MathProf - Kreis - Punkt - Gleichung - Tangente und Normale - Tangente - Kreistangente - Kreisradius - Zentrale - Polare - Fläche eines Kreises - Rechner

MathProf - Mathematik-Software - Kreis | Punkt | Winkel | Zentrale | Berührpunkt | Zentrale

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kreis | Punkt | Winkel | Zentrale | Berührpunkt | Zentrale

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Untersuchungen mit Kreisen und Punkten.

In diesem Teil des Programms können Kreise in Mittelpunktform, in 3-Punkte-Form (Kreis durch 3 Punkte), in vektorieller Form, in Koordinatenform, in Parameterform oder in Form einer Scheitelgleichung definiert werden.


Nach einer Festlegung der Eigenschaften eines Kreises und eines Punktes erfolgt die Ermittlung der Lagebeziehung Kreis-Punkt sowie das Berechnen der Tangentengleichung, die die entsprechende Kreistangente beschreibt, welche durch einen externen Punkt und den definierten Kreis verläuft. Auch werden für den entsprechenden Kreis dessen wesentliche Eigenschaften, wie Mittelpunkt und Kreisradius berechnet und ausgegeben.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer praktizierten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Tangente - Normale - Tangente an Kreis - Kreisberechnung - Kreisumfang - Kreisradius - Kreisfläche - Kreismittelpunkt - Punkt auf Kreis - Tangente durch Punkt - Kreistangente - Kreisgleichungen - Berührpunkt Kreis-Tangente - Polare - Zentrale

  

Kreis - Punkt - Interaktiv

 

Das Modul [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Punkt - Interaktiv bietet die Möglichkeit Untersuchungen mit Kreisen und Punkten in der Ebene interaktiv durchzuführen.

 

MathProf - Kreistangente - Punkte - Gleichung - Vektorgleichung - Kreisberechnung - Kreis - Punkt - Tangente - Lagebeziehung Kreis Punkt - Kreis durch 3 Punkte - Tangentengleichung - Kreisgleichung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreismittelpunkt

 

Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Mittelpunktform des Kreises
    (x-xm)²+(y-ym)² = r²
     
  • 3-Punkte-Form des Kreises (Kreis durch 3 Punkte)
    Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)
     
  • Vektorielle Form (Vektorgleichung - Vektorform) des Kreises
    Kreis - Punkt - Gleichung  - 1
     
  • Koordinatenform des Kreises
    x²+y²+a·x+b·y+c = 0
     
  • Parameterform des Kreises (Parameterdarstellung)
    x = r·cos(k)+x0
    y = r·sin(k)+y0
     
  • Scheitelgleichung des Kreises
  • y² = 2·r·x-x²

Bei der Durchführung von Untersuchungen werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
  • Tangenten an einen Kreis, welche durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P verlaufen, sowie Koordinatenwerte der Berührpunkte
  • Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten 
  • Polare (Verbindungsgerade durch die Tangenten-Berührungspunkte)
  • Zentrale (Winkelhalbierende der Tangenten)

Darstellung

Die Durchführung von Analysen zu diesem Themenbereich erfordert folgende Vorgehensweise:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises auszuwählen (zur Verfügung stehen: Mittelpunktform, Vektorielle Form, 3-Punkte-Form, Koordinatenform, Parameterform, Scheitelgleichungsform).
     
  2. Stellen Sie hierauf mit den zur Verfügung stehenden Schiebereglern (falls vorhanden) auf dem Bedienformular die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises bzw. der Geraden ein.

    Bei Kreisen:
    Kreis in Mittelpunktform: Radius r; Kreis in vektorieller Form: Radius r; Kreis in Koordinatenform: Koeffizienten a, b und c; Kreis in Parameterform: Radius r; Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r

    Bei Geraden:
    Gerade in Steigungsform: Steigung m; Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel
    β und Koeffizient p; Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b; Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c
     
  3. Sollen die Koordinatenwerte des Punkts P, oder eines Kreispunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  4. Möchten Sie die Koordinatenwerte des Punkts P, oder eines Kreispunkts exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  5. Um die Normalen des Kreises in den Berührpunkten darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Normalen. Die Polare des Kreises wird ausgegeben, nachdem das Kontrollkästchen Polare aktiviert wurde. Eine Darstellung der Zentrale wird durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Zentrale erreicht.
     
  6. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Kreis - Tangentengleichung - Normale - Polare - Zentrale - Kreisberechnung


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koord.: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung des Kreises ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kreis – Kreis - Interaktiv

Kreis - Punkt

Kreis - Gerade

Kreis - Gerade - Interaktiv

Kreis – Kreis

 

 

Beispiele


Beispiel 1:

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt M (-4 / 2) und einem Radius r = 6. Es soll untersucht werden, ob der Punkt P (6 / 8) auf dem Kreis liegt. Ist dies nicht der Fall, so gilt es die Tangenten an den Kreis durch diesen Punkt ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Eintrags Mittelpunktform aus der Auswahlbox, einer Positionierung des Rollbalkens r auf den Wert r = 6, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte, der Eingabe der Koordinatenwerte für die Punkte P (6 / 8) und M (-4 / 2) und einer Bestätigung der Eingaben mit Ok, gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Gleichung in Mittelpunktform:(x+4)²+(y+2)² = 6²

Mittelpunkt: M (-4 / -2)

Kreisradius: r = 6

 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

B1 (-6,042 / 3,642)

B2 (1,642 / -4,042)

 

Für die Länge der Sehne B1B2:

 

Sehnenlänge B1B2: 10,866

 

Für die Gleichungen der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

Kreistangente t1: Y = 0,362·X+5,829

Kreistangente t2: Y = 2,763·X-8,579

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Normale, Polare und Zentrale gibt das Programm zudem aus:

 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Normale 1: Y = -2,763·X-13,052

Normale 2: Y = -0,362·X-3,448

 

Für die Gleichung der Polare durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Polare: Y = -1·X-2,4

 

Die Gleichung der Zentrale wird ermittelt mit:

 

Zentrale: Y = 1·X+2


Beispiel 2:

Es gilt, die Gleichung der Polare eines Kreises, welcher durch die auf ihm liegenden Punkte P1 (-2 / -2), P2 (4 / 8) und P3 (-4 / 6) beschrieben wird ermitteln zu lassen, wenn dessen Kreistangenten durch Punkt P (12 / -2) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Selektion des Eintrags 3-Punkte-Form aus der Auswahlbox, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte, der Eingabe der Koordinatenwerte für die Kreispunkte A, B C und Punkt P, sowie einer Bestätigung der Eingaben mit Ok, gibt das Programm aus:

Gleichung des Kreises in vektorieller Form:

 

Kreis - Punkt - Gleichung  - 2

 

Mittelpunkt des Kreises: M (1 / 3)

Kreisradius: r = 5,831

 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

B1 (5,675 / 6,485)

B2 (1,448 / -2,814)

 

Für die Länge der Sehne B1B2:

 

Sehnenlänge B1B2: 10,214

 

Für die Gleichungen der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

Kreistangente t1: Y = -1,341·X+14,098

Kreistangente t2: Y = 0,077·X-2,925

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Normale, Polare und Zentrale gibt das Programm aus:

 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Normale 1: Y = 0,745·X+2,255

Normale 2: Y = -12,968·X+15,968

 

Für die Gleichung der Polare durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Polare: Y = 2,2·X-6

 

Die Gleichung der Zentrale wird ermittelt mit:

 

Zentrale: Y = -0,455·X+3,455
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Kreis - Punkt - Abstand - Kreisgleichung - Vektorgleichung - Berechnen - Plotten - Scheitelgleichung - Mittelpunkt - Beispiel - Parameterdarstellung - Kreis durch 3 Punkte - Tangentengleichung - Polare - Tangente - Kreisberechnung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreistangente - Kreismittelpunkt
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