MathProf - Funktionsgleichungen - Schnittpunkt berechnen - Gleichungsrechner

Fachthema: Gleichungen - Funktionsgleichungen

MathProf - Elementare Algebra - Software zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren. Es ist sowohl zur Erlangung von Wissen aus vielen Bereichen der Mathematik sowie zur Vertiefung von bereits vorhandenem Know-How dienlich.

Online-Hilfe
für das Modul zur numerischen Ermittlung der Lösungen von Gleichungen verschiedenster Art in expliziter Form sowie zum Plotten der Graphen der Lösungen linearer Gleichungen und nichtlinearer Gleichungen mit Variablen.

Durch den in diesem Unterprogramm eingebundenen Rechner wird sowohl das numerische Lösen von Gleichungen mit einer Variable, wie auch das Zeichnen der Graphen definierter Funktionsgleichungen ermöglicht.

Es kann auch das Berechnen der Lösungen von Gleichungen höheren Grades sowie von trigonometrischen Gleichungen, goniometrischen Gleichungen, Bruchgleichungen, Betragsgleichungen und Logarithmus-Gleichungen etc. veranlasst werden. Ebenso kann das Lösen von Verhältnisgleichungen bewirkt werden. Zu analysierende Gleichungen können mit, oder ohne die vorherige Durchführung einer Termumformung bzw. Äquivalenzumformung definiert werden.

Die Ermittlung der Gleichungslösungen in diesem Programmteil beruht auf dem Gleichsetzen definierter Funktionen (äquivalente Gleichungen besitzen dieselben Lösungen). Der eingesetzte Gleichungsrechner führt die Berechnung der Schnittpunkte der beiden zu untersuchenden Funktionen durch. Sind diese vorhanden, so werden sie bei der Ausgabe des entsprechenden Graphen dargestellt.

Die vom Programm numerisch berechneten Ergebnisse werden in einer Tabelle ausgegeben und lassen sich ausdrucken. Die Ermittlung der Funktionswerte einer definierten Funktion kann ebenfalls veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer Wertetabelle.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert. 

 

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - Gleichungen lassen sich Lösungen von linearen und nichtlinearen Gleichungen, welche in explizit definierter Form vorliegen, numerisch ermitteln und Zusammenhänge zu diesem Thema grafisch analysieren.

Dieses Modul ermöglicht die Durchführung einer iterativen Lösung von Funktionsgleichungen der Form f1(x) = f2(x), innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs.

Gleichungslösungen dieser Art sind grafisch als Abszissenkoordinatenwerte der Schnittpunkte der Kurven der links- und rechtsseitig definierten Gleichungsterme zu interpretieren.

Eine Ermittlung der Lösungen von linearen und nichtlinearen Gleichungen (Durchführung einer Gleichungslösung) können Sie veranlassen, indem Sie Folgendes ausführen:

1. Geben Sie den, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierten, linken Gleichungsterm (linke Gleichungsseite) im Feld mit der Bezeichnung f1(x) = ein.
   
   Definieren Sie den rechten Funktionsgleichungsterm (rechte Gleichungsseite) im Feld mit der Bezeichnung f2(x) =. Beachten Sie auch hierbei die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie, durch die Eingabe von Zahlenwerten, den Untersuchungsbereich fest, über welchen die Ermittlung durchgeführt werden soll (Untersuchen in Bereich von x1 = und bis x2 =). (voreingestellt: -10 ≤ x ≤ 10)
    
3. Durch die Wahl des entsprechenden Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein, Sehr fein bestimmen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur numerischen Ermittlung der Gleichungslösungen.
    
4. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse ausgegeben.
    
5. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
    

6. Wird das Kontrollkästchen Li. Gleichungsseite aktiviert, so wird die linksseitig definierte Funktion f1(x) ausgegeben. Wird das Kontrollkästchen Re. Gleichungsseite aktiviert, so stellt das Programm die rechtsseitig definierte Funktion f2(x) dar.
   
   Wenn Sie das Kontrollkästchen Beide Gleichungsseiten aktivieren, so wird (zusätzlich) die Funktion f(x) = f1(x) - f2(x) ausgegeben.
    

7. Möchten Sie einen neuen Untersuchungsbereich festlegen, so können Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular drücken und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).

Hinweis:

Bei Ausgabe einer grafischen Darstellung werden ermittelte Gleichungslösungen mit der Bezeichnung L, sowie einem fortlaufenden Nummer-Index gekennzeichnet.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Lösungen: Markierung und Nummerierung gefundener Lösungen ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des gewählten Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten
• Bereich: Markierung des gewählten Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Funktionsschnittpunkte

Gleichungen 2.- 4. Grades

Mathematische Funktionen I

Beispiel 1 - Berechnen und plotten der Lösungen einer Funktionsgleichung:

Es gilt, die Lösungen der Funktionsleichung x²+2·x = cos(x) mit der Variable x innerhalb eines Untersuchungsbereichs -10 ≤ x ≤ 10 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Definition des Terms X^2+2*X im linksseitig angeordneten Eingabefeld f1(x) = und der Einbindung des Terms COS(X) in das rechtsseitig angeordnete Feld f2(x) =, ermittelt das Programm nach einer Eingabe der Werte -10 und 10 zur Festlegung des Untersuchungsbereichs und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Lösungen der Gleichung x²+2·x = cos(x):

X1 = -1,85072

X2 = -0,38772

Hinweis:

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung wird bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens Beide Gleichungsseiten zusätzlich die Funktionsgleichung f(x) = x²+2·x-cos(x) dargestellt, da nach einer Umstellung und Auflösung der Gleichung x²+2·x = cos(x) nach 0, die Gleichung x²+2·x-cos(x) = 0 resultiert.

Beispiel 2 - Berechnen und plotten der Lösungen einer Funktionsgleichung:

Es sind die Schnittpunkte einer Parabel f1(x) = x² (quadratische Gleichung) und einer Gerade f2(x) = x/4+1 (lineare Gleichung) zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

Es ist der Term X^2 der Funktion f1(x) in einem der Eingabefelder zu definieren und der Term X/4+1 der Funktion f2(x) im zweiten. Nach einer Festlegung eines Untersuchungsbereichs -10 ≤ x ≤ 10 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

X1 = -0,88278

X2 = 1,13278

Durch Einsetzen der Lösungen x1 und x2 in einen der beiden Terme können die Y-Koordinatenwerte der Schnittpunkte der Parabel und der Gerade ermittelt werden. Es sind dies:

Y1 = 0,7793

Y2 = 1,2831

Es schneiden sich Parabel und Gerade in den Punkten S1 (0,88278 / 0,7793) und S2 (1,13278 / 1,2831)
 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Algebra aufgerufen werden.

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Gleichung zu finden.

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

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