MathProf - Pfadregeln - Baumdiagramm - Totale Wahrscheinlichkeit - Ereignisse

Fachthema: Pfadregel
MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul mit Hilfe dessen sich der Multiplikationssatz
mehrstufiger Laplace-Experimente am Baumdiagramm veranschaulichen lässt.
Dieses Unterprogramm ermöglicht hierdurch die Durchführung der Analyse geltender Sachverhalte bzgl. der Pfadregel.
Nach einer Festlegung relevanter Werte führt der implementierte Rechner die hierfür relevanten Untersuchungen durch, gibt die ermittelten Ergebnisse sowohl grafisch wie auch in einer Tabelle aus und ermöglicht die Analyse der entsprechenden Zusammenhänge.

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Pfadregeln - Summenregel - Mehrstufige Zufallsexperimente - Mehrstufige Zufallsversuche - Zufallsversuch - Einstufiges Zufallsexperiment - Pfade - Regeln - Pfad - Formel - Totale Wahrscheinlichkeit - Zufall und Wahrscheinlichkeit - Zufall - Stochastik - Mathematik - Aufbau - Anzahl - Einstufige Zufallsexperimente - Einstufige Zufallsversuche - Zweistufige Zufallsexperimente - Baumdiagramme - Zweistufiges Baumdiagramm - Dreistufiges Baumdiagramm - Farben - Einstufig - Mehrstufig - Kombinatorik - Satz der totalen Wahrscheinlichkeit - Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit - Laplace-Experiment - Laplace-Versuch - Wahrscheinlichkeit - 1. Pfadregel - 2. Pfadregel - Baumdiagramm - Erste Pfadregel - Zweite Pfadregel - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Multiplikationssatz - Rechner - Ergebnis - Bild - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - Würfel - Würfeln - Kombinationen - Werfen - Erstellen - Beschriften - Dreistufig - Zweistufig - Zeichnen - Zahlen - Würfelzahl - Summe - Addieren - Berechnen - Plotter - Graph - Grafik - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Auswertung - Auswerten - P(a) - P(b) - P(a b) - Beispiel - Definiton - Tabelle - Was ist - Was sind - Wie viele - Wieviel - Wieviele - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Schreibweise - Pfadwahrscheinlichkeiten - Additionsregel - Summenregel - Multiplikationsregel - Pfade - Stochastik - Grundlagen - Grundlegendes - Pfadmultiplikationsregel - Pfadadditionsregel - Wahrscheinlichkeitsverteilung - Wahrscheinlichkeitsbaum - Augenzahl beim Würfeln - Augensumme - Augenzahl - Elementarereignis - Ereignis - Ereignisse - Menge - Ereignismenge - Elementarereignis - Elementarereignisse - Zufälliges Ereignis - Zufällige Ereignisse - Zufällige Vorgänge - Zufallsereignis - Zufallsereignisse - Unmögliches Ereignis - Sicheres Ereignis - Zusammengesetzte Ereignisse - Zufallsexperiment - Zufallsexperimente - Zufallsvariable - Zufallsversuch - Stochastische Unabhängigkeit - Unabhängig - Unabhängigkeit - Unabhängigkeit von Ereignissen - Unabhängige Ereignisse - Möglichkeiten beim Würfeln - Augensumme beim Würfeln |
Pfadregel - Baumdiagramm - Ereignis
Modul Pfadregel
Im kleinen Zusatzmodul [Stochastik] - Pfadregel lässt sich der Multiplikationssatz mehrstufiger Laplace-Experimente (Zufallsversuche) am Baumdiagramm veranschaulichen.
Die Pfadregel ermöglicht die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses bei der Durchführung eines mehrstufigen Zufallsexperiments.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment, bei welchem den einzelnen Ereignissen dieselben Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können, wird als Laplace-Experiment bezeichnet. Zufallsexperimente bestehen häufig aus einer bestimmten Anzahl von Teilexperimenten, die hintereinander ausgeführt werden. Die Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten kann in solchen Fällen schnell unübersichtlich werden. Hilfe bietet hierbei die grafische Darstellung mit einem Baumdiagramm (Wahrscheinlichkeitsbaum). In einem derartigen Diagramm werden die Ausgänge eines Zufallsexperiments als Linien dargestellt und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dazu geschrieben.
Dieses Unterprogramm bietet die Möglichkeit, sich die Zusammenhänge zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten prinzipiell grafisch zu veranschaulichen. Eingesetzt werden kann die Pfadregel dann, wenn ein Laplace-Experiment genau 2 mögliche Elementarereignisse besitzt (z.B. Farbe blau oder grau).
Definitionen von Ereignissen - Schreibweise
Elementarereignis:
Elementarereignisse sind alle möglichen, einander gegenseitig ausschließenden Ausgänge eines beliebig oft wiederholbaren Versuchs bzw. Experiments. Ihre Menge wird mit E bezeichnet. Jede Teilmenge A ⊆ E heißt Ereignis, welches exakt dann eintritt, wenn eines der Elementarereignisse eintritt, aus welchen A besteht.
Unabhängigkeit (Stochastische Unabhängigkeit):
A und B sind unabhängig voneinander bzw. (stochastisch unabhängig voneinander), wenn das Eintreten eines Ereignisses keine Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat.
Unmögliches Ereignis:
Ein unmögliches Ereignis A ist ein Ereignis, welches bei jeder Ausführung eines Zufallsexperiments niemals eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines unmöglichen Ereignisses beträgt 0 → P(A) = 0.
Sicheres Ereignis:
Ein sicheres Ereignis A ist ein Ereignis, welches bei jeder Ausführung eines Zufallsexperiments mit Sicherheit eintritt. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines sicheren Ereignisses beträgt 1 → P(A) = 1.
Zusammengesetzte Ereignisse:
Ereignisse, die mehr als ein einzelnes Element enthalten, werden als zusammengesetzte Ereignisse bezeichnet. Bei der Bildung eines Gegenereignisses eines zusammengesetzten Ereignisses sind die De Morganschen Gesetze zu beachten.
Definitionen der Pfadregeln - Summenregel
1. Pfadregel (Pfadmultiplikationsregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis im Baumdiagramm hinführt. P(D) = P(A) · PA(D)
2. Pfadregel (Pfadadditionsregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die im Baumdiagramm zu diesem Ereignis gehören. P(D ∪ E) = P(D) + P(E)
Summenregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten, welche zu diesem Ereignis führen. Diese kann durch Addition wie folgt bestimmt werden:
P(A) = P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit - Totale Wahrscheinlichkeit
Totale Wahrscheinlichkeit:
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn lediglich bedingte Wahrscheinlichkeiten gegeben sind. Dieser ermöglicht es, Einzelwahrscheinlichkeiten aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Die allgemeine Definition des Satzes für die totale Wahrscheinlichkeit (für mehrere Ereignisse) dessen lautet:
Für genau zwei Ereignisse A und B ist dieser wie folgt definiert:
P(A ) = P(B) ⋅ P(A|B) + P(B) ⋅ P(A|B)
Berechnung
Am Rollbalken mit der Bezeichnung Wahrscheinlichkeit p kann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines der beiden Ereignisse eingestellt werden (voreingestellt: p = 0.5). Mit Hilfe des Rollbalkens Stufen können Sie die Anzahl der Stufen einstellen (voreingestellt: 4).
An den Baumknoten werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der entsprechenden Kombination, unter Berücksichtigung der Reihenfolge des Eintretens der Elementarereignisse, angezeigt. Diese werden in der darunter angeordneten Tabelle ausgegeben, wenn das Kontrollkästchen Farben deaktiviert ist. Wird dieses Kontrollkästchen aktiviert, so wird die Reihenfolge der Ereignisse ausgegeben (Zeichenkürzel: b: blau - g: grau).
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Weitere Themenbereiche
Beispiele
Beispiel 1:
Es erfolgt das zweimalige Werfen einer Münze. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Zahl oder eines Kopfs beträgt 50% bzw. 0.5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach zweimaligem Werfen einmal eine Zahl (blau) sowie einmal ein Kopf (grau) erscheint, resultiert aus den Wahrscheinlichkeiten zweier Pfade. Da zwei Würfe durchgeführt werden, ist der Schieberegler Stufen auf 2 zu positionieren. Unter Anwendung beider Pfadregeln ermittelt das Programm:
P(einmal Kopf und einmal Zahl)
= P(einmal Zahl - einmal Kopf) + P(einmal Kopf - einmal Zahl)
= 0,5⋅0,5 + 0,5⋅0,5 = 0,25 +0,25
= 0,5
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach zweimaligen Werfen der Münze je einmal Kopf und Zahl geworfen wird, beträgt somit 50%.
Beispiel 2:
Werden die Wahrscheinlichkeiten für die vier möglichen Ergebnisse nach zweimaligem Würfeln ermittelt, so ergeben sich folgende Resultate:
Beispiel 1
Beispiel 2
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Baumdiagramm zu finden.
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MathProf 5.0 - Unterprogramm Urnenmodelle
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
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