MathProf - Koch-Kurve - Schneeflockenkurve - Kochkurve

Fachthema: Koch-Kurve

MathProf - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Darstellung und Analyse von Kochkurven
aus dem Bereich der Chaos-Theorie (Fraktale).

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Kochkurve - Schneeflocke - Schneeflockenkurve - Snow flake - Kochsche Schneeflocke - Selbstähnlichkeit - Selbstähnlich - Kochsche Schneeflockenkurve - Fraktale Geometrie - Iteration - Umfang - Länge - Figuren - Animation - Dimension - Grafik - Fläche - Flächeninhalt

 

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Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Fraktale] - Koch-Kurve ermöglicht die Darstellung einer Koch-Kurve.

Die Koch-Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 entdecktes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve.

Gegeben sei eine Strecke mit vorgegebener Länge. Auf diese Strecke wird ein Generator angewandt, welcher das mittlere Drittel durch ein nach oben geöffnetes gleichseitiges Dreieck ersetzt. In jedem Folgeschritt werden alle Teilstrecken der Figur als Initiator-Elemente behandelt, auf welche der Generator angewandt wird, wobei sich die Teilstreckengröße um den Skalierungsfaktor 1/3 verändert. Es entstehen pro Schritt Faktor 4 neue Teilstrecken.

Die Koch-Kurve ist an keiner Stelle differenzierbar, da der Konstruktionsprozess dazu geführt hat, dass die Kurve aus unendlich vielen Knickstellen besteht, an welche keine Tangente anlegbar ist. Die Länge der Koch-Kurve ist unendlich, die Fläche, die von ihr eingeschlossen wird, hingegen hat endlichen Wert.

Die Kochsche Schneeflockenkurve wird aus einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a durch fortgesetztes Ansetzen kleinerer Dreiecke gebildet. Der gesamte von der Kochkurve eingeschlossene Fläche beträgt A = 2/5*sqrt(3)*a²

Wird mit einem gleichseitigen Dreieck als Ausgangsfigur begonnen, erhält man die Koch'sche Schneeflocke.

In diesem Unterprogramm besteht die Möglichkeit sich mehrere Varianten der Koch-Kurve darstellen zu lassen.
 

Grafische Darstellung

Am Rollbalken Iterationen stellen Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen ein. Wird die Position des Rollbalkens Initialisierung auf einen anderen Wert als den Vorgabewert 2 eingestellt, so werden andere Bildungsvorschriften bei der Initialisierung eingesetzt. Bei Aktivierung des Kontrollkästchen modifiziert verwendet das Programm anstelle eines Dreiecks ein Viereck.

Die Größe des Darstellungsbereichs der Koch-Kurve können Sie durch die Benutzung des Rollbalkens Größe beeinflussen. Durch die Positionierung des Rollbalkens Drehung können Sie eine Drehung der Kurve bewirken.

Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation. Vor deren Start wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters eine Auswahl bzgl. der simulativ zu verändernden Größe treffen können. Ebenfalls können Sie hierauf ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Feigenbaum-Diagramm

Lindenmeyer-System

Lindenmeyer-System II
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Koch-Kurve zu finden.
 

Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Aussagenlogik - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach
 

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

 

 

  

PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
   

Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 

 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 

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