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Modul Statistische Messwertanalyse

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Stochastik] - Statistische Messwertanalyse lässt sich eine statistische Auswertung von Messwerten durchführen. Grafische Darstellungen sowie numerische Berechnungen erlauben das Interpretieren (die Interpretation) entsprechender Sachverhalte und Zusammenhänge zu diesem Fachthema.

 

Das Programm ermittelt aus den zur Verfügung gestellten Messwerten:

• Kleinster und größter Messwert (Minimum, Maximum)
• Median (Zentralwert)
• Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
• Standardabweichung (quadratische Streuung, durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Erwartungswert)
• Mittlerer Fehler des Mittelwerts (Zentralwerts)
• Geometrisches Mittel (Geometrischer Mittelwert)
• Quadratisches Mittel (Quadratischer Mittelwert)
• Harmonisches Mittel (Harmonischer Mittelwert)
• Variationskoeffizient
• Stichprobenvarianz
• Stichproben-Standardabweichung
• Standardfehler
• Streubreite
• Mittlere Abweichung
• Mittelwert (Zentralwert) ohne größten Ausreißer (Maximum)
• Mittelwert (Zentralwert) ohne kleinsten Ausreißer (Minimum)
• 50% - Intervall ] µ-2s ; µ+2s [  (Sigma-Intervall)
• 75% - Intervall ] µ-2s ; µ+2s [  (Sigma-Intervall)

 

 

Mittelwert (Zentralwert bzw. ungewichteter Mittelwert):

 

 

Getrimmtes arithmetisches Mittel (getrimmter Mittelwert):
 
Dessen Ermittlung erfolgt wie beim Mittelwert (Zentralwert). Jedoch werden hierbei die k kleinsten sowie die k größten nicht zur Auswertung mit einbezogen. Es gilt: k << n/2.

Gewogenes arithmetisches Mittel (gewichtetes arithmetisches Mittel):
 
 Das gewogene arithmetische Mittel errechnet sich, wenn absolute Häufigkeiten H₁ bis H_m einer Ausprägung gegeben sind, wie folgt:



Ungewogenes arithmetisches Mittel:

Das ungewogene arithmetische Mittel errechnet sich, wenn Beobachtungswerte x₁ bis x_m einer Ausprägung gegeben sind, wie folgt:


 
Gleitendes Mittel - Gleitender Durchschnittswert:

Die Bildung des gleitenden Durchschnitts (gleitenden Mittelwerts bzw. Prognosewerts), ist eine Methode, mit welcher aus einer Anzahl von Werten aus der Vergangenheit und dem aktuellen Gegenwartswert x_t ein Mittelwert M_T gebildet wird. Dessen Berechnung kann wie folgt durchgeführt werden.



Median:

 
falls n ungerade:

falls n gerade:

 

Varianz s²:
 

 

Standardabweichung:
 

 

Mittlerer Fehler des Mittelwerts:
 

 

Harmonisches Mittel:
 

 

Quadratisches Mittel:
 

 

Geometrisches Mittel:
 

 

Variationskoeffizient:

(Verhältnis der Standardabweichung zum arithmetischen Mittel)
 

 

Stichprobenvarianz:
 

 

Stichproben-Standardabweichung:
 

 

Standardfehler:
 

 

Betrag der mittleren Abweichung vom Mittelwert:
 

 

Streubreite:

Differenz zwischen Maximum und Minimum
 

Mittelwert ohne Ausreißer (max):

Mittelwert ohne größten (maximalen) Ausreißer
 

Mittelwert ohne Ausreißer (min):

Mittelwert ohne kleinsten (minimalen) Ausreißer
 

50%- bzw. 75%-Intervall (Sigma-Intervall):

 

Die Tschebyschow-Ungleichung gibt an, dass bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ mindestens 50% bzw. 75% der Werte im Intervall ] µ-2s ; µ+2s [ liegen.

Absoluter Fehler:

Der absolute Fehler Δx beschreibt die Differenz zwischen dem gemessenen Istwert der Messgröße x (Messwert) und dem wahren Wert der gemessenen Größe x_w.

Δx = x - x_w

Der absolute Fehler hat die Dimension der Messgröße.

Relativer Fehler:

Da der wahre Wert einer Messgröße in keinem Fall in exakter Form bekannt ist, wird der Fehler (sofern der Fehler "genügend klein" ist) auf die Messgröße x bezogen.

Relativer Fehler = Absoluter Fehler / Wahrer Wert = Δx/x_w

Relativer Fehler = Δx/x

Prozentualer Fehler bzw. relativer Fehler in % = Δx/x · 100

 
Mit:
n: Umfang der Stichprobe

x_i: Einzelwerte
T: Jahreszahl
t: Zeitpunkt

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um die numerische Auswertung von Messwerten durchführen zu lassen:

1. Geben Sie einen Messwert in das dafür vorgesehene Feld ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle zur Auswertung erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
    
2. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die ermittelten Auswertungsergebnisse in der Tabelle Ergebnisse ausgegeben.

Hinweise:

Ein geometrisches Mittel existiert lediglich dann, wenn das Produkt aller definierter Messwerte > 0 ist. Ein harmonisches Mittel kann nur ermittelt werden, wenn keiner der Messwerte den Wert 0 besitzt.

 

Ein Histogramm ist die grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung von Messwerten, anhand eines Balkendiagramms. Das Programm ermöglicht die Ausgabe eines solchen, nach Durchführung einer Messwertanalyse.

Um eine grafische Analyse der Messergebnisse durchzuführen, sollten Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

1. Führen Sie zuvor Beschriebenes (Numerische Auswertung) aus, um Messwerte aufzunehmen.
    
2. Soll die Klassenbreite des Histogramms vor dem Aufruf einer grafischen Darstellung festgelegt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Klassenbreite fix und geben den gewünschten Wert zur Festlegung der Klassenbreite in das hierfür zur Verfügung stehende Feld ein. Möchten Sie die Klassenbreite dessen jedoch bei Ausgabe der grafischen Darstellung einstellen, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Klassenbreite variabel.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Wurde Kontrollschalter Klassenbreite variabel aktiviert, so positionieren Sie den Rollbalken Klassenbreite, um die gewünschte Klassenbreite einzustellen.
    
5. Um sich die Dichtekurve einer Gauß'schen Normalverteilung darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Normalverteilung.
   
   Klicken Sie das Kontrollkästchen Mittelwertabw.an, so werden neben dem Mittelwert, zusätzlich die Differenz μ-σ und die Summe μ+σ der Standardabweichung bzgl. des Mittelwerts markiert.
    
6. Wurde eine variable Klassenbreite gewählt, so besteht die Möglichkeit die Klassenbreite interaktiv durch eine Simulation verändern zu lassen. Um Zusammenhänge derart zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Möchten Sie eingegebene Messwerte speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Speichern durchgeführt werden. Um mit bereits gespeicherten Daten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Öffnen. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!

 

Es besteht auch die Möglichkeit die auszuwertenden Daten in einer Excel-Tabelle zu definieren und hiernach zu importieren. Die Zahlenwerte sind hierbei nach folgendem Schema in der Excel-Tabelle festzulegen: In Spalte A der Excel-Tabelle legen Sie die Messwerte fest. Beginnen Sie mit der Eingabe im obersten Feld der Spalte.

 

Speichern Sie diese Tabelle hierauf in einer Datei ab, wählen Sie im Programm den Menüeintrag Datei - Excel-Daten importieren und öffnen Sie die entsprechende Datei. Eingelesen werden alle Werte bis zum ersten leeren Feld der Excel-Tabellen-Spalte.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

• Balken beschriften: Beschriftung des Balkendiagramms ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Es gilt, nachfolgend aufgeführte Messwertergebnisse statistisch auswerten zu lassen:

 

1,234

1,756

1,141

1,244

3,030

1,822

1,514

1,318

1,111

0,400

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach Festlegung dieser und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, erhalten Sie folgende Analyseergebnisse:

 

Anzahl der Messwerte: 10

Minimum: 0,4
Maximum: 3,03
Mittelwert (Zentralwert): 1,457
Median: 1,281
Varianz: 0,461272
Standardabweichung: 0,67917
Mittlerer Fehler des Mittelwerts: 0,214772
Geometrisches Mittel: 1,311521
Harmonisches Mittel: 1,14177
Quadratisches Mittel: 1,593108
Variationskoeffizient: 0,31659

Stichprobenvarianz: 0,415144
Stichproben-Standardabweichung: 0,644317
Standardfehler: 0,067917
Streubreite: 2,63
Mittlere Abweichung: 0,4588
Mittelwert (Zentralwert) ohne Ausreißer (max): 1,282222
Mittelwert (Zentralwert) ohne Ausreißer (min): 1,574444
50% - Intervall: ] 0,0987 ; 2,8153 [
75% - Intervall: ] 0,4965 ; 2,4175 [

 

Wird das Kontrollkästchen Normalverteilung bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge aktiviert, so gibt das Programm für die ermittelte Gleichung der Normalverteilung zudem aus:

 

Y = 0,587·e^{(-(x-1,457)²/0,923))}
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Median
Wikipedia - Varianz

Wikipedia - Geometrisches Mittel
Wikipedia - Quadratisches Mittel
Wikipedia - Harmonisches Mittel
 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Statistische Messwertanalyse
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Regressionsanalyse

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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