MathProf - Gleichung 2. Grades - Gleichung 3. Grades - Lösen
Fachthema: Gleichungen höheren Grades
MathProf - Algebra - Eine Anwendung für technische Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Benutzer aller Altersklassen sowie für alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und Darstellen der Lösungen von Gleichungen höheren Grades. Zu diesen zählen Polynome 2. Grades, Polynome 3. Grades sowie Polynome 4. Grades.
Dieses Teilprogramm ermöglicht unter anderem das Lösen linearer Gleichungen, quadratischer Gleichungen, kubischer Gleichungen sowie biquadratischer Gleichungen.
Mit Hilfe dessen lassen sich somit die Nullstellen von Gleichungen 2. Grades, von Gleichungen 3. Grades und von Gleichungen 4. Grades bzw. vom Polynom 2. Grades, vom Polynom 3. Grades und vom Polynom 4. Grades ermitteln. Auch komplexe Nullstellen definierter Polynome werden ausgegeben.
Des Weiteren lässt dieses Unterprogramm das Zeichnen der Graphen von Gleichungen dieser Art zu. Zudem ist es möglich, sich die 1. Ableitung und der 2. Ableitung einer definierten ganzrationalen Funktion darstellen zu lassen.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Gleichungen 2. Grades - Gleichungen 3. Grades - Gleichungen 4. Grades - Polynome 2. Grades - Polynome 3. Grades - Polynome 4. Grades - Biquadratische Gleichung - Biquadratische Gleichungen - Gleichungen höheren Grades - Gleichungen höherer Ordnung - Funktionen höheren Grades - Parabel 3. Ordnung - Parabel 4. Ordnung - Parabel 3. Grades - Parabel 4. Grades - Gleichung 3. Grades - Gleichung 4. Grades - Gleichung 3. Ordnung - Gleichung 4. Ordnung - Gleichung 2. Grades - Gleichungen zweiten Grades - Gleichung dritten Grades - Gleichungen dritten Grades - Gleichung vierten Grades - Gleichungen vierten Grades - Polynom 2. Grades - Polynom 3. Grades - Polynom 4. Grades - Gleichung höherer Ordnung - Gleichung höheren Grades - Lösungen - Gleichung dritter Ordnung - Gleichung vierter Ordnung - Polynomiale Gleichung - Nullstellen - Komplexe Nullstellen - Komplexe Lösungen - Gleichungen ganzrationaler Funktionen - Komplexe Nullstellen - Gleichungen höherer Ordnung - Bilder - Beispielaufgaben - Lösen - Wie - Was - Bedeutung - Was bedeutet - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Einführung - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Definition - Darstellung - Zeichnen - Komplex - Rechner - Ableitung - Ableiten - Berechnen - Plotten - Darstellen - Graph - Plotten |
Gleichungen höheren Grades
Modul Gleichungen 2. - 4. Grades
Das kleine Unterprogramm [Algebra] - Gleichungen 2.- 4. Grades ermöglicht die Ermittlung reeller, wie komplexer Lösungen von Funktionsgleichungen (Polynomen) höheren Grades (Gleichungen zweiten bis vierten Grades).
Für die Lösungen von Gleichungen (Polynomen) bis 4. Grades (biquadratische Gleichungen) existieren bereits seit dem Mittelalter Lösungsformeln. Durch eine Verwendung dieser ist es außerdem möglich, die Lösungen derartiger Gleichungen innerhalb des Bereichs der komplexen Zahlen zu ermitteln. Mit Hilfe dieses Unterprogramms können Sie sich die reellen, wie auch komplexen Lösungen von Gleichungen (komplexe Nullstellen) folgender Form errechnen lassen:
bzw.
Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung vierten Grades, die keine ungeradzahligen Exponenten enthält. Sie besitzt die Form a·x4 + b·x² + c = 0 und ist ein Sonderfall der zuvor aufgeführten Gleichungen.
Hinweis:
Durch die Eingabe von Zahlenwerten können lediglich die Lösungen von Gleichungen ab Grad 2 errechnet werden. Achten Sie deshalb bei der Eingabe von Werten darauf, dass hierdurch eine derartige Gleichung beschrieben wird.
Berechnung und Darstellung
Verfahren Sie wie nachfolgend beschrieben, um Gleichungen höheren Grades dieser Art mit Hilfe dieses Moduls lösen zu lassen und sich themenrelevante Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
-
Geben Sie die Koeffizientenwerte der entsprechenden Gleichung in die dafür vorgesehenen Felder ein.
-
Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
-
Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen erfolgt die Ausgabe der grafischen Darstellung.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Lsg. markieren: Markierung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
- Lsg. beschr.: Beschriftung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
- 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten
- 2. Ableitung: Darstellung der 2. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Beispiele
Beispiel 1:
Es gilt, die Lösungen der folgenden Gleichung höheren Grades ermitteln zu lassen:
y = -2·x³+2·x²+x-1 = 0
Vorgehensweise und Lösung:
Nach Eingabe der Koeffizientenwerte 0 / -2 / 2 / 1 und -1 in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden folgende reelle Lösungen ausgegeben:
x1 = -0,7071
x2 = 1
x3 = 0,7071
Beispiel 2:
Es sind die Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichung zu ermitteln:
y = 0,05·x4-0,3·x³+0,4·x²+4·x+2 = 0
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Festlegung der Koeffizientenwerte 0,05 / -0,3 / 0,4 / 4 und 2 in den entsprechenden Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:
Reelle Lösungen:
x3 = -0,54249
x4 = -2,30685
Komplexe Lösungen:
x1 = 4,426167 + j3,5932
x2 = 4,426167 - j3,5932
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Polynom zu finden.
Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
Startfenster des Unterprogramms Gleichungen 2.- 4. Grades
MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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