MathProf - Taylor - Reihen - Taylorreihe - Potenzreihe - Taylorpolynom

 

Modul Taylor- und Potenzreihen - Interaktiv

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Unter dem Menüpunkt [Analysis] - [Reihen und Synthese] - Taylor- und Potenzreihen - Interaktiv können Taylor- und Potenzreihen interaktiv analysiert werden.

 

Mit Hilfe von Taylor-Reihen können, unter gewissen Voraussetzungen, beliebige mathematische Funktionen durch ganzrationale Funktionen genähert werden. Dies ist u.a. bei der Integration einer Funktion sinnvoll, wenn diese nicht analytisch integrierbar ist.

Für eine Funktion f(x), die hinreichend oft differenzierbar sein muss, kann mit Hilfe der Taylorschen Reihe dieser Funktion der Funktionsterm 



an einer Entwicklungsstelle x₀ ermittelt werden.

Die Genauigkeit mit der sich eine Taylor-Funktion der ursprünglichen Funktion annähert, hängt von der Anzahl verwendeter Summanden ab.

Taylor-Reihen werden verwendet, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte mit Hilfe von Potenzreihen darzustellen. Die Taylor-Reihe einer Funktion f(x) in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion in diesem Punkt.

Beachten Sie:
Wieviele Taylor-Näherungen ermittelt werden können, hängt stark von der vorgegebenen Funktion und der gewählten Entwicklungsstelle ab. Bei einfachen Funktionen können bis zu 8 Näherungen ermittelt werden, während bei komplexeren Funktionen evtl. kein Ergebnis ausgegeben wird.
 

Verwenden Sie nachfolgend geschilderte Vorgehensweise um Taylor-Näherungspolynome an einer vorgegebenen Entwicklungsstelle interaktiv ermitteln zu lassen.
 

1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =. Beachten Sie hierbei die u.a. Einschränkungen.
    
2. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
3. Legen Sie die Anzahl der darzustellenden, ermittelten Taylor-Näherungsfunktionen durch eine Bedienung des Steuerelements Anzahl Fkt. fest.
    
4. Bestimmen Sie die Entwicklungsstelle x₀ zur Ermittlung von Taylor-Reihen (-20 £ x₀ £ 20) durch eine Positionierung des Rollbalkens Entwicklungsstelle x0.
    
5. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
    
6. Um Entwicklungsstellenposition simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation.
   
   Vor Ausführung dieser wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Wählen Sie hier durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Entwicklungsstelle x₀ oder Parameter P, die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und bestätigen Sie mit OK.
   
   Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wurde zur Bildung einer Taylor-Reihe ein Term erstellt, der nicht das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

 
Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkt: Markierung der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten
• Koord.: Koordinatenwertanzeige der Entwicklungsstelle ein-/ausschalten

   
Nicht für alle im Programm, standardmäßig zur Verfügung stehenden, mathematischen Funktionen können Taylor-Reihen entwickelt werden. Bei Verwendung nicht dafür vorgesehener Funktionen wird eine entsprechende Meldung ausgegeben, bzw. bei Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.

Zugelassene Funktionen sind:
SIN,COS,TAN,ARCSIN,ARCCOS,ARCTAN,SINH,COSH,
TANH,LN,LOG,LG und ABS.

Zur Definition einer Wurzelfunktion verwenden Sie die Syntax: X^(0,5) bzw. X^(1/2).
Die Deklaration einer Funktion der Form EXP(X) ist mit E^X festzulegen.

Unter bestimmten Voraussetzungen, bei der Verwendung entsprechender Terme bzw. der Zuweisung entsprechender Untersuchungsstellen, kann es bei der Benutzung dieses Moduls zum Absturz des Programms (bzw. sehr lange andauernder Berechnungszeit) kommen und es erfolgt keine Reaktion mehr auf durchzuführende Ereignisse. Verwenden Sie in diesem Fall die Tastenkombination Strg-Alt-Entf und beenden Sie das Programm im Taskmanager. Nach einem erneuten Start kann es hierauf wieder uneingeschränkt benutzt werden.
   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Taylor- und Potenzreihen
   
Es gilt, Taylor-Näherungsfunktionen für die Funktion f(x) = x/7-cos(1+x) bei Stelle x₀ = 3,2 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Definition des Funktionsterms X/7-COS(1+X) im Eingabefeld f(x,p) =, der Festlegung der Anzahl auszugebender Funktionen auf 3 und der Positionierung des Rollbalkens Entwicklungsstelle x0 auf den Wert 3,2 werden folgende Näherungsfunktionen ermittelt und dargestellt:
 
g1(x) = 16/35-COS(21/5)+(1/7+SIN(21/5))*(X-16/5)
g2(x) = 16/35-COS(21/5)+(1/7+SIN(21/5))*(X-16/5)+(COS(21/5)*(X-16/5)^2)/2
g3(x) = 16/35-COS(21/5)+(1/7+SIN(21/5))*(X-16/5)+(COS(21/5)*(X-16/5)^2)/2-((X-16/5)^3*SIN(21/5))/6
 
Für den Koordinatenwert der Funktion f(x) an der Entwicklungsstelle x₀ = 3,2 wird ausgegeben: y = 0,947
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Taylor-Reihezu finden.

 

 

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Unterprogramm Spline-Interpolation
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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