Möglichkeit, sich lediglich Höhenlinien grafisch ausgeben zu lassen, wie auch die Füllung der Flächenkonturverläufe zwischen den Höhenlinien zu veranlassen.
 
Dieses Teilprogramm kennzeichnet die Höhenbereiche für Im f(z), Re f(z) bzw.|f(z)| farblich. Die hierfür verwendeten Farben werden im linken Teil des Darstellungsbereichs unter Angabe der zugehörigen Höhenwerte der Schnittebenen angezeigt.
     
Um sich die Darstellung von Höhenlinien und Flächenkonturen der Realteile, Imaginärteile oder Beträge komplexer Funktionen grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie folgendermaßen verfahren:
 

1. Definieren Sie die, den geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen gemäß formulierte, Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung w = f(z,p) =.
    
2. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Realteil Re f(z), Imaginärteil Im f(z) bzw. Betrag |f(z)|, ob ein Flächenkontur- oder Höhenlinienverlauf für den Realteil, den Imaginärteil oder den Betrag der komplexen Funktion ausgegeben werden soll.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender reeller Zahlen den Wertebereich (Höhenbereich) fest, über welchen Kontur- oder Höhenlinienverläufe ausgegeben werden sollen.
   
   Zur Untersuchung von Verläufen des Realteils sind dies die Felder mit den Bezeichnungen von Re f(z) = und bis Re f(z) =, zur Untersuchung von Verläufen des Imaginärteils die Felder mit den Bezeichnungen von Im f(z) = und bis Im f(z) = und zur Untersuchung der Verläufe des Betrags die Felder mit den Bezeichnungen von |f(z)| = und bis |f(z)| =.
   
   Durch die Eingabe eines Werts in das Feld Schrittw. legen Sie die zu verwendende Schrittweite fest. Beachten Sie bei der Bemessung des Bereichs und der Schrittweite, dass eine gleichzeitige Darstellung von mehr als 20 Höhenlinien bzw. Konturverläufen nicht möglich ist.
    
4. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender reeller Zahlenwerte in die Felder Von Re Z = und bis Re Z = sowie Von Im Z = und bis Im Z = den rechteckigen Flächenbereich über welchen die Flächenkontur bzw. der Höhenlinienverlauf ausgegeben werden soll.
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
6. Wählen Sie auf dem Bedienformular, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Flächenkontur bzw. Höhenlinien aus, ob Flächenkontur- oder Höhenlinienverläufe dargestellt werden sollen.
    
7. Legen Sie mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox durch die Wahl des entsprechenden Eintrags Realteil Re f(z), Imaginärteil Im f(z) bzw. Betrag |f(z)| fest, ob Höhenlinien bzw. Konturverläufe für den Realteil Re f(z), den Imaginärteil Im f(z) oder den Betrag |f(z)| der komplexen Funktionen dargestellt werden sollen.
    
8. Legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Auflösung die zu verwendende Darstellungsauflösung fest.
    
9. Um den auf dem Hauptformular des Unterprogramms voreingestellten Darstellungsbereich zu verändern, bestehen folgende Möglichkeiten:
   
   Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Verändern Sie die Position eines Fangpunktes mit der Maus. Klicken Sie hierbei mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Fangbereich und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Taste.
    
10. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des reellwertigen Parameters P zu untersuchen.
    
    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
• Bereichsmarkierung: Markierung der festgelegten Bereichsbegrenzung ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Komplexe Funktionen (3D)
Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I
   
Die nachfolgend gezeigte Abbildung verschafft ein Bild über die Zusammenhänge, wenn eine durch den Realteil Re f(z) = z² einer komplexen Funktion beschriebene Fläche aufeinanderfolgend von, parallel zur (Re z,Im z)-Ebene liegenden, Ebenen Re f(z) = c (konstant) geschnitten wird und die verschiedenen entstehenden Verläufe gemeinsam, zweidimensional in einem Konturdiagramm ausgegeben werden.
 

 
Abb. 1: Zweidimensional ausgegebener Höhenkonturverlauf bei Durchführung mehrerer Schnitte mit Ebenen von Re f(z1) = -3 bis Re f(z2) = 3.
 

 
Abb. 2: Schnittkurvenverlauf 1 der durch Re f(z) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene Re f(z) = c1, mit Re f(z1) £ c1 £ Re f(z2) (auf Boden projiziert).
 

 
Abb. 3: Schnittkurvenverlauf 2 der durch Re f(z) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene Re f(z) = c2, mit Re f(z1) £ c2 £ Re f(z2) (auf Boden projiziert).
 

 
Abb. 4: Schnittkurvenverlauf 3 der durch Re f(z) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene Re f(z) = c3, mit Re f(z1) £ c3 £ Re f(z2) (auf Boden projiziert).
   
Um sich die Höhenlinien oder Flächenkonturen eines Gebildes, welches durch den Realteil einer komplexen Funktion w = f(z) = 2·sin(i+cos(z/2)-5) beschrieben wird, über einen Bereich von Re f(z) = -3 bis Re f(z) = 3 darstellen zu lassen, definieren Sie im Eingabefeld w = f(z,p) = den Term 2*SIN(I+COS(Z/2)-5).
 
Aktivieren Sie hierauf den Kontrollschalter Realteil, belassen Sie die Werte im Formularbereich Voreinstellung - Untersuchungsbereich auf den Vorgabeeinstellungen -3 £ Re z £ 3, -3 £ Im z £ 3 und geben Sie in die Felder Von Re f(z) = sowie bis Re f(z) = die Zahlen -3 und 3 ein.
 
Legen Sie im Feld Schrittw. eine Schrittweite von 0,5 fest und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Die ausgegebene Darstellung entspricht der Projektion der Abbildungen horizontaler Schnitte durch die räumlich angeordnete Fläche bei den festgelegten Höhenabschnitten von Re f(z) = -3 bis Re f(z) = 3 auf die zweidimensionale (Im z, Re z)-Ebene.
 
Um den Höhenlinien- bzw. Flächenkonturverlauf des Imaginärteils Im f(z) = 2·sin(i+cos(z/2)-5) der komplexen Funktion zu untersuchen, aktivieren Sie vor Ausgabe der grafischen Darstellung den Kontrollschalter Imaginärteil.
 
Ist der Höhenlinien- bzw. Flächenkonturverlauf des Betrags |f(z)| = 2·sin(i+cos(z/2)-5) der komplexen Funktion zu analysieren, so aktivieren Sie zuvor den Kontrollschalter Betrag.
 
Diese Einstellungen können auch durch die Selektion des entsprechenden Eintrags aus der auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Auswahlbox durchgeführt werden.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Isolinie
Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion

  

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

 

Startfenster des Unterprogramms Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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