MathProf - Koch-Kurve - Fraktale Geometrie - Schneeflockenkurve - Kochkurve
Fachthema: Koch-Kurve
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Online-Hilfe
für das Modul zur Darstellung und Analyse von Kochkurven
aus dem Bereich der Chaos-Theorie (Fraktale).
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Themen und Stichworte:Kochkurve - Schneeflocke - Schneeflockenkurve - Kochsche Schneeflocke - Kochsche Schneeflockenkurve - Iteration - Umfang - Länge - Figuren - Animation - Fläche - Flächeninhalt |
Koch-Kurve - Fraktale Geometrie
Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Fraktale] - Koch-Kurve ermöglicht die Darstellung einer Koch-Kurve.
Die Koch-Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 entdecktes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve.
Gegeben sei eine Strecke mit vorgegebener Länge. Auf diese Strecke wird ein Generator angewandt, welcher das mittlere Drittel durch ein nach oben geöffnetes gleichseitiges Dreieck ersetzt. In jedem Folgeschritt werden alle Teilstrecken der Figur als Initiator-Elemente behandelt, auf welche der Generator angewandt wird, wobei sich die Teilstreckengröße um den Skalierungsfaktor 1/3 verändert. Es entstehen pro Schritt Faktor 4 neue Teilstrecken.
Die Koch-Kurve ist an keiner Stelle differenzierbar, da der Konstruktionsprozess dazu geführt hat, dass die Kurve aus unendlich vielen Knickstellen besteht, an welche keine Tangente anlegbar ist. Die Länge der Koch-Kurve ist unendlich, die Fläche, die von ihr eingeschlossen wird, hingegen hat endlichen Wert.
Die Kochsche Schneeflockenkurve wird aus einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a durch fortgesetztes Ansetzen kleinerer Dreiecke gebildet. Der gesamte von der Kochkurve eingeschlossene Fläche beträgt A = 2/5*sqrt(3)*a²
Wird mit einem gleichseitigen Dreieck als Ausgangsfigur begonnen, erhält man die Koch'sche Schneeflocke.
In diesem Unterprogramm besteht die Möglichkeit sich mehrere Varianten der Koch-Kurve darstellen zu lassen.
Grafische Darstellung
Am Rollbalken Iterationen stellen Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen ein. Wird die Position des Rollbalkens Initialisierung auf einen anderen Wert als den Vorgabewert 2 eingestellt, so werden andere Bildungsvorschriften bei der Initialisierung eingesetzt. Bei Aktivierung des Kontrollkästchen modifiziert verwendet das Programm anstelle eines Dreiecks ein Viereck.
Die Größe des Darstellungsbereichs der Koch-Kurve können Sie durch die Benutzung des Rollbalkens Größe beeinflussen. Durch die Positionierung des Rollbalkens Drehung können Sie eine Drehung der Kurve bewirken.
Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation. Vor deren Start wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters eine Auswahl bzgl. der simulativ zu verändernden Größe treffen können. Ebenfalls können Sie hierauf ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Themenbereiche
Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Sonstiges aufgerufen werden.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Koch-Kurve zu finden.
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