MathProf - Iterationen - Summen - Produkte - Summenformel - Gauß

Fachthemen: Iteration - Summen - Produkte - Summenformel
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Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung numerischer Iterationen
mit Funktionen in explizter Form. Es ermöglicht die Ermittlung der Ergebnisse durchgeführter Iterationsberechnungen bis zum Erreichen eines vom Programm ermittelten Grenzwerts, sowohl mit als auch ohne Parameter.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Iteration - Iterieren - Fixpunktiteration - Grenzwert - Iterationsschritte - Iterationen - Iterationsschleifen - Iterative Berechnung - Iterationsrechner - Iterationsfunktion - Zahlenliste - Zahlenliste erstellen - Tabelle - Konvergenz - Grenze - Limit - Abbruch - Parameter - Parameterwert - Numerische Iteration - Rechner - Berechnen - Approximation - Funktion - Summe - Summen - Summenzeichen - Summe aller Zahlen - Zahlen - Von - Bis - Innere Summe - Äußere Summe - Doppelsumme - Produkt - Produkte - Produktzeichen - Partialsumme - Produktschreibweise - Summenschreibweise - Summation - Summieren - Summationsindex - Mathematik - Summen multiplizieren - Summen addieren - Summen berechnen - Summen bilden - Summendarstellung - Rechnen - Rechenregeln - Regeln - Formeln - Erklärung - Beschreibung - Definition - Indextransformation - Indexverschiebung - Symbole - Zeichen - Schreibweise - Teilsummen - Summe berechnen - Sigma - Summanden - Kleiner Gauß - Gaußsche Summenformel |
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1. Numerische Iteration
Modul Iteration
Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Funktionswerte] - Iteration lassen sich Iterationsberechnungen durchführen.
Als Iteration bezeichnet man die wiederholte Durchführung eines Vorgangs. Hierbei richtet sich die Anzahl durchzuführender Schritte nach Vorgabebedingungen, oder nach der Erfüllung eines Abbruchkriteriums.
In diesem Modul lassen sich Iterationsberechnungen sowohl mit, wie auch ohne die Verwendung eines Parameters durchführen. Stellt das Programm bei der Durchführung von Berechnungen vor dem Erreichen der Anzahl maximal durchzuführender Schritte keine signifikante Änderung des Funktionswerts mehr fest, so wird die Iteration bei Erreichen des Grenzwerts abgebrochen.
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Iterationsberechnungen durchführen zu lassen:
-
Definieren Sie die entsprechende Iterationsgleichung im Eingabefeld x = f(x,p) gemäß den geltenden Syntaxregeln.
-
Legen Sie den Startwert X0 durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts im dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeld fest.
-
Bestimmen Sie Anzahl maximal durchzuführender Iterationsschritte durch die Eingabe eines entsprechenden ganzzahligen Werts in das Feld Max. Anzahl von Iterationen.
-
Tragen Sie den zu verwendenden Wert für Funktionsparameter P im dafür vorgesehenen Feld ein.
-
Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Beispiel
Erfolgt eine Iteration mit der gestellten Bedingung X = (X+P/X)/2, so konvergiert der Ergebniswert stets gegen den Wert √P.
Legen Sie in diesem Fall beispielsweise für den Parameter P den Wert 16 fest, definieren Sie einen Startwert von 0,1 und wählen Sie eine maximale Anzahl durchzuführender Iterationen von 100, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen als Ergebnis den Wert 4. Dieser entspricht dem Zahlenwert der Quadratwurzel aus der Zahl 16. Nach einer Durchführung von 11 Schritten bricht das Programm die Iteration ab, da eine ausreichende Konvergenz erreicht ist.
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Beispiel 1
Beispiel 2
2. Summen - Summenschreibweise - Schreibweise - Summenzeichen - Rechenregeln
Zur Definition von Summen wird das große griechische Symbol Sigma verwendet. Sie besitzen eine Untergrenze sowie eine Obergrenze. Summen werden gebildet, indem aufeinanderfolgend alle ganzzahligen Werte von deren unteren Grenze bis zur oberen Grenze eingesetzt und addiert (aufsummiert) werden. Mit Hilfe des Distributivgesetzes können konstante Faktoren einer Summe (vor das Summenzeichen) herausgezogen werden.
Das Summenzeichen kann bei der Bildung einer Summe aus mehreren Summanden vor jeden Summanden geschrieben werden. Summen können in unterschiedliche Teilbereiche zerlegt werden. Der Endwert der entsprechenden Summe ist hierbei so festzulegen, dass dieser um 1 kleiner ist als der Wert, welcher als Startwert der folgenden Summe dient.
Bei einer Indexverschiebung um den Betrag m werden sowohl der Startwert wie auch der Endwert dieser Summe um diesen gemeinsam verschoben. Summenzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Summen eingesetzt.
Es gilt:
Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
ai,bi: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)
Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Summen gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten einer Summe, die Addition und Subtraktion zweier Summen, das Vorziehen von Konstanten sowie die Indexverschiebung (Umnummerierung) einer Summe.
Doppelsumme:
Doppelsummen sind wie folgt definiert und werden gemäß der nachfolgend gezeigten Methode berechnet.
3. Gaußsche Summenformel - Kleiner Gauß
Die Gaußsche Summenformel (kleiner Gauß) wird verwendet um die Summe beliebig vieler natürlicher Zahlen zu bilden. Sie ermöglicht die Berechnung einer derartigen Summe auf einfache Weise. Sie lautet:
Beispiel:
Es gilt die Summe der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 12 zu bilden. Bei Anwendung der Gaußschen Summenformel erfolgt deren Berechnung wie folgt:
Wäre diese Summe ohne die Verwendung dieser zu bilden, so wären die folgenden Berechnungen erforderlich:
4. Produkte - Produktschreibweise - Produktzeichen - Rechenregeln
Produktzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Produkten eingesetzt. Es gilt:
Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
ai,bi: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)
Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Produkten gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten eines Produkts, das Vorziehen von Konstanten sowie das Vertauschen der Multiplikationsfolge von Produkten.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Iteration zu finden.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer- Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Parameter einer Betragsfunktion
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
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