MathProf - Hypothesentests - Signifikanztest - Alternativtest

 

Modul Hypothesentest

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Das Unterprogramm [Stochastik] - Hypothesentest ermöglicht die Durchführung eines linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Hypothesentests binomialverteilter Stichprobenergebnisse (Signifikanztest) bei der Ausführung von Zufallstests.

Mit einem Hypothesentest wird ein statistisches Verfahren bezeichnet, mit Hilfe dessen anhand vorliegender Daten geprüft werden kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein vorliegender Sachverhalt als wahrscheinlich angenommen werden kann.
 

 
Beim Vorliegen einer binomialverteilten Stichprobe des Umfangs n, bei welcher das interessierende Ereignis genau k-mal eingetreten ist, beträgt die empirisch gefundene Wahrscheinlichkeit p = k/n. Bei der Erwartung, dass das Ereignis A theoretisch mit der Wahrscheinlichkeit p₀ eintreten müsste, kann ein Unterschied zwischen p und p₀ entweder zufällig, oder wesentlich sein. Um dies zu überprüfen wird eine Nullhypothese H₀: p = p₀ aufgestellt. Für eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit α wird nun der sogenannte Ablehnungsbereich ermittelt. Hierbei gilt es, zuvor zu ermitteln, ob der Irrtum gleichmäßig auf beide Randbereiche verteilt ist (zweiseitig), oder ob dieser einseitig ist (linksseitig oder rechtsseitig).

Ist dies bekannt, so gilt es die Werte a und b für die theoretische Binomialverteilung zu ermitteln. Für diese gilt:
 

Es ergeben sich aus diesen Werten folgende Ablehnungsbereiche (kritische Werte) K:
 

linksseitig: K = {0,...a}

rechtsseitig: K = {b,...n}

zweiseitig: K = {0,...a} ⋓ {b,...n}

 

 
Eine Nullhypothese wird abgelehnt (verworfen), wenn der in der Stichprobe gefundene Wert k des Eintretens des Ereignisses A innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt. Hierbei kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α angenommen werden, dass die theoretische Wahrscheinlichkeit p₀ von der empirisch ermittelten Wahrscheinlichkeit p wesentlich abweicht.
 
Bei Durchführung eines Tests dieser Art erfolgt eine Einteilung in gerichtete und ungerichtete Hypothesen (bzw. einseitige bzw. zweiseitige Hypothesen). Eine ungerichtete Alternativhypothese unterstellt lediglich einen Unterschied zwischen verglichenen Kennwerten. Hierbei ist es nicht von Interesse, ob dieser lediglich nach oben, oder lediglich nach unten gerichtet ist. Eine gerichtete Alternativhypothese unterstellt hingegen einen Unterschied hinsichtlich der Richtung zwischen verglichenen Kennwerten.
 

Es gilt jedoch zu berücksichtigen, dass mit der Wahrscheinlichkeit α ein Fehler 1. Art (Risiko 1. Art bzw. Alphafehler) auftreten kann. Dies trifft dann zu, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, die Nullhypothese H₀ dennoch wahr ist.

Die Annahme bzw. Ablehnung (Verwerfung) einer Nullhypothese H₀ hängt von der Anzahl der Treffer beim Testen einer Binomialverteilung ab. Da Entscheidungen dieser Art lediglich von einer Stichprobe abhängen, treten auch Fehler auf. Ein Fehler 1. Art wird begangen, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, sie dennoch richtig ist. Von einem Fehler 2. Art wird gesprochen, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, jedoch die Gegenhypothese (Alternativhypothese) gilt. Ein Fehler 1. Art wird mit α bezeichnet, heißt Risiko 1. Art und ist meist vorgegeben. Nach der Durchführung einer Berechnung des Risikos 1. Art kann das Risiko 2. Art (bzw. Betafehler) ermittelt werden.

Die Festlegung der Entscheidungsregel bestimmt die Größe des Annahmebereichs sowie des Ablehnungsbereichs (des Signifikanzniveaus), welche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. bzw. 2. Art angenommen wird.
 

 

Um ermitteln zu lassen, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder abgelehnt werden muss, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:

1. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art.
    
2. Legen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters im Formularbereich Art des Tests fest, ob Sie einen einseitigen oder zweiseitigen Test durchführen lassen möchten (Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test, Zweiseitiger Test).
    
3. Definieren Sie den Umfang der Stichprobe im Eingabefeld Umfang der Stichprobe n.
    
4. Legen Sie die Anzahl der Objekte, mit der entsprechenden Eigenschaft, im dafür vorgesehenen Eingabefeld fest (Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k).
    
5. Deklarieren Sie im Feld Wahrscheinlichkeit p₀ durch die Eingabe eines entsprechenden Werts, die theoretische Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses.
    
6. Geben Sie den Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit (in %) in das Feld Irrtumswahrscheinlichkeit α in % ein.
    
7. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
   
   Das Programm ermittelt den Annahmebereich K und gibt aus, ob die Nullhypothese angenommen werden kann, oder ob sie abgelehnt werden muss.
    
8. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen. Hierbei wird das entsprechende Binomialverteilungs-Diagramm dargestellt und der ermittelte Annahme- bzw. Ablehnungsbereich farblich markiert. Grün markiert ist der Annahmebereich, blau markiert wird der Ablehnungsbereich ausgewiesen.

Um die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art ermitteln zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, ist Folgendes auszuführen:

1. Führen Sie zunächst, wie oben beschrieben, eine Nullhypothesen-Analyse durch (Registerblatt Risiko 1. Art).
    
2. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 2. Art. Die Ergebnisse der Nullhypothesenberechnung werden ausgegeben. Ferner wird im Formularbereich Ergebnis das Risiko 2. Art für den gegebenen Fall angezeigt.
    
3. Im Formularbereich Tabelle wird für alle theoretischen Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 mit einem Intervallbereich von 0.01 die Wahrscheinlichkeit β ausgegeben.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen, so werden alle Wahrscheinlichkeiten β des Risikos 2. Art im Bereich von 0 bis 1 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art für den konkreten Fall wird durch eine Liniendarstellung bei der Wahrscheinlichkeit p_o gekennzeichnet.

 

 

Das Programm stellt nach Aufruf der grafischen Darstellung zunächst das Diagramm bzw. die Kurve für die Art des gewählten Tests dar. Durch eine Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test oder Zweiseitiger Test auf dem Bedienformular können die Diagramme bzw. Kurven der anderen Arten von Tests für die gegebenen Werte aufgerufen werden. Dies gilt sowohl für Untersuchungen des Risikos 1. Art, wie auch für Untersuchungen des Risikos 2. Art. Die Art des Risikos wählen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollschalters Risiko 1. Art bzw. Risiko 2. Art.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des Diagramms des Risikos 1. Art
   
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungswerte ein-/ausschalten
• Markierung: Makierungslinie(n) zur Kennzeichnung des Annahmebereichs ein-/ausschalten

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

 

Vom Hersteller eines Produktes wird garantiert, dass der Ausschussanteil höchstens 2% beträgt. Von einem Käufer werden unter 100 erworbenen Artikeln 8 defekte Artikel entdeckt. Ist der Käufer bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% berechtigt zu reklamieren?

Vorgehensweise und Lösung:

Es ist ein rechtsseitiger Test durchzuführen.

 

Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art und geben Sie folgende Werte in die entsprechenden Felder ein:

 

Umfang der Stichprobe n: 100

Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k: 8

Wahrscheinlichkeit p₀: 0,02

Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Rechtsseitiger Test sowie der Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird ausgegeben:

Nullhypothese kann angenommen werden im Bereich von 0 bis 5.

Resultat: Nullhypothese kann nicht angenommen werden.

 

Dies bedeutet:

Da der Wert k = 8 außerhalb des ermittelten Annahmebereichs von 0 bis 5 liegt, kann diese Nullhypothese nicht angenommen werden und eine Reklamation des Käufers ist berechtigt.
 

Nach der Wahl des Registerblatts Risiko 2. Art erhalten Sie die Information über das Risiko 2. Art:

Dieses beträgt 98,45%.
 

Bei der grafischen Darstellung wird bei einer Wahrscheinlichkeit von p_o = 0,02 eine vertikale Linie eingezeichnet. Aus der horizontal, bis zur Position der festgelegten Wahrscheinlichkeit p₀ verlaufenden Linie kann dieser Wert an der linksseitig angebrachten Skalierung abgelesen werden.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Risiko 1. Art


Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Risiko 1. Art
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Risiko 1. Art
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Risiko 1. Art
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Risiko 2. Art


Grafische Darstellung - Beispiel 6 - Risiko 2. Art

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Statistischer Test
Wikipedia - Fehler 1. und 2. Art

Wikipedia - Hypothese
 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Hypothesentest
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Binomialverteilung - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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