MathProf - Iterationen - Summen - Produkte - Summenformel - Gauß

   

Modul Iteration

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Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Funktionswerte] - Iteration lassen sich Iterationsberechnungen durchführen.

 

 

Als Iteration (oder Iterieren) bezeichnet man die wiederholte Durchführung gleicher oder ähnlicher Vorgänge zum Herankommen an eine Lösung oder ein festgelegtes Ziel. Hierbei richtet sich die Anzahl auszuführender Iterationsschritte nach Vorgabebedingungen, oder nach der Erfüllung eines Abbruchkriteriums.
 

In diesem Modul lassen sich Iterationsberechnungen sowohl mit, wie auch ohne die Verwendung eines Parameters durchführen. Das Programm erstellt eine Zahlenliste und gibt die Ergebnisse in einer Tabelle aus. Stellt das Programm bei der Durchführung von iterativen Berechnungen vor dem Erreichen der Anzahl maximal durchzuführender Schritte keine signifikante Änderung des Funktionswerts mehr fest, so wird das Iterieren bei Erreichen des Grenzwerts abgebrochen.

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Iterationsberechnungen durchführen zu lassen:
 

1. Definieren Sie die entsprechende Iterationsgleichung im Eingabefeld x = f(x,p) gemäß den geltenden Syntaxregeln.
    

2. Legen Sie den Startwert X₀ durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts im dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeld fest.
    

3. Bestimmen Sie Anzahl maximal durchzuführender Iterationsschritte durch die Eingabe eines entsprechenden ganzzahligen Werts in das Feld Max. Anzahl von Iterationen.
    

4. Tragen Sie den zu verwendenden Wert für Funktionsparameter P im dafür vorgesehenen Feld ein.
    

5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Erfolgt eine Iteration mit der gestellten Bedingung X = (X+P/X)/2, so konvergiert der Ergebniswert stets gegen den Wert √P.  

 

Legen Sie in diesem Fall beispielsweise für den Parameter P den Wert 16 fest, definieren Sie einen Startwert von 0,1 und wählen Sie eine maximale Anzahl durchzuführender Iterationen von 100, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen als Ergebnis den Wert 4. Dieser entspricht dem Zahlenwert der Quadratwurzel aus der Zahl 16. Nach einer Durchführung von 11 Schritten bricht das Programm die Iteration ab, da eine ausreichende Konvergenz erreicht ist.
 

   

Beispiel 1


Beispiel 2

 

 
Als Summe wird in der Mathematik das Resultat einer durchgeführten Addition bezeichnet. Zur Definition von Summen wird das große griechische Symbol Sigma verwendet. Sie besitzen eine Untergrenze sowie eine Obergrenze. Summen werden gebildet, indem aufeinanderfolgend alle ganzzahligen Werte von deren unteren Grenze bis zur oberen Grenze eingesetzt und addiert (aufsummiert) werden. Mit Hilfe des Distributivgesetzes können konstante Faktoren einer Summe (vor das Summenzeichen) herausgezogen werden. Das Bilden einer Summe oder Aufaddieren wird als Summieren (Summation) bezeichnet.

Das Summenzeichen kann bei der Bildung einer Summe aus mehreren Summanden vor jeden Summanden geschrieben werden. Summen können in unterschiedliche Teilbereiche zerlegt werden. Der Endwert der entsprechenden Summe ist hierbei so festzulegen, dass dieser um 1 kleiner ist als der Wert, welcher als Startwert der folgenden Summe dient.

Bei einer Indexverschiebung (Indextransformation) um den Betrag m werden sowohl der Startwert wie auch der Endwert dieser Summe um diesen gemeinsam verschoben. Summenzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Summen eingesetzt. Eine derartige Darstellung wird auch als Summenschreibweise bezeichnet.
 
Es gilt:



Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
a_i,b_i: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)

Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Summen gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten einer Summe, die Addition und Subtraktion zweier Summen, das Vorziehen von Konstanten sowie die Indexverschiebung (Umnummerierung) einer Summe.
















   
Doppelsumme:
 
Doppelsummen sind wie folgt definiert und werden gemäß der nachfolgend gezeigten Methode berechnet.


  

 
Die Gaußsche Summenformel (kleiner Gauß) wird verwendet um die Summe beliebig vieler natürlicher Zahlen zu bilden. Sie ermöglicht die Berechnung einer derartigen Summe auf einfache Weise und lautet:



Beispiel:

Es gilt die Summe der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 12 die (Summe aller Zahlen von 1 bis 12) zu bilden. Bei Anwendung der Gaußschen Summenformel erfolgt deren Berechnung wie folgt:



Wäre diese Summe ohne die Verwendung dieser zu bilden, so wären die folgenden Berechnungen erforderlich:


  

 
Produktzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Produkten eingesetzt. Ihre Verwendung in dieser Form wird als Produktschreibweise bezeichnet. Es gilt:



Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
a_i,b_i: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)
 
Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Produkten gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten eines Produkts, das Vorziehen von Konstanten sowie das Vertauschen der Multiplikationsfolge von Produkten.

 









  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.

    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Iteration zu finden.

 

 
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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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