MathProf - Kreis - Kreisfläche - Schnittpunkte zweier Kreise - Kreisumfang - Schnittpunkte Kreis-Kreis - Kreisberechnung

MathProf - Mathematik-Software - Kreise | Schnittpunkte | Tangente | Normale | Chordale

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MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kreise | Schnittpunkte | Tangente | Normale | Chordale

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Untersuchungen mit den
Gleichungen von zwei Kreisen.

In diesem Teilprogramm können Kreisgleichungen in verschiedenen Varianten definiert werden. Bei der Ausführung von Untersuchungen erfolgt unter anderem das Berechnen der Schnittpunkte zweier Kreise sowie die Analyse der Lagebeziehung Kreis-Kreis.

Zu untersuchende Kreise können in Form einer Koordinatengleichung, in Parameterdarstellung, in vektorieller Form, in Dreipunkteform oder in Form einer Scheitelgleichung definiert werden.

Neben anderen Kreisberechnungen können auch Tangenten und Normalen, welche durch die Schnittpunkte zweier Kreise verlaufen, berechnet und dargestellt werden. Integriert ist zudem ein Kreisrechner, welcher das Berechnen des Kreisradius, der Kreisfläche, des Kreisumfangs sowie des Mittelpunkts eines definierten Kreises praktiziert.


Der Rechner führt alle relevanten Analysen zu diesem Fachthema durch und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht die Berechnung der Werte aller wesentlicher Größen zu diesem Fachthema.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

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Themen und Stichworte:

Berechnung und Darstellung von Tangente, Normale und Chordale in den Schnittpunkten zweier Kreise - Kreisflächenberechnung - Flächeninhalt eines Kreises - Flächenberechnung eines Kreises - Radius eines Kreises - Durchmesser eines Kreises - Umfang eines Kreises - Eigenschaften eines Kreises - Flächenberechnung von Kreisen - Kreise berechnen - Berührpunkt zweier Kreise - Schnittpunkte zweier Kreise - Kreisberechnungen mit zwei Kreisen - Kreismittelpunkt bestimmen

 

Kreis - Kreis

 

Das Modul [Geometrie] -[ Kreis] - Kreis - Kreis bietet die Möglichkeit, Untersuchungen und Kreisberechnungen mit Gleichungen von Kreisen verschiedener Definitionsformen durchzuführen.

 

MathProf - Kreise - Schnittpunkte - Umfang - Gleichung - Fläche - Kreisfläche - Kreisflächenberechnung

 

Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Mittelpunktform des Kreises
    (x-xm)²+(y-ym)² = r²
     
  • 3-Punkte-Form des Kreises (Kreis durch 3 Punkte)
    Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)
     
  • Vektorielle Form des Kreises (Vektorgleichung - Vektorform)
    Kreis - Gleichung  - 1
     
  • Koordinatenform des Kreises
    x²+y²+a·x+b·y+c = 0
     
  • Parameterform des Kreises
    x = r·cos(k)+x0
    y = r·sin(k)+y0
     
  • Scheitelgleichung des Kreises
  • y² = 2·r·x-x²

Bei der Durchführung von Untersuchungen in diesem Modul werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
  • Schnittpunkte der Kreise
  • Tangenten und Normalen in Schnittpunkten der Kreise
  • Chordale der Kreise

Berechnung und Darstellung

MathProf - Kreis - Gleichung - Schnittpunkte - Mittelpunkt - Radius - Umfang - Fläche - Chordale - Kreise - Lagebeziehung Kreis - Schnittpunkte zweier Kreise - Zwei Kreise - Kreisflächenberechnung - Kreisberechnung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen mit Kreisen vorzunehmen:

  1. Benutzen Sie die linksseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K1 auszuwählen und die rechtsseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K2 festzulegen.
     
  2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Kreise K1 und K2 in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:

    Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für
    Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
    Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x0 und y0 des Mittelpunkts und Parameter
    Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
    Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x0 und y0
    Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
     
  3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
     
  4. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

MathProf - Kreise - Chordale - Tangenten - Normalen - Schnittpunkte - Kreisfläche

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kreises K2 in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises K2 in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Chordale: Darstellung der Chordale der beiden Kreise ein-/ausschalten
  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kreis – Kreis - Interaktiv

Kreis - Punkt

Kreis - Punkt - Interaktiv

Kreis - Gerade

Kreis - Gerade - Interaktiv

 

 

Beispiele


Beispiel 1:

Ein Kreis K1 sei durch die Gleichung X² + Y² + 1·X - 7·Y + 1 = 0 beschrieben. Von einem zweiten Kreis K2 sei bekannt, dass dieser seinen Mittelpunkt in M (3 / 3) sowie einen Radius r = 4 besitzt. Es gilt, die Schnittpunkte dieser, sowie die Tangenten und die Normalen des Kreises K2 in diesen Schnittpunkten ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Koordinatenform aus der linksseitig positionierten Auswahlbox und den Eintrag Mittelpunktform aus der rechtsseitig positionierten Auswahlbox, da Kreis K2 durch die Gleichung (x-xm)²+(y-ym)² = r² beschrieben werden kann.

Definieren Sie in den Eingabefeldern für Kreis K1 die Koeffizientenwerte a = 1, b = -7 und c = 1. Geben Sie in die Felder für Kreis K2 die Werte für x0 = 3, y0 = 3 ein. Das Feld mit der Bezeichnung erhält den Wert 4.

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für Kreis K1:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X+0,5)² + (Y-3,5)² = 3,391²

Mittelpunkt: M1 (-0,5 / 3,5)
Radius: r = 3,391
Fläche (Flächeninhalt): A = 36,128 FE
Umfang: U = 21,307

 

Für Kreis K2:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X-3)² + (Y-3)² = 4²

Mittelpunkt: M2 (3 / 3)
Radius: r = 4
Fläche (Flächeninhalt): A = 50,265 FE
Umfang: U = 25,133
 

Schnittpunkte beider Kreise:

 

Schnittpunkt 1: S1 (1,072 / 6,505)
Schnittpunkt 2: S2 (0,168 / 0,175)


Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 6,394

 

Gleichung der Chordale der beiden Kreise: Y = 7·X-1

 

Gleichungen der Tangenten an Kreis K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Tangente 1: Y = -0,523·X + 7,066
Tangente 2: Y = 0,201·X + 0,142
 

Gleichungen der Normalen des Kreises K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Normale 1: Y = 1,911·X + 4,456
Normale 2: Y = -4,978·X + 1,011


Beispiel 2:

Ein Kreis sei durch die Scheitelgleichung Y² = 2·5·X - X² definiert. Ein zweiter sei durch die drei auf seiner Peripherie liegenden Punkte A (6 / -5), B (3 / 4) und C (-3 / 1) definiert. Es ist die Chordale dieser Kreise zu ermitteln. Zudem sind die Tangenten, sowie die Normalen des Kreises K2 in den Schnittpunkten der beiden Kreise auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Scheitelgleichung aus der linksseitig positionierten Auswahlbox, sowie den Eintrag 3-Punkte-Form aus der rechtsseitig positionierten Auswahlbox.

Definieren Sie im Eingabefeld für Kreis K1 den Wert r = 5, in den Feldern für Kreis K2 die Koordinatenwerte für die Punkte A, B und C.

Führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Berechnen aus, so ermittelt das Programm:

Für Kreis K1:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X-5)² + Y² = 5²

Mittelpunkt: M1 (5 / 0)
Radius: r = 5
Fläche (Flächeninhalt): A = 78,54 FE
Umfang: U = 31,416

 

Für Kreis K2:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X-1,929)² + (Y+1,357)² = 5,463²

Mittelpunkt: M2 (1,929 / -1,357)
Radius: r = 5,463
Fläche (Flächeninhalt): A = 93,767 FE
Umfang: U = 34,327

 

Schnittpunkte beider Kreise:

 

Schnittpunkt 1: S1 (2,141 / 4,102)
Schnittpunkt 2: S2 (6,108 / -4,876)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 9,815

 

Gleichung der Chordale der beiden Kreise: Y = -2,263·X + 8,948

 

Gleichungen der Tangenten an Kreis K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Tangente 1: Y = 0,697·X + 2,61
Tangente 2: Y = 0,227·X - 6,264
 

Gleichungen der Normalen des Kreises K2 in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Normale 1: Y = -1,435·X + 7,175
Normale 2: Y = -4,399·X + 21,997

 

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