MathProf - Geometrische Verteilung (Wahrscheinlichkeitsrechnung)

 

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung von Analysen
mit geometrisch verteilten Zufallsgrößen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Darstellung der Dichtefunktion
und der Verteilungsfunktion.

Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - Geometrische Verteilung lassen sich Berechnungen mit geometrisch verteilten Größen durchführen. Ermittelte Werte werden in Tabellen ausgegeben und Zusammenhänge zu diesem Fachthema können grafisch veranschaulicht werden.

Geometrische Verteilungen liegen dann als Wahrscheinlichkeitsmodell zugrunde, wenn es um diskrete Zufallsvorgänge geht, welche solange wiederholt werden, bis das erste Mal das interessierende Ereignis eintritt. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, bei der nächsten Durchführung des Experiments erfolgreich zu sein, unabhängig von vorher getätigten Versuchen ist. Die Geometrische Verteilung ist eine einparametrige, diskrete Verteilung. Zufallsvorgänge dieser Art werden auch unter Bezeichnungen wie "Verteilung des Wartens auf den ersten Erfolg" vorgestellt. Dies kann genutzt werden, um den Erwartungswert der Anzahl notwendiger Versuche zu berechnen.
 

Konkret bedeutet dies, dass beispielsweise die Lebensdauer einer Glühbirne dadurch überprüft wird, nach welchem Zeitintervall diese nicht mehr funktioniert. Dieses Zeitintervall ist dann die Zufallsvariable k, die die Zeit beinhaltet, bei welcher das Ereignis "defekt" (erstmalig) aufgetreten ist.

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Variante 1: Wahrscheinlichkeit genau n Versuche zu benötigen, um zum ersten Erfolg zu kommen
 

Variante 2: Wahrscheinlichkeit n Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben
 

Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis höchstens zu erwarten ist P(X ≤  k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet.

Verteilungsfunktion:

Variante 1: Wahrscheinlichkeit genau n Versuche zu benötigen, um zum ersten Erfolg zu kommen
 

Variante 2: Wahrscheinlichkeit n Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben
 

p: Wahrscheinlichkeit

k: Anzahl durchzuführender Versuche bis zum erstmaligen Eintritt des interessierenden Ereignisses

In diesem Modul kann der Einfluss der Wahrscheinlichkeit auf den Verlauf der Verteilungs- und Dichtefunktion bei einer Geometrischen Verteilung untersucht werden. Es wird ausschließlich oben beschriebene Variante 1 behandelt.

Um Berechnungen durchführen zu lassen und derartige Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:

1. Legen Sie im Feld Anzahl Versuche n die Anzahl durchzuführender Versuche fest und geben Sie in das Feld Wahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit ein, mit welcher das interessierende Ereignis eintritt.
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X=k) sowie für die Verteilung F(X) für k = 0...x in den Tabellen ausgegeben.
    
3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Geometrische Verteilung - Interaktiv

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" darf eine Figur erstmals ins Spiel gebracht werden, wenn eine Sechs gewürfelt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der ersten drei Würfe mindestens einmal eine Sechs zu würfeln?

Wahrscheinlichkeit: p = 1/6

Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg: k = 2

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der ersten drei Würfe eine Sechs zu würfeln ca. 42%.

Nach Eingabe der Werte k = 2 und p = 0,166666 in die entsprechenden Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen kann der Wert 0,421949 aus der rechtsseitig angeordneten Tabelle für Werte der Verteilung entnommen werden.
 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

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