MathProf - Gleichung 2. Grades - Gleichung 3. Grades - Gleichung 4. Grades

MathProf - Algebra - Eine Anwendung für technische Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Benutzer aller Altersklassen sowie für alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und Darstellen der Lösungen von Gleichungen höheren Grades. Zu diesen zählen Polynome 2. Grades, Polynome 3. Grades sowie Polynome 4. Grades.

Dieses Teilprogramm ermöglicht unter anderem das Lösen linearer Gleichungen, quadratischer Gleichungen, kubischer Gleichungen sowie biquadratischer Gleichungen.

Mit Hilfe dessen lassen sich somit die Nullstellen von Gleichungen 2. Grades, von Gleichungen 3. Grades und von Gleichungen 4. Grades bzw. vom Polynom 2. Grades, vom Polynom 3. Grades und vom Polynom 4. Grades ermitteln. Auch komplexe Nullstellen definierter Polynome werden ausgegeben.

 Des Weiteren lässt dieses Unterprogramm das Zeichnen der Graphen von Gleichungen dieser Art zu. Zudem ist es möglich, sich die 1. Ableitung und der 2. Ableitung einer definierten ganzrationalen Funktion darstellen zu lassen.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

 

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Themen und Stichworte: Gleichungen zweiten bis vierten Grades - Gleichungen 3. Grades lösen - Gleichungen 4. Grades lösen - Lösen von kubischen Gleichungen - Lösungen einer Funktion 3. Grades - Lösungen einer Funktion 4. Grades - Lösungen einer Funktion 5. Grades - Funktionen höheren Grades - Biquadratische Gleichungen - Parabel 3. Ordnung - Parabel 4. Ordnung - Parabel 3. Grades - Parabel 4. Grades - Nullstellen berechnen von Gleichungen höheren Grades - Funktionsgleichungen ganzrationaler Funktionen - Nullstellen von kubischen Gleichungen - Komplexe Lösungen von Gleichungen ganzrationaler Funktionen - Komplexe Nullstellen von Gleichungen höherer Ordnung - Ableitungen ganzrationaler Funktionen

 

Das kleine Unterprogramm [Algebra] - Gleichungen 2.- 4. Grades ermöglicht die Ermittlung reeller, wie komplexer Lösungen von Funktionsgleichungen (Polynomen) höheren Grades (Gleichungen zweiten bis vierten Grades).

Für die Lösungen von Gleichungen (Polynomen) bis 4. Grades (biquadratische Gleichungen) existieren bereits seit dem Mittelalter Lösungsformeln. Durch eine Verwendung dieser ist es außerdem möglich, die Lösungen derartiger Gleichungen innerhalb des Bereichs der komplexen Zahlen zu ermitteln. Mit Hilfe dieses Unterprogramms können Sie sich die reellen, wie auch komplexen Lösungen von Gleichungen (komplexe Nullstellen) folgender Form errechnen lassen:
 

bzw.

Hinweis:

Durch die Eingabe von Zahlenwerten können lediglich die Lösungen von Gleichungen ab Grad 2 errechnet werden. Achten Sie deshalb bei der Eingabe von Werten darauf, dass hierdurch eine derartige Gleichung beschrieben wird.

Verfahren Sie wie nachfolgend beschrieben, um Gleichungen höheren Grades dieser Art lösen zu lassen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
 

1. Geben Sie die Koeffizientenwerte der entsprechenden Gleichung in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    

2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    

3. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen erfolgt die Ausgabe der grafischen Darstellung.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Lsg. markieren: Markierung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
• Lsg. beschr.: Beschriftung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
• 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten
• 2. Ableitung: Darstellung der 2. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Funktionsschnittpunkte

Gleichungen

Mathematische Funktionen I

Beispiel 1:

Es gilt, die Lösungen der folgenden Gleichung höheren Grades ermitteln zu lassen:

y = -2·x³+2·x²+x-1 = 0

Vorgehensweise und Lösung:

Nach Eingabe der Koeffizientenwerte 0 / -2 / 2 / 1 und -1 in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden folgende reelle Lösungen ausgegeben:

x1 = -0,7071

x2 = 1

x3 = 0,7071
 

Beispiel 2:

Es sind die Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichung zu ermitteln:

y = 0,05·x⁴-0,3·x³+0,4·x²+4·x+2 = 0

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Festlegung der Koeffizientenwerte 0,05 / -0,3 / 0,4 / 4 und 2 in den entsprechenden Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Reelle Lösungen:

x3 = -0,54249

x4 = -2,30685

Komplexe Lösungen:

x1 = 4,426167 + j3,5932

x2 = 4,426167 - j3,5932
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Polynom zu finden.

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