MathProf - Iteration - Summe - Summenformel - Vollständige Induktion

   

Modul Iteration

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Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Funktionswerte] - Iteration lassen sich Iterationsberechnungen durchführen.

 

 

Als Iteration (oder Iterieren) bezeichnet man die wiederholte Durchführung gleicher oder ähnlicher Vorgänge zum Herankommen an eine Lösung oder ein festgelegtes Ziel. Hierbei richtet sich die Anzahl auszuführender Iterationsschritte nach Vorgabebedingungen, oder nach der Erfüllung eines Abbruchkriteriums.
 

In diesem Modul lassen sich Iterationsberechnungen sowohl mit, wie auch ohne die Verwendung eines Parameters durchführen. Das Programm erstellt eine Zahlenliste und gibt die Ergebnisse in einer Tabelle aus. Stellt das Programm bei der Durchführung von iterativen Berechnungen vor dem Erreichen der Anzahl maximal durchzuführender Schritte keine signifikante Änderung des Funktionswerts mehr fest, so wird das Iterieren bei Erreichen des Grenzwerts abgebrochen.

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Iterationsberechnungen durchführen zu lassen:
 

1. Definieren Sie die entsprechende Iterationsgleichung im Eingabefeld x = f(x,p) gemäß den geltenden Syntaxregeln.
    

2. Legen Sie den Startwert X₀ durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts im dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeld fest.
    

3. Bestimmen Sie Anzahl maximal durchzuführender Iterationsschritte durch die Eingabe eines entsprechenden ganzzahligen Werts in das Feld Max. Anzahl von Iterationen.
    

4. Tragen Sie den zu verwendenden Wert für Funktionsparameter P im dafür vorgesehenen Feld ein.
    

5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Erfolgt eine Iteration mit der gestellten Bedingung X = (X+P/X)/2, so konvergiert der Ergebniswert stets gegen den Wert √P.  

 

Legen Sie in diesem Fall beispielsweise für den Parameter P den Wert 16 fest, definieren Sie einen Startwert von 0,1 und wählen Sie eine maximale Anzahl durchzuführender Iterationen von 100, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen als Ergebnis den Wert 4. Dieser entspricht dem Zahlenwert der Quadratwurzel aus der Zahl 16. Nach einer Durchführung von 11 Schritten bricht das Programm die Iteration ab, da eine ausreichende Konvergenz erreicht ist.
 

   

Beispiel 1


Beispiel 2

Beispiel 3

 

 
Als Summe wird in der Mathematik das Resultat einer durchgeführten Addition bezeichnet. Zur Definition von Summen wird das große griechische Symbol Sigma verwendet. Sie besitzen eine Untergrenze sowie eine Obergrenze. Summen werden gebildet, indem aufeinanderfolgend alle ganzzahligen Werte von deren unteren Grenze bis zur oberen Grenze eingesetzt und addiert (aufsummiert) werden. Mit Hilfe des Distributivgesetzes können konstante Faktoren einer Summe (vor das Summenzeichen) herausgezogen werden. Das Bilden einer Summe oder Aufaddieren wird als Summieren (Summation) bezeichnet.

Das Summenzeichen kann bei der Bildung einer Summe aus mehreren Summanden vor jeden Summanden geschrieben werden. Summen können in unterschiedliche Teilbereiche zerlegt werden. Der Endwert der entsprechenden Summe ist hierbei so festzulegen, dass dieser um 1 kleiner ist als der Wert, welcher als Startwert der folgenden Summe dient.

Bei einer Indexverschiebung (Indextransformation) um den Betrag m werden sowohl der Startwert wie auch der Endwert dieser Summe um diesen gemeinsam verschoben. Summenzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Summen eingesetzt. Eine derartige Darstellung wird auch als Summenschreibweise bezeichnet.
 
Es gilt:



Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
a_i,b_i: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)

Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Summen gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten einer Summe, die Addition und Subtraktion zweier Summen, das Vorziehen von Konstanten sowie die Indexverschiebung (Umnummerierung) einer Summe.
















   
Doppelsumme:
 
Doppelsummen sind wie folgt definiert und werden gemäß der nachfolgend gezeigten Methode berechnet.


  

 
Die Gaußsche Summenformel (kleiner Gauß) wird verwendet um die Summe beliebig vieler natürlicher Zahlen zu bilden. Sie ermöglicht die Berechnung einer derartigen Summe auf einfache Weise und lautet:



Beispiel:

Es gilt die Summe der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 12 die (Summe aller Zahlen von 1 bis 12) zu bilden. Bei Anwendung der Gaußschen Summenformel erfolgt deren Berechnung wie folgt:



Wäre diese Summe ohne die Verwendung dieser zu bilden, so wären die folgenden Berechnungen erforderlich:



Summe der Quadratzahlen:

Die Summe der Quadratzahlen kann mit folgender Formel ermittelt werden:


  

 
Produktzeichen werden zur vereinfachten Darstellung von Produkten eingesetzt. Ihre Verwendung in dieser Form wird als Produktschreibweise bezeichnet. Es gilt:



Mit:
i,m: Laufvariable (Laufindex)
a_i,b_i: Funktion mit Laufvariable
1: Untere Grenze (Startwert)
n: Obere Grenze (Endwert)
 
Nachfolgend aufgeführt sind die Regeln, welche zum Umgang mit Produkten gelten. Diese behandeln unter anderem das Aufspalten eines Produkts, das Vorziehen von Konstanten sowie das Vertauschen der Multiplikationsfolge von Produkten.

 









  

 
Als vollständige Induktion wird ein Beweisverfahren bezeichnet, mit Hilfe dessen es möglich ist, Aussagen bezüglich der natürlichen Zahlen zu beweisen. Es handelt sich um eine Methode mit Hilfe derer eine Aussage A(n) für alle ganzen natürlichen Zahlen bewiesen wird, die größer oder gleich einem bestimmten Anfangswert sind.

Der Induktionsbeweis orientiert sich stets an drei Schritten. Diese sind:

1. Der Induktionsanfang
2. Die Induktionsvoraussetzung
3. Der Induktionsschritt

1. Der Induktionsanfang: Im ersten Schritt ist zu überprüfen, ob die entsprechende Aussage für die kleinste zulässige Zahl n₀ gilt. Diese ist in der Regel die Zahl n₀ = 0 oder die Zahl n₀ = 1. Besitzt eine Aussage lediglich für n > m Gültigkeit, so ist für die kleinste zulässige Zahl die Zahl n₀ = m zu verwenden.

2. Induktionsvoraussetzung: Es ist hierbei anzunehmen, dass die aufgestellte Behauptung A(n) für eine Zahl n gilt und nicht für ein n ∈ N beliebig. Dieser Schritt wird auch als Induktionsbedingung, Induktionsbehauptung oder Induktionshypothese bezeichnet.

3. Induktionsschritt: Mit diesem Schritt wird beweisen, dass die Gültigkeit für A(n+1) besteht, indem A(n) als gültig nachgewiesen wurde.
 

Beispiel (Beweis):

Es gilt per Induktion zu beweisen, dass für alle natürlichen Zahlen n die nachfolgend gezeigte Bedingung gilt:

1+ 3 + 5 + ... + (2n−1) = n²

Zunächst ist nachzuweisen, dass diese Gleichung für n = 1 gilt und die gestellte Bedingung erfüllt ist.

Durch das Einsetzen der Zahl n₀ = 1 ergibt sich:

(2·1-1) = 1²

Es resultiert: 1 = 1

Hiermit ist bewiesen, dass diese Aussage für A(1) = 1 bzw. n = 1 gilt und die gestellte Gleichungsbedingung erfüllt ist.

Es folgt der Induktionsschritt in dem nachzuweisen ist, dass diese Bedingung auch für A(n+1) = 1 Gültigkeit besitzt.

Wird in der gegebenen Gleichung die Variable n durch n+1 ersetzt, so ergibt sich:

[1+3 + ... + (2n-1)] + (2(n+1)-1) = (n+1)²  

Hieraus ergibt sich:

n² + (2(n+1)-1) = (n+1)²

denn der Term innerhalb der eckigen Klammern entspricht dem anfänglich gezeigten linken Teil der Gleichung, dessen Resultat n² ist.

Durch eine schrittweise durchgeführte Vereinfachung der Gleichung, wie nachfolgend gezeigt

n² + 2·n + 2·1 - 1 = (n+1)²
n² + 2·n + 1 = (n+1)²
(n+1)² = (n+1)²

ergibt sich (n+1)² = (n+1)² und somit ist der Nachweis erbracht, dass beide Seiten der ursprünglich gegebenen Gleichung identisch sind und eine beliebige Zahl für n kann eingesetzt werden kann.
  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Iteration zu finden.

 

 

 

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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