MathProf - Pfadregeln - Baumdiagramm - Totale Wahrscheinlichkeit - Ereignisse

Fachthema: Pfadregel
MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul mit Hilfe dessen sich der Multiplikationssatz
mehrstufiger Laplace-Experimente am Baumdiagramm veranschaulichen lässt.
Dieses Unterprogramm ermöglicht hierdurch die Durchführung der Analyse geltender Sachverhalte bzgl. der Pfadregel.
Nach einer Festlegung relevanter Werte führt der implementierte Rechner die hierfür relevanten Untersuchungen durch, gibt die ermittelten Ergebnisse sowohl grafisch wie auch in einer Tabelle aus und ermöglicht die Analyse der entsprechenden Zusammenhänge.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.

Themen und Stichworte zu diesem Modul:Pfadregeln - Summenregel - Pfadregel - Mehrstufige Zufallsexperimente - Mehrstufige Zufallsversuche - Zufallsversuch - Einstufiges Zufallsexperiment - Pfade - Regeln - Pfad - Formel - Totale Wahrscheinlichkeit - Zufall und Wahrscheinlichkeit - Zusammengesetzte Zufallsexperimente - Mehrstufiges Zufallsexperiment - Zufall - Mathematik - Aufbau - Anzahl - Einstufige Zufallsexperimente - Einstufige Zufallsversuche - Zweistufige Zufallsexperimente - Baumdiagramme - Zweistufiges Baumdiagramm - Dreistufiges Baumdiagramm - Formeln - Farben - Einstufig - Mehrstufig - Satz der totalen Wahrscheinlichkeit - Laplace-Experiment - Laplace-Versuch - Laplace Experiment - Wahrscheinlichkeit - 1. Pfadregel - 2. Pfadregel - Baumdiagramm - Erste Pfadregel - Zweite Pfadregel - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Rechner - Ergebnis - Bild - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - Würfel - Würfeln - Werfen - Erstellen - Beschriften - Dreistufig - Zweistufig - Zeichnen - Zahlen - Würfelzahl - Summe - Addieren - Berechnen - Plotter - Graph - Grafik - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Auswertung - Auswerten - P(a) - P(b) - P(a b) - Beispiel - Definition - Tabelle - Einführung - Was ist - Was sind - Wie viele - Wieviel - Wieviele - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Einführung - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Schreibweise - Pfadwahrscheinlichkeiten - Additionsregel - Multiplikationsregel - Stochastik - Grundlagen - Grundlegendes - Pfadmultiplikationsregel - Pfadadditionsregel - Wahrscheinlichkeitsbaum - Augenzahl beim Würfeln - Augensumme - Augenzahl - Elementarereignis - Ereignis - Ereignisse - Menge - Ereignismenge - Elementarereignisse - Zufällige Vorgänge - Zufallsereignis - Zufallsereignisse - Unmögliches Ereignis - Sicheres Ereignis - Zusammengesetzte Ereignisse - Zufallsexperiment - Zufallsexperimente - Zufallsvariable - Abhängigkeit - Stochastisch abhängig - Stochastisch unabhängig - Stochastische Abhängigkeit - Stochastische Unabhängigkeit - Unabhängig - Unabhängigkeit - Unabhängigkeit von Ereignissen - Unabhängige Ereignisse - Möglichkeiten beim Würfeln - Augensumme beim Würfeln |
Pfadregel - Baumdiagramm - Ereignis
Modul Pfadregel
Im kleinen Zusatzmodul [Stochastik] - Pfadregel lässt sich der Multiplikationssatz mehrstufiger Laplace-Experimente (Zufallsversuche) am Baumdiagramm veranschaulichen.
Die Pfadregel ermöglicht die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses bei der Durchführung eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Resultat führen.
Dieses Unterprogramm bietet die Möglichkeit, sich die Zusammenhänge zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten prinzipiell grafisch zu veranschaulichen. Eingesetzt werden kann die Pfadregel dann, wenn ein Laplace-Experiment genau 2 mögliche Elementarereignisse besitzt (z.B. Farbe blau oder grau).
Zufallsexperiment
Als Zufallsexperiment wird ein Versuch bezeichnet, bei dem mehr als ein möglicher zufälliger Ausgang existiert (bei dem mehr als ein einzelnes Ergebnis resultieren kann). Bei einem Zufallsereignis handelt es sich um den Teil einer Menge von Ergebnissen eines Zufallsexperiments dem eine eintretende Wahrscheinlichkeit zugerechnet werden kann.
Ein Zufallsexperiment, bei welchem den einzelnen Ereignissen dieselben Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können, wird als Laplace-Experiment oder (Laplace-Versuch) bezeichnet. Zufallsexperimente bestehen häufig aus einer bestimmten Anzahl von Teilexperimenten, die hintereinander ausgeführt werden. Die Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten kann in solchen Fällen schnell unübersichtlich werden.
Einstufig: Als einstufiges Zufallsexperiment oder einstufiger Zufallsversuch wird ein Experiment bezeichnet, welches genau einmal durchgeführt wurde.
Zweistufig: Als zweistufiges Zufallsexperiment oder zweistufiger Zufallsversuch wird ein Experiment bezeichnet, welches sich aus genau zwei aufeinanderfolgenden Schritten zusammengesetzt, die ebenfalls Zufallsexperimente sind.
Mehrstufig: Als mehrstufiges Zufallsexperiment oder mehrstufiger Zufallsversuch wird ein Experiment bezeichnet, welches sich aus mehreren aufeinanderfolgenden Schritten zusammengesetzt, die ebenfalls Zufallsexperimente sind.
Hilfe bietet hierbei die grafische Darstellung mit einem Baumdiagramm (Wahrscheinlichkeitsbaum). In einem derartigen Diagramm werden die Ausgänge eines Zufallsexperiments als Linien dargestellt und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dazu geschrieben.
Zusammengesetze Zufallsexperimente bestehen aus mehreren einzeln aufeinanderfolgend ablaufenden einstufigen Zufallsexperimenten.
Als Pfadwahrscheinlichkeiten werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten eines mehrstufigen Zufallsexperiments bezeichnet.
Ereignisse - Schreibweise - Definition
Elementarereignis:
Elementarereignisse sind alle möglichen, einander gegenseitig ausschließenden Ausgänge eines beliebig oft wiederholbaren Versuchs bzw. Experiments. Ihre Menge wird mit E bezeichnet. Jede Teilmenge A ⊆ E heißt Ereignis, welches exakt dann eintritt, wenn eines der Elementarereignisse eintritt, aus welchen A besteht.
Unabhängigkeit (stochastische Unabhängigkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen, unabhängige Ereignisse):
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig voneinander, wenn das Eintreten eines Ereignisses keine Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat.
Abhängigkeit (stochastische Abhängigkeit, Abhängigkeit von Ereignissen, abhängige Ereignisse):
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch abhängig voneinander, wenn das Eintreten eines der Ereignisse die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst.
Unmögliches Ereignis:
Ein unmögliches Ereignis A ist ein Ereignis, welches bei jeder Ausführung eines Zufallsexperiments niemals eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines unmöglichen Ereignisses beträgt 0 → P(A) = 0.
Sicheres Ereignis:
Ein sicheres Ereignis A ist ein Ereignis, welches bei jeder Ausführung eines Zufallsexperiments mit Sicherheit eintritt. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines sicheren Ereignisses beträgt 1 → P(A) = 1.
Zusammengesetzte Ereignisse:
Ereignisse, die mehr als ein einzelnes Element enthalten, werden als zusammengesetzte Ereignisse bezeichnet. Bei der Bildung eines Gegenereignisses eines zusammengesetzten Ereignisses sind die De Morganschen Gesetze zu beachten.
Ereignismenge - Ergebnismenge:
Eine Ereignismenge ist die Teilmenge einer Ergebnismenge. Als Ergebnismenge wird die Menge aller möglichen Ereignisse Ai eines Zufallsexperiments bezeichnet, die auftreten können.
Pfadregeln - 1. Pfadregel - 2. Pfadregel - Summenregel - Definition
1. Pfadregel (Pfadmultiplikationsregel oder Multiplikationsregel):
Die 1. Pfadregel (Pfadmultiplikationsregel oder Multiplikationsregel) lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis im Baumdiagramm hinführt. P(D) = P(A) · PA(D)
2. Pfadregel (Pfadadditionsregel oder Additionsregel):
Die 2. Pfadregel (Pfadadditionsregel oder Additionsregel) lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die im Baumdiagramm zu diesem Ereignis gehören. P(D ∪ E) = P(D) + P(E)
Summenregel:
Die Summenregel lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten, welche zu diesem Ereignis führen. Diese kann durch Addition wie folgt bestimmt werden:
P(A) = P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit - Totale Wahrscheinlichkeit
Totale Wahrscheinlichkeit:
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn lediglich bedingte Wahrscheinlichkeiten gegeben sind. Dieser ermöglicht es, Einzelwahrscheinlichkeiten aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Die allgemeine Definition des Satzes für die totale Wahrscheinlichkeit (für mehrere Ereignisse) dessen lautet:
Für genau zwei Ereignisse A und B ist dieser wie folgt definiert:
P(A ) = P(B) ⋅ P(A|B) + P(B) ⋅ P(A|B)
Programmbedienung - Berechnung
Am Rollbalken mit der Bezeichnung Wahrscheinlichkeit p kann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines der beiden Ereignisse eingestellt werden (voreingestellt: p = 0.5). Mit Hilfe des Rollbalkens Stufen können Sie die Anzahl der Stufen einstellen (voreingestellt: 4).
An den Baumknoten werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der entsprechenden Kombination, unter Berücksichtigung der Reihenfolge des Eintretens der Elementarereignisse, angezeigt. Diese werden in der darunter angeordneten Tabelle ausgegeben, wenn das Kontrollkästchen Farben deaktiviert ist. Wird dieses Kontrollkästchen aktiviert, so wird die Reihenfolge der Ereignisse ausgegeben (Zeichenkürzel: b: blau - g: grau).
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Weitere Themenbereiche
Beispiele
Beispiel 1 - Werfen einer Münze (Kopf oder Zahl):
Es erfolgt das zweimalige Werfen einer Münze. Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Zahl oder eines Kopfs beträgt 50% bzw. 0.5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach zweimaligem Werfen einmal eine Zahl (blau) sowie einmal ein Kopf (grau) erscheint, resultiert aus den Wahrscheinlichkeiten zweier Pfade. Da zwei Würfe durchgeführt werden, ist der Schieberegler Stufen auf 2 zu positionieren. Unter Anwendung beider Pfadregeln ermittelt das Programm:
P(einmal Kopf und einmal Zahl)
= P(einmal Zahl - einmal Kopf) + P(einmal Kopf - einmal Zahl)
= 0,5⋅0,5 + 0,5⋅0,5 = 0,25 +0,25
= 0,5
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach zweimaligen Werfen der Münze je einmal Kopf und Zahl geworfen wird, beträgt somit 50%.
Beispiel 2 - Augenzahl (Augensumme) beim Würfeln - Möglichkeiten beim Würfeln:
Werden die Wahrscheinlichkeiten für die vier möglichen Ergebnisse hinsichtlich erzielbarer Augenzahlen (Augensummen) nach einem zweimaligem Würfeln ermittelt, so ergeben sich folgende Resultate:
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Beispiel 4
Beispiel 5
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Baumdiagramm zu finden.
Kombinatorik - Urnenmodell - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Urnenmodelle
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.