MathProf - Gleichungen höheren Grades - Gleichung 2. Grades - Gleichung 3. Grades - Gleichung 4. Grades - Gleichungen 3. Grades - Gleichungen 4. Grades - Funktion 4. Grades

 

Online-Hilfe für das Modul
zur Ermittlung der Lösungen von Gleichungen höheren Grades (Polynome 2. Grades, Polynome 3. Grades und Polynome 4. Grades). Ermöglicht wird somit unter anderem das Lösen linearer Gleichungen, quadratischer Gleichungen, kubischer Gleichungen, biquadratischer Gleichungen.

Das Programm ermittelt die Nullstellen der Gleichung 2. Grades, der Gleichung 3. Grades und der Gleichung 4. Grades bzw. vom Polynom 2. Grades, vom Polynom 3. Grades und vom Polynom 4. Grades. Auch die Darstellung der 1. Ableitung und der 2. Ableitung sowie die Berechnung der Nullstellen der entsprechenden Funktionen höheren Grades wird ermöglicht.

 

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Das kleine Unterprogramm [Algebra] - Gleichungen 2.- 4. Grades ermöglicht die Ermittlung reeller, wie komplexer Lösungen von Funktionsgleichungen (Polynomen) höheren Grades (Gleichungen zweiten bis vierten Grades).

Für die Lösungen von Gleichungen (Polynomen) bis 4. Grades (biquadratische Gleichungen) existieren bereits seit dem Mittelalter Lösungsformeln. Durch eine Verwendung dieser ist es außerdem möglich, die Lösungen derartiger Gleichungen innerhalb des Bereichs der komplexen Zahlen zu ermitteln. Mit Hilfe dieses Unterprogramms können Sie sich die reellen, wie auch komplexen Lösungen von Gleichungen folgender Form errechnen lassen:
 

bzw.

Hinweis:

Durch die Eingabe von Zahlenwerten können lediglich die Lösungen von Gleichungen ab Grad 2 errechnet werden. Achten Sie deshalb bei der Eingabe von Werten darauf, dass hierdurch eine derartige Gleichung beschrieben wird.

Verfahren Sie wie nachfolgend beschrieben, um Gleichungen höheren Grades dieser Art lösen zu lassen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
 

1. Geben Sie die Koeffizientenwerte der entsprechenden Gleichung in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    

2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    

3. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen erfolgt die Ausgabe der grafischen Darstellung.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Lsg. markieren: Markierung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
• Lsg. beschr.: Beschriftung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
• 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten
• 2. Ableitung: Darstellung der 2. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Funktionsschnittpunkte

Gleichungen

Mathematische Funktionen I

Beispiel 1:

Es gilt, die Lösungen der folgenden Gleichung höheren Grades ermitteln zu lassen:

y = -2·x³+2·x²+x-1 = 0

Vorgehensweise und Lösung:

Nach Eingabe der Koeffizientenwerte 0 / -2 / 2 / 1 und -1 in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden folgende reelle Lösungen ausgegeben:

x1 = -0,7071

x2 = 1

x3 = 0,7071
 

Beispiel 2:

Es sind die Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichung zu ermitteln:

y = 0,05·x⁴-0,3·x³+0,4·x²+4·x+2 = 0

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Festlegung der Koeffizientenwerte 0,05 / -0,3 / 0,4 / 4 und 2 in den entsprechenden Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Reelle Lösungen:

x3 = -0,54249

x4 = -2,30685

Komplexe Lösungen:

x1 = 4,426167 + j3,5932

x2 = 4,426167 - j3,5932
 

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