MathProf - Geometrische Verteilung - Formel - Verteilung - Statistik

 

Modul Geometrische Verteilung

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Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - Geometrische Verteilung lassen sich Berechnungen mit geometrisch verteilten Größen durchführen. Ermittelte Werte werden in Tabellen (Wahrscheinlichkeitstabellen) ausgegeben und Zusammenhänge zu diesem Fachthema können grafisch veranschaulicht werden.

 

Bei einer geometrischen Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von einem Parameter abhängig ist. Sie leitet sich aus unabhängigen Bernoulli-Experimenten ab und gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit n Versuche benötigt werden, um einen Erfolg zu erzielen.

Geometrische Verteilungen liegen dann als Wahrscheinlichkeitsmodell zugrunde, wenn es um diskrete Zufallsvorgänge geht, welche solange wiederholt werden, bis das erste Mal das interessierende Ereignis eintritt. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, bei der nächsten Durchführung des Experiments erfolgreich zu sein, unabhängig von vorher getätigten Versuchen ist. Die Geometrische Verteilung ist eine einparametrige, diskrete Verteilung. Zufallsvorgänge dieser Art werden auch unter Bezeichnungen wie "Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg" vorgestellt. Dies kann genutzt werden, um den Erwartungswert der Anzahl notwendiger Versuche zu berechnen.
 

Konkret bedeutet dies, dass beispielsweise die Lebensdauer einer Glühbirne dadurch überprüft wird, nach welchem Zeitintervall diese nicht mehr funktioniert. Dieses Zeitintervall ist dann die Zufallsvariable k, die die Zeit beinhaltet, bei welcher das Ereignis "defekt" (erstmalig) aufgetreten ist. Der Erwartungswert einer geometrischen Verteilung beträgt E(x) = 1/p.

 

 
Wahrscheinlichkeitsfunktion:

 

Variante 1: Wahrscheinlichkeit genau n Versuche zu benötigen, um zum ersten Erfolg zu kommen
 

 

Variante 2: Wahrscheinlichkeit n Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben
 

 
Verteilungsfunktion:

 
Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis höchstens zu erwarten ist P(X ≤  k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet (Kumulierte Wahrscheinlichkeit).

 

Variante 1: Wahrscheinlichkeit genau n Versuche zu benötigen, um zum ersten Erfolg zu kommen
 

 

Variante 2: Wahrscheinlichkeit n Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben
 

 

p: Wahrscheinlichkeit

k: Anzahl durchzuführender Versuche bis zum erstmaligen Eintritt des interessierenden Ereignisses

 

 

 
In diesem Modul kann der Einfluss der Wahrscheinlichkeit auf den Verlauf der Verteilungs- und Dichtefunktion bei einer geometrischen Verteilung untersucht werden. Es wird ausschließlich oben beschriebene Variante 1 behandelt.

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Dichte

Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Verteilung
 

Um Berechnungen durchführen zu lassen und derartige Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

1. Legen Sie im Feld Anzahl Versuche n die Anzahl durchzuführender Versuche fest und geben Sie in das Feld Wahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit ein, mit welcher das interessierende Ereignis eintritt.
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X=k) sowie für die Verteilung F(X) für k = 0...x in den Tabellen ausgegeben.
    
3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Geometrische Verteilung - Interaktiv

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

 

 

Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" darf eine Figur erstmals ins Spiel gebracht werden, wenn eine Sechs gewürfelt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der ersten drei Würfe mindestens einmal eine Sechs zu würfeln?

 

 

Wahrscheinlichkeit: p = 1/6

Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg: k = 2

 

 

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der ersten drei Würfe eine Sechs zu würfeln ca. 42%.

 

Nach Eingabe der Werte k = 2 und p = 0,166666 in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen kann der Wert 0,421949 aus der rechtsseitig angeordneten Tabelle für Werte der Verteilung entnommen werden.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Dichte


Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Verteilung


Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Verteilung

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Geometrische Verteilung zu finden.

  

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Geometrische Verteilung
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Hypergeometrische Verteilung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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