MathProf - Kreis - Kreisfläche - Schnittpunkte zweier Kreise - Kreisumfang

MathProf - Mathematik-Software - Kreise | Schnittpunkte | Tangente | Normale | Chordale

Fachthema: Kreise - Schnittpunkte 

MathProf - Elementargeometrie - Software für interaktive Mathematik für das Berufskolleg, das Abitur und das Studium zum Lösen verschiedenster Aufgaben aus unterschiedlichsten Themengebieten und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kreise | Schnittpunkte | Tangente | Normale | Chordale

Online-Hilfe
für das Modul zur Praktizierung numerischer und grafischer Untersuchungen mit den Gleichungen von zwei Kreisen.

In diesem Teilprogramm können Kreisgleichungen in verschiedenen Varianten definiert werden. Bei der Ausführung von Untersuchungen erfolgt unter anderem das Berechnen der Schnittpunkte zweier Kreise sowie die Analyse der Lagebeziehung Kreis-Kreis.

Zu untersuchende Kreise können in Form einer Koordinatengleichung, in Parameterdarstellung, in vektorieller Form, in Dreipunkteform oder in Form einer Scheitelgleichung definiert werden.

Neben der Durchführung sonstiger Kreisberechnungen können in diesem Programmteil auch Tangenten und Normalen, welche durch die Schnittpunkte zweier Kreise verlaufen, berechnet und dargestellt werden. Implementiert ist zudem ein Kreisrechner, welcher das Berechnen des Kreisradius, der Kreisfläche, des Kreisumfangs sowie des Mittelpunkts eines definierten Kreises vollführt.


Der eingebundene Rechner führt alle relevanten Analysen zu diesem Fachthema durch und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht die Berechnung der Werte aller wesentlicher Größen zu diesem Fachthema.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Zwei Kreise - Schnittpunkte - Berechnung und Darstellung von Tangente, Normale und Chordale in den Schnittpunkten zweier Kreise - Kreisflächenberechnung - Flächeninhalt eines Kreises - Flächenberechnung eines Kreises - Radius eines Kreises - Durchmesser eines Kreises - Umfang eines Kreises - Eigenschaften eines Kreises - Kreis Kreis - Chordale - Kreisfunktion - Flächenberechnung von Kreisen - Kreise berechnen - Berührpunkt zweier Kreise - Zwei sich schneidende Kreise - Schnittpunkte zweier Kreise - Schnittpunkte Kreis Kreis - Lagebeziehung Kreis Kreis - Berührungspunkt zweier Kreise - Kreisberechnungen mit zwei Kreisen - Kreismittelpunkt bestimmen - Gegenseitige Lage von Kreisen

 
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Kreis - Kreis

 

Das Modul [Geometrie] -[ Kreis] - Kreis - Kreis bietet die Möglichkeit, Untersuchungen und Kreisberechnungen mit Gleichungen von Kreisen verschiedener Definitionsformen durchzuführen.

 

MathProf - Kreise - Schnittpunkte - Umfang - Gleichung - Fläche - Kreisfläche - Kreisflächenberechnung

 

Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Mittelpunktform des Kreises
    (x-xm)²+(y-ym)² = r²
     
  • 3-Punkte-Form des Kreises (Kreis durch 3 Punkte)
    Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)
     
  • Vektorielle Form des Kreises (Vektorgleichung - Vektorform)
    Kreis - Gleichung  - 1
     
  • Koordinatenform des Kreises
    x²+y²+a·x+b·y+c = 0
     
  • Parameterform des Kreises
    x = r·cos(k)+x0
    y = r·sin(k)+y0
     
  • Scheitelgleichung des Kreises
  • y² = 2·r·x-x²

Bei der Durchführung von Untersuchungen in diesem Modul werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
  • Schnittpunkte der Kreise
  • Tangenten und Normalen in Schnittpunkten der Kreise
  • Chordale der Kreise

Berechnung und Darstellung

MathProf - Kreis - Gleichung - Schnittpunkte - Mittelpunkt - Radius - Umfang - Fläche - Chordale - Kreise - Lagebeziehung Kreis - Schnittpunkte zweier Kreise - Zwei Kreise - Kreisflächenberechnung - Kreisberechnung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen mit Kreisen vorzunehmen:

  1. Benutzen Sie die linksseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K1 auszuwählen und die rechtsseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K2 festzulegen.
     
  2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Kreise K1 und K2 in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:

    Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für
    Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
    Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x0 und y0 des Mittelpunkts und Parameter
    Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
    Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x0 und y0
    Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
     
  3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
     
  4. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

MathProf - Kreise - Chordale - Tangenten - Normalen - Schnittpunkte - Kreisfläche

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kreises K2 in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises K2 in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Chordale: Darstellung der Chordale der beiden Kreise ein-/ausschalten
  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kreis – Kreis - Interaktiv

Kreis - Punkt

Kreis - Punkt - Interaktiv

Kreis - Gerade

Kreis - Gerade - Interaktiv

 

 

Beispiele


Beispiel 1:

Ein Kreis K1 sei durch die Gleichung X² + Y² + 1·X - 7·Y + 1 = 0 beschrieben. Von einem zweiten Kreis K2 sei bekannt, dass dieser seinen Mittelpunkt in M (3 / 3) sowie einen Radius r = 4 besitzt. Es gilt, die Schnittpunkte dieser, sowie die Tangenten und die Normalen des Kreises K2 in diesen Schnittpunkten ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Koordinatenform aus der linksseitig positionierten Auswahlbox und den Eintrag Mittelpunktform aus der rechtsseitig positionierten Auswahlbox, da Kreis K2 durch die Gleichung (x-xm)²+(y-ym)² = r² beschrieben werden kann.

Definieren Sie in den Eingabefeldern für Kreis K1 die Koeffizientenwerte a = 1, b = -7 und c = 1. Geben Sie in die Felder für Kreis K2 die Werte für x0 = 3, y0 = 3 ein. Das Feld mit der Bezeichnung erhält den Wert 4.

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für Kreis K1:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X+0,5)² + (Y-3,5)² = 3,391²

Mittelpunkt: M1 (-0,5 / 3,5)
Radius: r = 3,391
Fläche (Flächeninhalt): A = 36,128 FE
Umfang: U = 21,307

 

Für Kreis K2:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X-3)² + (Y-3)² = 4²

Mittelpunkt: M2 (3 / 3)
Radius: r = 4
Fläche (Flächeninhalt): A = 50,265 FE
Umfang: U = 25,133
 

Schnittpunkte beider Kreise:

 

Schnittpunkt 1: S1 (1,072 / 6,505)
Schnittpunkt 2: S2 (0,168 / 0,175)


Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 6,394

 

Gleichung der Chordale der beiden Kreise: Y = 7·X-1

 

Gleichungen der Tangenten an Kreis K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Tangente 1: Y = -0,523·X + 7,066
Tangente 2: Y = 0,201·X + 0,142
 

Gleichungen der Normalen des Kreises K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Normale 1: Y = 1,911·X + 4,456
Normale 2: Y = -4,978·X + 1,011


Beispiel 2:

Ein Kreis sei durch die Scheitelgleichung Y² = 2·5·X - X² definiert. Ein zweiter sei durch die drei auf seiner Peripherie liegenden Punkte A (6 / -5), B (3 / 4) und C (-3 / 1) definiert. Es ist die Chordale dieser Kreise zu ermitteln. Zudem sind die Tangenten, sowie die Normalen des Kreises K2 in den Schnittpunkten der beiden Kreise auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Scheitelgleichung aus der linksseitig positionierten Auswahlbox, sowie den Eintrag 3-Punkte-Form aus der rechtsseitig positionierten Auswahlbox.

Definieren Sie im Eingabefeld für Kreis K1 den Wert r = 5, in den Feldern für Kreis K2 die Koordinatenwerte für die Punkte A, B und C.

Führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Berechnen aus, so ermittelt das Programm:

Für Kreis K1:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X-5)² + Y² = 5²

Mittelpunkt: M1 (5 / 0)
Radius: r = 5
Fläche (Flächeninhalt): A = 78,54 FE
Umfang: U = 31,416

 

Für Kreis K2:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X-1,929)² + (Y+1,357)² = 5,463²

Mittelpunkt: M2 (1,929 / -1,357)
Radius: r = 5,463
Fläche (Flächeninhalt): A = 93,767 FE
Umfang: U = 34,327

 

Schnittpunkte beider Kreise:

 

Schnittpunkt 1: S1 (2,141 / 4,102)
Schnittpunkt 2: S2 (6,108 / -4,876)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 9,815

 

Gleichung der Chordale der beiden Kreise: Y = -2,263·X + 8,948

 

Gleichungen der Tangenten an Kreis K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Tangente 1: Y = 0,697·X + 2,61
Tangente 2: Y = 0,227·X - 6,264
 

Gleichungen der Normalen des Kreises K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Normale 1: Y = -1,435·X + 7,175
Normale 2: Y = -4,399·X + 21,997

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Kreis - Kreisgleichung - Schnittpunkte - Lagebeziehung - Tangente - Normale - Kreisberechnung - Chordale - Beispiel - Kreis durch 3 Punkte - Zwei Kreise - Kreisflächenberechnung - Kreisberechnung
MathProf - Kreise - Tangenten - Berührpunkt - Gleichung - Sehnenlänge - Gleichungen - Kreisgleichungen - Beispiel - Zwei Kreise - Kreisflächenberechnung - Kreisberechnung
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MathProf - Kreis - Kreisgleichung - Kreisberechnung - Kreisgleichungen - Tangenten - Berührpunkt - Gleichungen - Beispiel - Schnittpunkte zweier Kreise - Zwei Kreise - Kreisflächenberechnung

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kreis
Wikipedia - Kreistangente
Wikipedia - Pol und Polare

 
Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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