MathProf - Hypothesentest - Signifikanztest - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Fehler erster Art - Fehler zweiter Art - Irrtumswahrscheinlichkeit

 

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung von Hypothesentests (Signifikanztests) binomialverteilter Ergebnisse aus Stichproben. Ein einseitiger Hypothesentest linksseitig oder ein einseitiger Hypothesentest rechtsseitig sowie ein zweiseitiger Hypothesentest (beidseitiger Hypothesentest) können durchgeführt werden.

 Beispiele zur Durchführung von Hypothesentests sind implementiert.

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Das Unterprogramm [Stochastik] - Hypothesentest ermöglicht die Durchführung eines linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Hypothesentests binomialverteilter Stichprobenergebnisse (Signifikanztest) bei der Ausführung von Zufallstests.

Beim Vorliegen einer binomialverteilten Stichprobe des Umfangs n, bei welcher das interessierende Ereignis genau k-mal eingetreten ist, beträgt die empirisch gefundene Wahrscheinlichkeit p = k/n. Bei der Erwartung, dass das Ereignis A theoretisch mit der Wahrscheinlichkeit p₀ eintreten müsste, kann ein Unterschied zwischen p und p₀ entweder zufällig, oder wesentlich sein. Um dies zu überprüfen wird eine Nullhypothese H₀: p = p₀ aufgestellt. Für eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit α wird nun der sogenannte Ablehnungsbereich ermittelt. Hierbei gilt es, zuvor zu ermitteln ob der Irrtum gleichmäßig auf beide Randbereiche verteilt ist (zweiseitig), oder ob dieser einseitig ist (linksseitig oder rechtsseitig).

Ist dies bekannt, so gilt es die Werte a und b für die theoretische Binomialverteilung zu ermitteln. Für diese gilt:

Es ergeben sich aus diesen Werten folgende Ablehnungsbereiche K:

linksseitig: K = {0,...a}

rechtsseitig: K = {b,...n}

zweiseitig: K = {0,...a} ⋓ {b,...n}

Eine Nullhypothese wird abgelehnt, wenn der in der Stichprobe gefundene Wert k des Eintretens des Ereignisses A innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt. Hierbei kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α angenommen werden, dass die theoretische Wahrscheinlichkeit p₀ von der empirisch ermittelten Wahrscheinlichkeit p wesentlich abweicht.

Es gilt jedoch zu berücksichtigen, dass mit der Wahrscheinlichkeit α ein Fehler 1. Art (Risiko 1. Art) auftreten kann. Dies trifft dann zu, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, die Nullhypothese H₀ dennoch wahr ist.

Die Annahme bzw. Ablehnung einer Nullhypothese H₀ hängt von der Anzahl der Treffer beim Testen einer Binomialverteilung ab. Da Entscheidungen dieser Art lediglich von einer Stichprobe abhängen, treten auch Fehler auf. Ein Fehler 1. Art wird begangen, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, sie dennoch richtig ist. Von einem Fehler 2. Art wird gesprochen, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, jedoch die Gegenhypothese (Alternativhypothese) gilt. Ein Fehler 1. Art wird mit α bezeichnet, heißt Risiko 1. Art und ist meist vorgegeben. Nach der Durchführung einer Berechnung des Risikos 1. Art kann das Risiko 2. Art β ermittelt werden.

Um ermitteln zu lassen, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder abgelehnt werden muss, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:

1. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art.
    
2. Legen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters im Formularbereich Art des Tests fest, ob Sie einen einseitigen oder zweiseitigen Test durchführen lassen möchten (Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test, Zweiseitiger Test).
    
3. Definieren Sie den Umfang der Stichprobe im Eingabefeld Umfang der Stichprobe n.
    
4. Legen Sie die Anzahl der Objekte, mit der entsprechenden Eigenschaft, im dafür vorgesehenen Eingabefeld fest (Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k).
    
5. Deklarieren Sie im Feld Wahrscheinlichkeit p₀ durch die Eingabe eines entsprechenden Werts, die theoretische Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses.
    
6. Geben Sie den Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit (in %) in das Feld Irrtumswahrscheinlichkeit α in % ein.
    
7. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
   
   Das Programm ermittelt den Annahmebereich K und gibt aus, ob die Nullhypothese angenommen werden kann, oder ob sie abgelehnt werden muss.
    
8. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen. Hierbei wird das entsprechende Binomialverteilungs-Diagramm dargestellt und der ermittelte Annahme- bzw. Ablehnungsbereich farblich markiert. Grün markiert ist der Annahmebereich, blau markiert wird der Ablehnungsbereich ausgewiesen.

Um die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art ermitteln zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, ist Folgendes auszuführen:

1. Führen Sie zunächst, wie oben beschrieben, eine Nullhypothesen-Analyse durch (Registerblatt Risiko 1. Art).
    
2. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 2. Art. Die Ergebnisse der Nullhypothesenberechnung werden ausgegeben. Ferner wird im Formularbereich Ergebnis das Risiko 2. Art für den gegebenen Fall angezeigt.
    
3. Im Formularbereich Tabelle wird für alle theoretischen Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 mit einem Intervallbereich von 0.01 die Wahrscheinlichkeit β ausgegeben.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen, so werden alle Wahrscheinlichkeiten β des Risikos 2. Art im Bereich von 0 bis 1 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art für den konkreten Fall wird durch eine Liniendarstellung bei der Wahrscheinlichkeit p_o gekennzeichnet.

Das Programm stellt nach Aufruf der grafischen Darstellung zunächst das Diagramm bzw. die Kurve für die Art des gewählten Tests dar. Durch eine Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test oder Zweiseitiger Test auf dem Bedienformular können die Diagramme bzw. Kurven der anderen Arten von Tests für die gegebenen Werte aufgerufen werden. Dies gilt sowohl für Untersuchungen des Risikos 1. Art, wie auch für Untersuchungen des Risikos 2. Art. Die Art des Risikos wählen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollschalters Risiko 1. Art bzw. Risiko 2. Art.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des Diagramms des Risikos 1. Art
   
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungswerte ein-/ausschalten
• Markierung: Makierungslinie(n) zur Kennzeichnung des Annahmebereichs ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

Vom Hersteller eines Produktes wird garantiert, dass der Ausschussanteil höchstens 2% beträgt. Von einem Käufer werden unter 100 erworbenen Artikeln 8 defekte Artikel entdeckt. Ist der Käufer bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% berechtigt zu reklamieren?

Vorgehensweise und Lösung:

Es ist ein rechtsseitiger Test durchzuführen.

Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art und geben Sie folgende Werte in die entsprechenden Felder ein:

Umfang der Stichprobe n: 100

Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k: 8

Wahrscheinlichkeit p₀: 0,02

Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Rechtsseitiger Test sowie der Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird ausgegeben:

Nullhypothese kann angenommen werden im Bereich von 0 bis 5.

Resultat: Nullhypothese kann nicht angenommen werden.

Dies bedeutet:

Da der Wert k = 8 außerhalb des ermittelten Annahmebereichs von 0 bis 5 liegt, kann diese Nullhypothese nicht angenommen werden und eine Reklamation des Käufers ist berechtigt.

Nach der Wahl des Registerblatts Risiko 2. Art erhalten Sie die Information über das Risiko 2. Art:

Dieses beträgt 98,45%.

Bei der grafischen Darstellung wird bei einer Wahrscheinlichkeit von p_o = 0,02 eine vertikale Linie eingezeichnet. Aus der horizontal, bis zur Position der festgelegten Wahrscheinlichkeit p₀ verlaufenden Linie kann dieser Wert an der linksseitig angebrachten Skalierung abgelesen werden.
 

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