MathProf - Kreis - Punkt - Gleichung - Tangente und Normale - Zentrale - Polare

MathProf - Mathematik-Software - Kreis | Punkt | Winkel | Zentrale | Berührpunkt | Zentrale

Fachthemen: Kreis - Punkt - Tangente

MathProf - Geometrie - Software zum Lösen unterschiedlichster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich hierfür interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kreis | Punkt | Winkel | Zentrale | Berührpunkt | Zentrale

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Untersuchungen mit Kreisen und Punkten.

In diesem Teil des Programms können Kreise in Mittelpunktform, in 3-Punkte-Form (Kreis durch 3 Punkte), in vektorieller Form, in Koordinatenform, in Parameterform oder in Form einer Scheitelgleichung definiert werden.


Nach einer Festlegung der Eigenschaften eines Kreises und eines Punktes erfolgt die Ermittlung der Lagebeziehung Kreis-Punkt sowie das Berechnen der Tangentengleichung, die die entsprechende Kreistangente beschreibt, welche durch einen externen Punkt und den definierten Kreis verläuft. Auch werden dessen wesentlichste Eigenschaften, wie Mittelpunkt und Radius berechnet.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Kreis - Tangente - Normale - Tangente an Kreis - Tangentengleichung - Kreisberechnung - Kreisumfang - Kreisradius - Kreisfläche - Berechnen - Fläche eines Kreises - Kreismittelpunkt - Kreis durch 3 Punkte - Mittelpunkt - Punkt auf Kreis - Tangente durch Punkt - Tangente zeichnen - Kreistangente - Winkel - Berührpunkt - Gleichung - Kreisgleichungen - Berührpunkt Kreis-Tangente - Rechner - Berechnung - Darstellen - Plotten - Graph - Zentrum - Polare - Zentrale

  
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Kreis - Punkt - Interaktiv

 

Das Modul [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Punkt - Interaktiv bietet die Möglichkeit Untersuchungen mit Kreisen und Punkten in der Ebene interaktiv durchzuführen.

 

MathProf - Kreistangente - Punkte - Gleichung - Vektorgleichung - Kreisberechnung - Kreis - Punkt - Tangente - Lagebeziehung Kreis Punkt - Kreis durch 3 Punkte - Tangentengleichung - Kreisgleichung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreismittelpunkt

 

Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Mittelpunktform des Kreises
    (x-xm)²+(y-ym)² = r²
     
  • 3-Punkte-Form des Kreises (Kreis durch 3 Punkte)
    Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)
     
  • Vektorielle Form (Vektorgleichung - Vektorform) des Kreises
    Kreis - Punkt - Gleichung  - 1
     
  • Koordinatenform des Kreises
    x²+y²+a·x+b·y+c = 0
     
  • Parameterform des Kreises (Parameterdarstellung)
    x = r·cos(k)+x0
    y = r·sin(k)+y0
     
  • Scheitelgleichung des Kreises
  • y² = 2·r·x-x²

Bei der Durchführung von Untersuchungen werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
  • Tangenten an einen Kreis, welche durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P verlaufen, sowie Koordinatenwerte der Berührpunkte
  • Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten 
  • Polare (Verbindungsgerade durch die Tangenten-Berührungspunkte)
  • Zentrale (Winkelhalbierende der Tangenten)

Darstellung

Die Durchführung von Analysen zu diesem Themenbereich erfordert folgende Vorgehensweise:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises auszuwählen (zur Verfügung stehen: Mittelpunktform, Vektorielle Form, 3-Punkte-Form, Koordinatenform, Parameterform, Scheitelgleichungsform).
     
  2. Stellen Sie hierauf mit den zur Verfügung stehenden Schiebereglern (falls vorhanden) auf dem Bedienformular die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises bzw. der Geraden ein.

    Bei Kreisen:
    Kreis in Mittelpunktform: Radius r; Kreis in vektorieller Form: Radius r; Kreis in Koordinatenform: Koeffizienten a, b und c; Kreis in Parameterform: Radius r; Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r

    Bei Geraden:
    Gerade in Steigungsform: Steigung m; Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel
    β und Koeffizient p; Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b; Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c
     
  3. Sollen die Koordinatenwerte des Punkts P, oder eines Kreispunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  4. Möchten Sie die Koordinatenwerte des Punkts P, oder eines Kreispunkts exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  5. Um die Normalen des Kreises in den Berührpunkten darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Normalen. Die Polare des Kreises wird ausgegeben, nachdem das Kontrollkästchen Polare aktiviert wurde. Eine Darstellung der Zentrale wird durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Zentrale erreicht.
     
  6. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Kreis - Tangentengleichung - Normale - Polare - Zentrale - Kreisberechnung


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koord.: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung des Kreises ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kreis – Kreis - Interaktiv

Kreis - Punkt

Kreis - Gerade

Kreis - Gerade - Interaktiv

Kreis – Kreis

 

 

Beispiele


Beispiel 1:

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt M (-4 / 2) und einem Radius r = 6. Es soll untersucht werden, ob der Punkt P (6 / 8) auf dem Kreis liegt. Ist dies nicht der Fall, so gilt es die Tangenten an den Kreis durch diesen Punkt ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Eintrags Mittelpunktform aus der Auswahlbox, einer Positionierung des Rollbalkens r auf den Wert r = 6, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte, der Eingabe der Koordinatenwerte für die Punkte P (6 / 8) und M (-4 / 2) und einer Bestätigung der Eingaben mit Ok, gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Gleichung in Mittelpunktform:(x+4)²+(y+2)² = 6²

Mittelpunkt: M (-4 / -2)

Kreisradius: r = 6

 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

B1 (-6,042 / 3,642)

B2 (1,642 / -4,042)

 

Für die Länge der Sehne B1B2:

 

Sehnenlänge B1B2: 10,866

 

Für die Gleichungen der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

Kreistangente t1: Y = 0,362·X+5,829

Kreistangente t2: Y = 2,763·X-8,579

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Normale, Polare und Zentrale gibt das Programm zudem aus:

 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Normale 1: Y = -2,763·X-13,052

Normale 2: Y = -0,362·X-3,448

 

Für die Gleichung der Polare durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Polare: Y = -1·X-2,4

 

Die Gleichung der Zentrale wird ermittelt mit:

 

Zentrale: Y = 1·X+2


Beispiel 2:

Es gilt, die Gleichung der Polare eines Kreises, welcher durch die auf ihm liegenden Punkte P1 (-2 / -2), P2 (4 / 8) und P3 (-4 / 6) beschrieben wird ermitteln zu lassen, wenn dessen Kreistangenten durch Punkt P (12 / -2) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Selektion des Eintrags 3-Punkte-Form aus der Auswahlbox, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Punkte, der Eingabe der Koordinatenwerte für die Kreispunkte A, B C und Punkt P, sowie einer Bestätigung der Eingaben mit Ok, gibt das Programm aus:

Gleichung des Kreises in vektorieller Form:

 

Kreis - Punkt - Gleichung  - 2

 

Mittelpunkt des Kreises: M (1 / 3)

Kreisradius: r = 5,831

 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

B1 (5,675 / 6,485)

B2 (1,448 / -2,814)

 

Für die Länge der Sehne B1B2:

 

Sehnenlänge B1B2: 10,214

 

Für die Gleichungen der Kreistangenten, die durch Punkt P verlaufen:

 

Kreistangente t1: Y = -1,341·X+14,098

Kreistangente t2: Y = 0,077·X-2,925

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Normale, Polare und Zentrale gibt das Programm aus:

 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Normale 1: Y = 0,745·X+2,255

Normale 2: Y = -12,968·X+15,968

 

Für die Gleichung der Polare durch die Berührpunkte B1 und B2:

 

Polare: Y = 2,2·X-6

 

Die Gleichung der Zentrale wird ermittelt mit:

 

Zentrale: Y = -0,455·X+3,455
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Kreis - Punkt - Abstand - Kreisgleichung - Vektorgleichung - Berechnen - Plotten - Scheitelgleichung - Mittelpunkt - Beispiel - Parameterdarstellung - Kreis durch 3 Punkte - Tangentengleichung - Polare - Tangente - Kreisberechnung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreistangente - Kreismittelpunkt
MathProf - Kreis - Punkt - Abstand - Kreisgleichung - Vektorgleichung - Gleichung - Scheitelgleichung - Mittelpunkt - Berührungspunkt - Beispiel - Parameterdarstellung - Kreis durch 3 Punkte - Tangentengleichung - Polare - Tangente - Kreisberechnung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreistangente - Kreismittelpunkt
MathProf - Kreis - Punkt - Tangente - Tangenten - Normale - Scheitelgleichung - Mittelpunkt - Berührungspunkt - Koordinatenform - Beispiel - Parameterdarstellung - Kreis durch 3 Punkte - Tangentengleichung - Polare - Kreisberechnung - Kreisgleichung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreistangente - Kreismittelpunkt
MathProf - Kreis - Punkt - Tangenten - Normale - Normalengleichung - Berechnen - Plotten - Scheitelgleichung - Beispiel - Parameterdarstellung - Tangentengleichung - Polare - Tangente - Kreisberechnung - Kreisgleichung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreistangente - Kreismittelpunkt
MathProf - Kreis - Punkt - Kreisgleichung - Scheitelgleichung - Normalengleichung - Normale - Polare - Berührpunkte - Tangente - Beispiel - Parameterdarstellung - Tangentengleichung - Polare - Kreisberechnung - Tangente durch Punkt - Kreisumfang - Kreistangente - Kreismittelpunkt

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kreis
Wikipedia - Kreistangente

 
Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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