MathProf - Iteration - Summe - Summenformel - Vollständige Induktion

MathProf - Mathematik-Software - Iteration | Funktion | Berechnung | Tabelle

Fachthemen: Iteration - Summen - Produkte - Summenformel - Induktion

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Iteration | Funktion | Berechnung | Tabelle

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung numerischer Iterationen
mit Funktionen in explizter Form. Es ermöglicht die Ermittlung der Ergebnisse durchgeführter Iterationsberechnungen bis zum Erreichen eines vom Programm ermittelten Grenzwerts, sowohl mit als auch ohne Parameter.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.
 
Zur Startseite dieser Homepage
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Videoauswahl zu MathProf 5.0.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche können Sie eine kostenlose Demoversion des Programms MathProf 5.0 herunterladen.

Zum Download der Demoversion 

von MathProf 5.0
 

Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Iteration - Iterieren - Grenzwert - Iterationsschritte - Iterationen - Iterationsschleifen - Iterative Berechnung - Iterationsrechner - Iterationsfunktion - Zahlenliste - Zahlenliste erstellen - Tabelle - 0 -1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100 - Konvergenz - Grenze - Limit - Abbruch - Parameter - Parameterwert - Numerische Iteration - Rechner - Berechnen - Approximation - Funktion - Summe - Summen - Summenzeichen - Summe aller Zahlen - Zahlen - Von - Bis - Innere Summe - Äußere Summe - Doppelsumme - Produkt - Produkte - Produktzeichen - Produktschreibweise - Summenschreibweise - Summation - Summieren - Summationsindex - Herleitung - Beweis - Mathe - Mathematik - Summen multiplizieren - Summen addieren - Summen berechnen - Summen bilden - Summendarstellung - Summe der Quadratzahlen - Rechnen - Rechenregeln - Regeln - Formeln - Induktion - Induktionsbeweis - Vollständige Induktion - Induktionsanfang - Induktionsvoraussetzung - Induktionsschritt - Induktionsschritte - Induktionsbehauptung - Induktionsbedingung - Induktionshypothese - Beweis - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Einführung - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Erklärung - Beschreibung - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Definition - Begriff - Begriffe - Indextransformation - Indexverschiebung - Symbole - Zeichen - Schreibweise - Summe berechnen - Sigma - Summanden - Kleiner Gauß - Gaußsche Summenformel

    
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zum Inhaltsverzeichnis der in MathProf 5.0 implementierten Module bzw. zur Bestellseite für das Programm.
 
Zum Inhaltsverzeichnis von MathProf 5.0 MathProf 5.0 bestellen
 

1. Numerische Iteration

 

MathProf - Iteration - Iterieren - Grenzwert - Berechnung - Zahlenliste - Zahlenliste erstellen - Grenze - Limit - Summe - Summen - Summenzeichen - Summe aller Zahlen - Zahlen - Von - Bis - Innere Summe - Äußere Summe - Doppelsumme - Iterationsschritte - Iterationen - Iterationsschleifen - Iterative Berechnung - Rechner - Berechnen
Modul Iteration


 
Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms
[Analysis] - [Funktionswerte] - Iteration lassen sich Iterationsberechnungen durchführen.

 

MathProf - Iteration - Schrittweise Annäherung - Iterieren - Funktion - Produktzeichen - Produktschreibweise - Summenschreibweise - Summation - Summieren - Summationsindex - Fixpunktiteration - Grenzwert - Iterationsschritte - Iterationen - Iterationsschleifen - Iterative Berechnung - Iterationsrechner - Iterationsfunktion - Tabelle - Parameter - Parameterwert - Numerische Iteration - Rechner - Berechnen

 

Als Iteration (oder Iterieren) bezeichnet man die wiederholte Durchführung gleicher oder ähnlicher Vorgänge zum Herankommen an eine Lösung oder ein festgelegtes Ziel. Hierbei richtet sich die Anzahl auszuführender Iterationsschritte nach Vorgabebedingungen, oder nach der Erfüllung eines Abbruchkriteriums.
 

In diesem Modul lassen sich Iterationsberechnungen sowohl mit, wie auch ohne die Verwendung eines Parameters durchführen. Das Programm erstellt eine Zahlenliste und gibt die Ergebnisse in einer Tabelle aus. Stellt das Programm bei der Durchführung von iterativen Berechnungen vor dem Erreichen der Anzahl maximal durchzuführender Schritte keine signifikante Änderung des Funktionswerts mehr fest, so wird das Iterieren bei Erreichen des Grenzwerts abgebrochen.

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Iterationsberechnungen durchführen zu lassen:
 

  1. Definieren Sie die entsprechende Iterationsgleichung im Eingabefeld x = f(x,p) gemäß den geltenden Syntaxregeln.
     

  2. Legen Sie den Startwert X0 durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts im dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeld fest.
     

  3. Bestimmen Sie Anzahl maximal durchzuführender Iterationsschritte durch die Eingabe eines entsprechenden ganzzahligen Werts in das Feld Max. Anzahl von Iterationen.
     

  4. Tragen Sie den zu verwendenden Wert für Funktionsparameter P im dafür vorgesehenen Feld ein.
     

  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Beispiel

 

Erfolgt eine Iteration mit der gestellten Bedingung X = (X+P/X)/2, so konvergiert der Ergebniswert stets gegen den Wert P.  

 

Legen Sie in diesem Fall beispielsweise für den Parameter P den Wert 16 fest, definieren Sie einen Startwert von 0,1 und wählen Sie eine maximale Anzahl durchzuführender Iterationen von 100, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen als Ergebnis den Wert 4. Dieser entspricht dem Zahlenwert der Quadratwurzel aus der Zahl 16. Nach einer Durchführung von 11 Schritten bricht das Programm die Iteration ab, da eine ausreichende Konvergenz erreicht ist.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 
Anbei finden Sie eine kleine Sammlung weiterer Screenshots zu diesem in MathProf 5.0 eingebundenen Unterprogramm.
 

MathProf - Iteration - Summen addieren - Zahlenliste - Zahlenliste erstellen - Iterieren - Grenzwert - Summen multiplizieren - Summen addieren - Summen berechnen - Summen bilden - Summendarstellung - Rechnen - Rechenregeln - Regeln - Formeln - Iterationsschritte - Iterationen - Iterationsschleifen - Iterative Berechnung - Rechner - Berechnen
Beispiel 1

MathProf - Iterationsrechner - Iterationsfunktion- Definition - Indextransformation - Indexverschiebung - Symbole - Zeichen - Schreibweise - Summe berechnen - Sigma - Summanden - Kleiner Gauß - Gaußsche Summenformel - Parameter - Parameterwert - Tabelle - Konvergenz - Numerische Iteration - Rechner - Berechnen - Approximation - Funktion
Beispiel 2


MathProf - Induktion - Induktionsbeweis - Vollständige Induktion - Induktionsanfang - Induktionsvoraussetzung - Induktionsschritt - Induktionsschritte - Induktionsbehauptung - Induktionsbedingung - Induktionshypothese - Beweis - Berechnen
Beispiel 3

 

2. Summen - Summenschreibweise - Schreibweise - Summenzeichen - Rechenregeln

 
Als Summe wird in der Mathematik das Resultat einer durchgeführten Addition bezeichnet. Zur Definition von Summen wird das große griechische Symbol Sigma verwendet. Sie besitzen eine Untergrenze sowie eine Obergrenze. Summen werden gebildet, indem aufeinanderfolgend alle ganzzahligen Werte von deren unteren Grenze bis zur oberen Grenze eingesetzt und addiert (aufsummiert) werden. Mit Hilfe des Distributivgesetzes können konstante Faktoren einer Summe (vor das Summenzeichen) herausgezogen werden. Das Bilden einer Summe oder Aufaddieren wird als Summieren (Summation) bezeichnet.

Das Summenzeichen kann bei der Bildung einer Summe aus mehreren Summanden vor jeden Summanden geschrieben werden. Summen können in unterschiedliche Teilbereiche zerlegt werden. Der Endwert der entsprechenden Summe ist hierbei so festzulegen, dass dieser um 1 kleiner ist als der Wert, welcher als Startwert der folgenden Summe dient.

Bei einer Indexverschiebung (Indextransformation) um den Betrag m werden sowohl der Startwert wie auch der Endwert dieser Summe um diesen gemeinsam verschoben. Summenzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Summen eingesetzt. Eine derartige Darstellung wird auch als Summenschreibweise bezeichnet.
 
Es gilt:


MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 1

Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
ai,bi: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)


Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Summen gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten einer Summe, die Addition und Subtraktion zweier Summen, das Vorziehen von Konstanten sowie die Indexverschiebung (Umnummerierung) einer Summe.

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 2

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 3

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 4

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 5

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 6

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 7

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 8

MathProf - Summen - Summenzeichen - Regeln - 9
   
Doppelsumme:
 
Doppelsummen sind wie folgt definiert und werden gemäß der nachfolgend gezeigten Methode berechnet.

MathProf - Doppelsummen - Regeln
  

3. Gaußsche Summenformel - Kleiner Gauß

 
Die Gaußsche Summenformel (kleiner Gauß) wird verwendet um die Summe beliebig vieler natürlicher Zahlen zu bilden. Sie ermöglicht die Berechnung einer derartigen Summe auf einfache Weise und lautet:

MathProf - Summenformel - Gauß - Kleiner Gauß - Gaußsche Summenformel - 1

Beispiel:

Es gilt die Summe der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 12 die (Summe aller Zahlen von 1 bis 12) zu bilden. Bei Anwendung der Gaußschen Summenformel erfolgt deren Berechnung wie folgt:


MathProf - Summenformel - Gauß - Kleiner Gauß - Gaußsche Summenformel - 1

Wäre diese Summe ohne die Verwendung dieser zu bilden, so wären die folgenden Berechnungen erforderlich:

MathProf - Summen - Formel - Summenformel

Summe der Quadratzahlen:

Die Summe der Quadratzahlen kann mit folgender Formel ermittelt werden:

MathProf - Summe der Quadratzahlen - Formel - Berechnen
  

4. Produkte - Produktschreibweise - Produktzeichen - Rechenregeln

 
Produktzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Produkten eingesetzt. Ihre Verwendung in dieser Form wird als Produktschreibweise bezeichnet. Es gilt:

MathProf  - Produkte - Produktzeichen - Regeln - 1

Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
ai,bi: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)

 
Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Produkten gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten eines Produkts, das Vorziehen von Konstanten sowie das Vertauschen der Multiplikationsfolge von Produkten.


MathProf  - Produkte - Produktzeichen - Regeln - 2

 
MathProf  - Produkte - Produktzeichen - Regeln - 3

MathProf  - Produkte - Produktzeichen - Regeln - 4

MathProf  - Produkte - Produktzeichen - Regeln - 5

MathProf  - Produkte - Produktzeichen - Regeln - 6

MathProf  - Produkte - Produktzeichen - Regeln - 7
  

4. Vollständige Induktion

 
Als vollständige Induktion wird ein Beweisverfahren bezeichnet, mit Hilfe dessen es möglich ist, Aussagen bezüglich der natürlichen Zahlen zu beweisen. Es handelt sich um eine Methode mit Hilfe derer eine Aussage A(n) für alle ganzen natürlichen Zahlen bewiesen wird, die größer oder gleich einem bestimmten Anfangswert sind.

Der Induktionsbeweis orientiert sich stets an drei Schritten. Diese sind:

1. Der Induktionsanfang
2. Die Induktionsvoraussetzung
3. Der Induktionsschritt


1. Der Induktionsanfang: Im ersten Schritt ist zu überprüfen, ob die entsprechende Aussage für die kleinste zulässige Zahl n0 gilt. Diese ist in der Regel die Zahl n0 = 0 oder die Zahl n0 = 1. Besitzt eine Aussage lediglich für n > m Gültigkeit, so ist für die kleinste zulässige Zahl die Zahl n0 = m zu verwenden.

2. Induktionsvoraussetzung: Es ist hierbei anzunehmen, dass die aufgestellte Behauptung A(n) für eine Zahl n gilt und nicht für ein n ∈ N beliebig. Dieser Schritt wird auch als Induktionsbedingung, Induktionsbehauptung oder Induktionshypothese bezeichnet.

3. Induktionsschritt: Mit diesem Schritt wird beweisen, dass die Gültigkeit für A(n+1) besteht, indem A(n) als gültig nachgewiesen wurde.
 

Beispiel (Beweis):

Es gilt per Induktion zu beweisen, dass für alle natürlichen Zahlen n die nachfolgend gezeigte Bedingung gilt:

1+ 3 + 5 + ... + (2n−1) = n2

Zunächst ist nachzuweisen, dass diese Gleichung für n = 1 gilt und die gestellte Bedingung erfüllt ist.

Durch das Einsetzen der Zahl n0 = 1 ergibt sich:

(2·1-1) = 1²

Es resultiert: 1 = 1

Hiermit ist bewiesen, dass diese Aussage für A(1) = 1 bzw. n = 1 gilt und die gestellte Gleichungsbedingung erfüllt ist.

Es folgt der Induktionsschritt in dem nachzuweisen ist, dass diese Bedingung auch für A(n+1) = 1 Gültigkeit besitzt.

Wird in der gegebenen Gleichung die Variable n durch n+1 ersetzt, so ergibt sich:

[1+3 + ... + (2n-1)] + (2(n+1)-1) = (n+1)²  

Hieraus ergibt sich:

n² + (2(n+1)-1) = (n+1)²

denn der Term innerhalb der eckigen Klammern entspricht dem anfänglich gezeigten linken Teil der Gleichung, dessen Resultat n² ist.

Durch eine schrittweise durchgeführte Vereinfachung der Gleichung, wie nachfolgend gezeigt

n² + 2·n + 2·1 - 1 = (n+1)²
n² + 2·n + 1 = (n+1)²
(n+1)² = (n+1)²

ergibt sich (n+1)² = (n+1)² und somit ist der Nachweis erbracht, dass beide Seiten der ursprünglich gegebenen Gleichung identisch sind und eine beliebige Zahl für n kann eingesetzt werden kann.

  

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
  
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Iteration zu finden.

 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
MathProf - Zissoide - Efeu-Kurve - Diokles - Algebraische Kurven - Asymptote - Gleichung - Fläche - Graph - Eigenschaften - Plotten - Grafisch - Bilder - Darstellung - Erklärung - Beschreibung - Definition - Berechnen - Berechnung - Rechner - Beispiel - Grafik - Zeichnen - DarstellenMathProf - Zissoide - Efeu-Kurve - Diokles - Algebraische Kurven - Asymptote - Gleichung - Fläche - Graph - Eigenschaften - Plotten - Grafisch - Bilder - Darstellung - Erklärung - Beschreibung - Definition - Berechnen - Berechnung - Rechner - Beispiel - Grafik - Zeichnen - Darstellen
 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen

   

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Betragsfunktion - Betrag - Beträge - Plotten - Grafisch - Graph - Rechner - Grafik - Werte - Berechnung - Darstellen - Rechner - Zeichnen - Beispiel - Eigenschaften - Parameter - Untersuchen - Verschieben
MathProf 5.0 - Unterprogramm Parameter einer Betragsfunktion



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen - DGS - System - Dynamisches System - Erstellung von Grafiken und Animationen - Simulationen erstellen - Naturwissenschaften - Publizieren - Unterricht - Publishing - Publikationen - Vorführung - Erstellen - Erstellung - Computer - Plot - Darstellung - Bild

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0