MathProf - Pfadregeln - Baumdiagramm - Totale Wahrscheinlichkeit - Ereignisse

Fachthema: Pfadregel

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul mit Hilfe dessen sich der Multiplikationssatz
mehrstufiger Laplace-Experimente am Baumdiagramm veranschaulichen lässt.

Dieses Unterprogramm ermöglicht hierdurch die Durchführung der Analyse geltender Sachverhalte bzgl. der Pfadregel.

Nach einer Festlegung relevanter Werte führt der implementierte Rechner die hierfür relevanten Untersuchungen durch, gibt die ermittelten  Ergebnisse sowohl grafisch wie auch in einer Tabelle aus und ermöglicht die Analyse der entsprechenden Zusammenhänge.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Pfadregeln - Summenregel - Mehrstufige Zufallsexperimente - Mehrstufige Zufallsversuche - Zufallsversuch - Einstufiges Zufallsexperiment - Pfade - Regeln - Pfad - Formel - Totale Wahrscheinlichkeit - Zufall und Wahrscheinlichkeit - Zufall - Stochastik - Mathematik - Aufbau - Anzahl - Einstufige Zufallsexperimente - Einstufige Zufallsversuche - Zweistufige Zufallsexperimente - Baumdiagramme - Zweistufiges Baumdiagramm - Dreistufiges Baumdiagramm - Farben - Einstufig - Mehrstufig - Kombinatorik - Satz der totalen Wahrscheinlichkeit - Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit - Laplace-Experiment - Laplace-Versuch - Wahrscheinlichkeit - 1. Pfadregel - 2. Pfadregel - Baumdiagramm - Erste Pfadregel - Zweite Pfadregel - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Multiplikationssatz - Rechner - Ergebnis - Bild - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - Würfel - Würfeln - Kombinationen - Werfen - Erstellen - Beschriften - Dreistufig - Zweistufig - Zeichnen - Zahlen - Würfelzahl - Summe - Addieren - Berechnen - Plotter - Graph - Grafik - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Auswertung - Auswerten - P(a) - P(b) - P(a b) - Beispiel - Definiton - Tabelle - Erklärung - Beschreibung - Schreibweise - Pfadwahrscheinlichkeiten - Additionsregel - Summenregel - Multiplikationsregel - Pfade - Stochastik - Grundlagen - Grundlegendes - Pfadmultiplikationsregel - Pfadadditionsregel - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Wahrscheinlichkeitsbaum - Augenzahl beim Würfeln - Augensumme - Augenzahl - Elementarereignis - Ereignis - Ereignisse - Menge - Ereignismenge - Elementarereignis - Elementarereignisse - Zufälliges Ereignis - Zufällige Ereignisse - Zufällige Vorgänge - Zufallsereignis - Zufallsereignisse - Unmögliches Ereignis - Sicheres Ereignis - Zufallsexperiment - Zufallsexperimente - Zufallsvariable - Zufallsversuch - Unabhängig - Unabhängigkeit - Unabhängigkeit von Ereignissen - Unabhängige Ereignisse - Möglichkeiten beim Würfeln - Augensumme beim Würfeln

 

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Modul Pfadregel

 
Im kleinen Zusatzmodul [Stochastik] - Pfadregel lässt sich der Multiplikationssatz mehrstufiger Laplace-Experimente (Zufallsversuche) am Baumdiagramm veranschaulichen.

Die Pfadregel ermöglicht die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses bei der Durchführung eines mehrstufigen Zufallsexperiments.
 

 
Ein Zufallsexperiment, bei welchem den einzelnen Ereignissen dieselben Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können, wird als Laplace-Experiment bezeichnet. Zufallsexperimente bestehen häufig aus einer bestimmten Anzahl von Teilexperimenten, die hintereinander ausgeführt werden. Die Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten kann in solchen Fällen schnell unübersichtlich werden. Hilfe bietet hierbei die grafische Darstellung mit einem Baumdiagramm. In einem derartigen Diagramm werden die Ausgänge eines Zufallsexperiments als Linien dargestellt und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dazu geschrieben.

Dieses Unterprogramm bietet die Möglichkeit, sich die Zusammenhänge zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten prinzipiell grafisch zu veranschaulichen. Eingesetzt werden kann die Pfadregel dann, wenn ein Laplace-Experiment genau 2 mögliche Elementarereignisse besitzt (z.B. Farbe blau oder grau).
 

Elementarereignis:

Elementarereignisse sind alle möglichen, einander gegenseitig ausschließenden Ausgänge eines beliebig oft wiederholbaren Versuchs bzw. Experiments. Ihre Menge wird mit E bezeichnet. Jede Teilmenge A ⊆ E heißt Ereignis, welches exakt dann eintritt, wenn eines der Elementarereignisse eintritt, aus welchen A besteht.

Unabhängigkeit:

A und B sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten eines Ereignisses keine Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat.

Unmögliches Ereignis:

Ein unmögliches Ereignis A ist ein Ereignis, welches bei jeder Ausführung eines Zufallsexperiments niemals eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines unmöglichen Ereignisses beträgt 0 → P(A) = 0.

Sicheres Ereignis:

Ein sicheres Ereignis A ist ein Ereignis, welches bei jeder Ausführung eines Zufallsexperiments mit Sicherheit eintritt. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines sicheren Ereignisses beträgt 1 → P(A) = 1.
 

1. Pfadregel (Pfadmultiplikationsregel):

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis im Baumdiagramm hinführt. P(D) = P(A) · P_A(D)

2. Pfadregel (Pfadadditionsregel):

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die im Baumdiagramm zu diesem Ereignis gehören. P(D ∪ E) = P(D) + P(E)

Summenregel:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten, welche zu diesem Ereignis führen. Diese kann durch Addition wie folgt bestimmt werden:

P(A) = P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
 

 
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn lediglich bedingte Wahrscheinlichkeiten gegeben sind. Dieser ermöglicht es, Einzelwahrscheinlichkeiten aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Die allgemeine Definition (für mehrere Ereignisse) dessen lautet:


 
Für genau zwei Ereignisse A und B ist dieser wie folgt definiert:
 
P(A ) = P(B) ⋅ P(A|B) + P(B) ⋅ P(A|B)
 

Am Rollbalken mit der Bezeichnung Wahrscheinlichkeit p kann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines der beiden Ereignisse eingestellt werden (voreingestellt: p = 0.5). Mit Hilfe des Rollbalkens Stufen können Sie die Anzahl der Stufen einstellen (voreingestellt: 4).
 

An den Baumknoten werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der entsprechenden Kombination, unter Berücksichtigung der Reihenfolge des Eintretens der Elementarereignisse, angezeigt. Diese werden in der darunter angeordneten Tabelle ausgegeben, wenn das Kontrollkästchen Farben deaktiviert ist. Wird dieses Kontrollkästchen aktiviert, so wird die Reihenfolge der Ereignisse ausgegeben (Zeichenkürzel: b: blau - g: grau).

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Kombinatorik

Urnenmodell

Beispiel 1:

Es erfolgt das zweimalige Werfen einer Münze. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Zahl oder eines Kopfs beträgt 50% bzw. 0.5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach zweimaligem Werfen einmal eine Zahl (blau) sowie einmal ein Kopf (grau) erscheint, resultiert aus den Wahrscheinlichkeiten zweier Pfade. Da zwei Würfe durchgeführt werden, ist der Schieberegler Stufen auf 2 zu positionieren. Unter Anwendung beider Pfadregeln ermittelt das Programm:

P(einmal Kopf und einmal Zahl)
= P(einmal Zahl - einmal Kopf)  + P(einmal Kopf - einmal Zahl)
= 0,5⋅0,5 + 0,5⋅0,5 = 0,25 +0,25
= 0,5



Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach zweimaligen Werfen der Münze je einmal Kopf und Zahl geworfen wird, beträgt somit 50%.

Beispiel 2:

Werden die Wahrscheinlichkeiten für die vier möglichen Ergebnisse nach zweimaligem Würfeln ermittelt, so ergeben sich folgende Resultate:

Beispiel 1


 Beispiel 2

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Baumdiagramm zu finden.

Kombinatorik - Urnenmodell - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

MathProf 5.0 - Unterprogramm Urnenmodelle

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.