MathProf - Datenanalyse - Datenauswertung - Messdaten - Auswertung

      

Modul Statistische Messwertanalyse

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Stochastik] - Statistische Messwertanalyse lässt sich eine statistische Auswertung von Messwerten durchführen. Grafische Darstellungen sowie numerische Berechnungen erlauben das Interpretieren (die Interpretation) entsprechender Sachverhalte und Zusammenhänge zu diesem Fachthema.

 

Das Programm ermittelt aus den zur Verfügung gestellten Messwerten:

• Kleinster und größter Messwert (Minimum, Maximum)
• Median (Zentralwert)
• Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
• Standardabweichung (quadratische Streuung, durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Erwartungswert)
• Mittlerer Fehler des Mittelwerts (Zentralwerts)
• Geometrisches Mittel (Geometrischer Mittelwert)
• Quadratisches Mittel (Quadratischer Mittelwert)
• Harmonisches Mittel (Harmonischer Mittelwert)
• Variationskoeffizient
• Stichprobenvarianz
• Stichproben-Standardabweichung
• Standardfehler
• Streubreite
• Mittlere Abweichung (Mittlere Differenz)
• Mittelwert (Zentralwert) ohne größten Ausreißer (Maximum)
• Mittelwert (Zentralwert) ohne kleinsten Ausreißer (Minimum)
• 50% - Intervall ] µ-2s ; µ+2s [  (Sigma-Intervall)
• 75% - Intervall ] µ-2s ; µ+2s [  (Sigma-Intervall)

 

 
Nachfolgend beschrieben sind wesentliche statistische Kennwerte (Lageparameter, Streuungsparameter), welche bei der Auswertung von Messwerten Verwendung finden.

Die Grundlage einer statistischen Erhebung (Datenerhebung oder Datenerfassung) ist eine Menge von Objekten, von welchen ein oder mehrere Merkmale (Eigenschaften) untersucht werden. Dies kann durch Umfragen, Beobachtungen, Messungen oder Experimente vollzogen werden. Deren Auswertung erfolgt mit Hilfe stastistischer Verfahren.

Lageparameter bzw. Lagemaße (arithmetisches Mittel, Median, Mittelwert, Zentralwert) erteilen Auskunft darüber, innerhalb welchen Bereichs sich die auszuwertenden Daten befinden.

Streuungsparameter bzw. Steuungsmaße (Spannweite, mittlere Abweichung, Varianz, Standardabweichung) geben an, in welcherm Maß sich die entsprechenden Daten vom Lageparameter unterscheiden. Die Spannweite entspricht der Distanz zwischen dem kleinsten und dem größten Wert eines Datensatzes.
 
Hinweis:
Nicht alle der nachfolgend aufgeführten Kennwerte werden in diesem Unterprogramm ermittelt, da sie zur Durchführung einer Messwertanalyse dieser Art in der Regel nicht von großer Relevanz sind. Eine Übersicht über alle in diesem Modul ermittelbaren Kennwerte ist zuvor aufgeführt.

 

Mittelwert (Zentralwert bzw. ungewichteter Mittelwert, linearer Mittelwert oder arithmetisches Mittel):

 

Das arithmetische Mittel (arithmetischer Mittelwert) ist der Quotient aus der Summe aller beobachteten Werte x_i sowie der Anzahl der Beobachtungswerte n.
 

Getrimmtes arithmetisches Mittel (getrimmter Mittelwert):
 
Dessen Ermittlung erfolgt wie beim Mittelwert (Zentralwert). Jedoch werden hierbei die k kleinsten sowie die k größten nicht zur Auswertung mit einbezogen. Es gilt: k << n/2.

Gewogenes arithmetisches Mittel (gewichtetes arithmetisches Mittel):
 
 Das gewogene arithmetische Mittel errechnet sich, wenn absolute Häufigkeiten H₁ bis H_m einer Ausprägung gegeben sind, wie folgt:



Ungewogenes arithmetisches Mittel:

Das ungewogene arithmetische Mittel errechnet sich, wenn Beobachtungswerte x₁ bis x_m einer Ausprägung gegeben sind, wie folgt:


 
Gleitendes Mittel - Gleitender Durchschnittswert:

Die Bildung des gleitenden Durchschnitts (gleitenden Mittelwerts bzw. Prognosewerts), ist eine Methode, mit welcher aus einer Anzahl von Werten aus der Vergangenheit und dem aktuellen Gegenwartswert x_t ein Mittelwert M_T gebildet wird. Dessen Berechnung kann wie folgt durchgeführt werden.



Median:

 
falls n ungerade:

falls n gerade:

Als Median (Zentralwert) wird der Wert bezeichnet, welcher sich exakt in der Mitte einer Datenverteilung befindet. Die Hälfte der Werte erfasster Messdaten liegt unterhalb dessen, die andere Hälfte derer ist größer.
 

Varianz s²:
 

 
Die Varianz ist Maß für die Größe der Abweichung von einem Mittelwert. Sie beschreibt die Streuung der Daten um einen Mittelwert.
 
Standardabweichung:
 

Die Standardabweichung beschreibt die durchschnittliche Abweichung aller gemessenen Werte von einem Mittelwert. Sie ist ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihren Mittelwert.
 

Mittlerer Fehler des Mittelwerts  (Standardfehler des Mittelwerts):
 

Der mittlere Fehler des Mittelwerts (Standardfehler des Mittelwerts) erteilt Auskunft darüber, welche Abweichung der gesuchte Stichprobenmittelwert im Vergleich zum tatsächlichen Parameterwert besitzt und beurteilt somit die Stärke der Variabilität des arithmetischen Mittelwerts.
 

Harmonisches Mittel (Harmonischer Mittelwert):
 

Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen, welcher dazu verwendet wird, um den Mittelwert von Verhältniszahlen (den Quotient zweier Größen) zu berechnen.
 

Quadratisches Mittel  (Quadratischer Mittelwert):
 

Der quadratische Mittelwert (quadratisches Mittel) ist der Mittelwert, welcher als Quadratwurzel des Quotienten aus der Summe der Quadrate der beachteten Zahlen sowie ihrer Anzahl berechnet wird.
 

Geometrisches Mittel (Geometrischer Mittelwert):
 

Der geometrische Mittelwert ist der Mittelwert, welcher mit Hilfe der n-ten Wurzel aus dem Produkt der n betrachteten positiven Zahlen berechnet wird. Es ist stets kleiner oder gleich dem Wert des arithmetischen Mittels.
 

Variationskoeffizient:

(Verhältnis der Standardabweichung zum arithmetischen Mittel)
 

Der Variationskoeffizient ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik. Er ist definiert als Quotient aus Standardabweichung und dem arithmetischem Mittelwert.
 

Stichprobenvarianz (empirische Varianz):
 

Die Stichprobenvarianz ist eine statistische Kennzahl für die Streubreite von Werten einer Stichprobe. In der deskriptiven Statistik die Kennzahl einer Stichprobe. Sie beschreibt die durchschnittliche quadratische Abweichung gemessener Beobachtungswerte von derem Mittelwert.
 

Standardfehler:
 

Der Standardfehler ist ein Maß für die mittlere Abweichung (dem Durchschnitt) des aus einer Stichprobe berechneten Mittelwerts vom tatsächlichen Mittelwert einer Grundgesamtheit.
 

Betrag der mittleren Abweichung vom Mittelwert  (Mittlere absolute Abweichung):
 

Die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik welches Auskunft darüber gibt, in welchem Maße eine Stichprobe um das arithmetische Mittel streut.
 

Streubreite:

Die Streubreite entspricht der Differenz zwischen Maximum und Minimum
 

Mittelwert ohne Ausreißer (max):

Mittelwert x ohne größten (maximalen) Ausreißer.
 

Mittelwert ohne Ausreißer (min):

Mittelwert x ohne kleinsten (minimalen) Ausreißer.
 

50%- bzw. 75%-Intervall (Sigma-Intervall):

 

Die Tschebyschow-Ungleichung gibt an, dass bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ mindestens 50% bzw. 75% der Werte im Intervall ] µ-2s ; µ+2s [ liegen.

Sigma-Regeln:

Jedem Radius der Umgebung eines Erwartungswertes μ lässt sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für diese Umgebung zuordnen. Der Radius dieser Sigma-Umgebungen wird als Vielfaches der Standardabweichung σ angegeben. Die σ-Umgebung des Erwartungswerts ist das Intervall [μ−σ ≤ X ≤ μ+σ]. Die 2σ-Umgebung dessen ist das Intervall [μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ] und die 3σ-Umgebung entspricht dem Bereich [μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ].

Die Werte für den Radius der Sigma-Umgebung für diese drei Bereiche sind folgende:

P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3%
P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%
P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7%

Sie werden als Sigma-Regeln bezeichnet. So besagt die erste dieser Regeln beispielsweise, dass sich ca. 68,3% der Merkmalswerte in einem Bereich um den Mittwert befinden.
 
Gerichtete Abweichung:

Unter einer gerichteten Abweichung wird eine Messabweichung verstanden, welche mit einem Vorzeichen versehen ist.

Absoluter Fehler:

Der absolute Fehler Δx beschreibt die Differenz zwischen dem gemessenen Istwert der Messgröße x (Messwert) und dem wahren Wert der gemessenen Größe x_w.

Δx = x - x_w

Der absolute Fehler hat die Dimension der Messgröße.

Relativer Fehler:

Da der wahre Wert einer Messgröße in keinem Fall in exakter Form bekannt ist, wird der Fehler (sofern der Fehler "genügend klein" ist) auf die Messgröße x bezogen.

Relativer Fehler = Absoluter Fehler / Wahrer Wert = Δx/x_w

Relativer Fehler = Δx/x

Prozentualer Fehler bzw. relativer Fehler in % = Δx/x · 100

 
Mit:
n: Umfang der Stichprobe

x_i: Einzelwerte
T: Jahreszahl
t: Zeitpunkt

Standardmessfehler:

Der Standardmessfehler ist diejenige statistische Kenngröße, die das Ausmaß des Messfehlers quantifiziert. Er gibt an, wie stark die Messfehler um die wahren Werte der Messgröße streuen.



S_E: Standardmessfehler
S_x: Standardabweichung des Tests
r_xx: Reliabilität der Testmethode
 
 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um die numerische Auswertung von Messwerten durchführen zu lassen:

1. Geben Sie einen Messwert in das dafür vorgesehene Feld ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle zur Auswertung erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
    
2. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die ermittelten Auswertungsergebnisse in der Tabelle Ergebnisse ausgegeben.

Hinweise:

Ein geometrisches Mittel existiert lediglich dann, wenn das Produkt aller definierter Messwerte > 0 ist. Ein harmonisches Mittel kann nur ermittelt werden, wenn keiner der Messwerte den Wert 0 besitzt.

 

Ein Histogramm ist die grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung von Messwerten, anhand eines Balkendiagramms. Das Programm ermöglicht die Ausgabe eines solchen, nach Durchführung einer Messwertanalyse.

Um eine grafische Analyse der Messergebnisse durchzuführen, sollten Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

1. Führen Sie zuvor Beschriebenes (Numerische Auswertung) aus, um Messwerte aufzunehmen.
    
2. Soll die Klassenbreite des Histogramms vor dem Aufruf einer grafischen Darstellung festgelegt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Klassenbreite fix und geben den gewünschten Wert zur Festlegung der Klassenbreite in das hierfür zur Verfügung stehende Feld ein. Möchten Sie die Klassenbreite dessen jedoch bei Ausgabe der grafischen Darstellung einstellen, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Klassenbreite variabel.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Wurde Kontrollschalter Klassenbreite variabel aktiviert, so positionieren Sie den Rollbalken Klassenbreite, um die gewünschte Klassenbreite einzustellen.
    
5. Um sich die Dichtekurve einer Gauß'schen Normalverteilung darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Normalverteilung.
   
   Klicken Sie das Kontrollkästchen Mittelwertabw.an, so werden neben dem Mittelwert, zusätzlich die Differenz μ-σ und die Summe μ+σ der Standardabweichung bzgl. des Mittelwerts markiert.
    
6. Wurde eine variable Klassenbreite gewählt, so besteht die Möglichkeit die Klassenbreite interaktiv durch eine Simulation verändern zu lassen. Um Zusammenhänge derart zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

  

 
Ein Stamm-Blatt-Diagramm verfügt über zwei Spalten. In dessen linker Spalte befinden sich die entsprechenden Äquivalenzklassen in der Form von Stämmen, auf der rechten Seite werden die in Form von Blättern dargestellten Merkmale eingetragen. Die Bildung relevanter Klassen erfolgt in der Regel entsprechend dem Dezimalsystem. Unterteilungen anderer Art sind ebenso möglich. Die zur Erstellung des Diagramms verwendete Einheit wird beim Diagramm ausgegeben.

Beispiel:

Es liege eine Messreihe vor, deren geordnete Daten nachfolgend aufgeführt sind:

0,2    0,5    1,5    1,5    1,6    1,7    2,2    3,2    3,3    3,4    3,7    4,4    4,8    4,9

Erfolgt eine Stamm-Einteilung derer nach natürlichen Zahlen, so ergibt sich folgendes Stamm-Blatt-Diagramm:

4 | 4 8 9
3 | 2 3 4 7
2 | 2
1 | 5 5 6 7
0 | 2 5

Einheit: 0,1

Als Einheit wird in diesem Fall die Zahl 0,1 festgelegt.
 
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Möchten Sie eingegebene Messwerte speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Speichern durchgeführt werden. Um mit bereits gespeicherten Daten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Öffnen. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!

 

Es besteht auch die Möglichkeit die auszuwertenden Daten in einer Excel-Tabelle zu definieren und hiernach zu importieren. Die Zahlenwerte sind hierbei nach folgendem Schema in der Excel-Tabelle festzulegen: In Spalte A der Excel-Tabelle legen Sie die Messwerte fest. Beginnen Sie mit der Eingabe im obersten Feld der Spalte.

 

Speichern Sie diese Tabelle hierauf in einer Datei ab, wählen Sie im Programm den Menüeintrag Datei - Excel-Daten importieren und öffnen Sie die entsprechende Datei. Eingelesen werden alle Werte bis zum ersten leeren Feld der Excel-Tabellen-Spalte.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

• Balken beschriften: Beschriftung des Balkendiagramms ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Es gilt, nachfolgend aufgeführte Messwertergebnisse statistisch auswerten zu lassen:

 

1,234

1,756

1,141

1,244

3,030

1,822

1,514

1,318

1,111

0,400

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach Festlegung dieser und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, erhalten Sie folgende Analyseergebnisse:

 

Anzahl der Messwerte: 10

Minimum: 0,4
Maximum: 3,03
Mittelwert: 1,457
Median (Zentralwert): 1,281
Varianz: 0,461272
Standardabweichung: 0,67917
Mittlerer Fehler des Mittelwerts: 0,214772
Geometrisches Mittel: 1,311521
Harmonisches Mittel: 1,14177
Quadratisches Mittel: 1,593108
Variationskoeffizient: 0,31659

Stichprobenvarianz: 0,415144
Stichproben-Standardabweichung: 0,644317
Standardfehler: 0,067917
Streubreite: 2,63
Mittlere Abweichung: 0,4588
Mittelwert ohne Ausreißer (max): 1,282222
Mittelwert ohne Ausreißer (min): 1,574444
50% - Intervall: ] 0,0987 ; 2,8153 [
75% - Intervall: ] 0,4965 ; 2,4175 [

 

Wird das Kontrollkästchen Normalverteilung bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge aktiviert, so gibt das Programm für die ermittelte Gleichung der Normalverteilung zudem aus:

 

Y = 0,587·e^{(-(x-1,457)²/0,923))}
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Median
Wikipedia - Varianz

Wikipedia - Geometrisches Mittel
Wikipedia - Quadratisches Mittel
Wikipedia - Harmonisches Mittel
 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Statistische Messwertanalyse
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Regressionsanalyse

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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