MathProf - Gerade - Gerade (Schnittpunkt - Nullstelle)

Science for all - Maths for you

 

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Gerade - Gerade
(Schnittpunkt - Nullstelle)

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Gerade- Gerade ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen bzgl. der Eigenschaften einer Gerade, sowie der Schnitte zweier Geraden.

 

MathProf - Geraden - Schnittpunkt


Geraden können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Steigungs-Form
    y = m·x+b
     
  • Zwei-Punkte-Form
    Geraden - Gleichung  - 1
     
  • Hessesche Normalenform
    x·cos(β)+y·sin(β) = p
     
  • Achsenabschnittsform
    Geraden - Gleichung  - 2

     
  • Allgemeine Form
    a·x + b·y + c = 0

Bei der Durchführung von Untersuchungen werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Funktionsgleichungen der Geraden
  • Nullstellen der Geraden
  • Schnittpunkt der Geraden
  • Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse
  • Winkelhalbierende der Geraden

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Gerade - Steigung


Analysen mit Geraden können Sie folgendermaßen durchführen:

  1. Möchten Sie Analysen mit nur einer Geraden durchführen, so wählen Sie den Eintrag Gerade g1 bzw. Gerade g2 aus der aufklappbaren Auswahlbox im Formularbereich Einstellung. Sollen hingegen Analysen mit zwei Geraden durchgeführt werden, so wählen Sie den Eintrag Beide Geraden.
     
  2. Benutzen Sie die linksseitig angeordnete, aufklappbare Auswahlbox um die Definitionsform der Gerade g1 auszuwählen und die rechtsseitig angeordnete, aufklappbare Auswahlbox mit der Bezeichnung g2, um die Definitionsform der zweiten Gerade g2 zu selektieren.
     
  3. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:

    Gerade in Steigungsform: Steigung m und Koeffizient b
    Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel
    β und Koeffizient p
    Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b 
    Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und
    Gerade in Zwei-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2
     
  4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Bedienformular

MathProf - Gerade - Nullstelle

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Nullstellen: Markierung der Nullstelle(n) der Funktion(en) ein-/ausschalten
  • Schnittpunkt: Darstellung des Schnittpunkts zweier Geraden ein-/ausschalten
  • Winkelhalb: Darstellung der Winkelhalbierenden zweier Geraden ein-/ausschalten
  • Geradenpunkte: Markierung der Geradenpunkte (bei Zwei-Punkte-Form) ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

 

Beispiele


Beispiel 1 - Gerade in Achsenabschnittsform:

Von einer Gerade g sei bekannt, dass diese in Achsenabschnittsform definiert ist und die Achsenabschnitte dieser die Werte a = 12 und b = 3 besitzen. Es sind die Eigenschaften dieser Gerade zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Gerade g1 aus der Auswahlbox im Formularbereich Einstellung und aus der linksseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Achsenabschnittsform.

Nach einer Eingabe der Werte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Funktionsgleichung der Gerade: X/(12) + Y/3 = 1

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = -0,25·X+3

Steigung der Gerade: m = -0,25

Steigungswinkel der Gerade: -14,036°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 2,91

Nullstelle: N (12 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 3)
 

Beispiel 2 - Zwei Geraden in 2-Punkte-Form:

Eine Gerade g1 verlaufe durch die Punkte P1 (1 / 0) und  P2 (0 / 2). Von einer zweiten Gerade g2 sei bekannt, dass diese durch die Punkte Q1 (3 / 5) und Q2 (0 / 4) verlaufe. Es gilt die Eigenschaften der Gerade ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Beide Geraden aus der aufklappbaren Auswahlbox im Formularbereich Einstellung, sowie aus der linksseitig, als auch aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag 2-Punkte-Form.

Geben Sie die Werte der vier Punkte in die dafür relevanten Felder ein, so ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Für Gerade g1:

 

Funktionsgleichung der Gerade: Y = -2·X+2

Steigung der Gerade: m = -2

Steigungswinkel der Gerade: -63.435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,894

Nullstelle: N (1 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 2)

 

Für Gerade g2:

 

Funktionsgleichung der Gerade: Y = 0,333·X+4

Steigung der Gerade: m = 0,333

Steigungswinkel der Gerade: 18.435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,795

Nullstelle: N (-12 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 4)

 

Für den Schnitt der beiden Geraden:

 

Schnittpunkt: S (-0,857 / 3,714)

 

Für die Winkelhalbierenden der beiden Geraden:

 

Winkelhalbierende 1: Y = -0,414·X+3,359

Winkelhalbierende 2: Y = 2,414·X+5,784
 

Beispiel 3 - Gerade in Hessescher Normalenform und Gerade in allgemeiner Form:

Eine Gerade g1 besitze den Abstand von p = 3 vom Ursprung und deren Winkel zwischen dem Lot p und der positiven x-Richtung betrage 315°. Diese kann somit in Hessescher Normalenform beschrieben werden mit der Gleichung X·COS(315°) + Y·SIN(315°)+ 3 = 0. Von einer weiteren Gerade g2 sei bekannt, dass diese in allgemeiner Form definiert ist und deren Koeffizienten die Werte a = -5, b = 2 sowie c = -4 besitzen. Es gilt die Eigenschaften der Geraden ermitteln zu lassen und deren Schnittpunkt zu bestimmen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Beide Geraden aus der aufklappbaren Auswahlbox im Formularbereich Einstellung. Legen Sie in der linksseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Hessesche Normalenform fest und geben Sie die Werte für β = 315 und p = 3 in die dafür vorgesehenen Felder ein. Legen Sie in der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Allgemeine Form fest und geben Sie die Werte für a = -5, b = 2 und c = -4 in die entsprechenden Felder ein.

Führen Sie hierauf einen Klick auf die Schaltfläche Berechnen aus, so ermittelt das Programm:

Für Gerade g1:

 

Definierte Gleichung der Gerade: X·COS(315°) + Y·SIN(315°)+ 3 = 0

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 1·X-4,243

Steigung der Gerade: m = 1

Steigungswinkel der Gerade: 45°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3

Nullstelle: N (4,243 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / -4,243)

 

Für Gerade g2:

 

Definierte Gleichung der Gerade: -5·X + 2·Y - 4 = 0

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 2,5·X+2

Steigung der Gerade: m = 2,5

Steigungswinkel der Gerade: 68,199°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,743

Nullstelle: N (-0,8 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 2)

 

Für den Schnitt der beiden Geraden:

 

Schnittpunkt: S (-4,162 / -8,404)

 

Für die Winkelhalbierenden der beiden Geraden:

 

Winkelhalbierende 1: Y = 1,517X-2,093

Winkelhalbierende 2: Y = -0,659·X-11,149
 

Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)


Zur Inhaltsseite