MathProf - Hypothesentests - Signifikanztest - Alternativtest

Fachthema: Hypothesentest
MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Hypothesentests binomialverteilter Ergebnisse aus Stichproben.
Mit Hilfe dieses Teilprogramms können ein einseitiger Hypothesentest linksseitig, ein einseitiger Hypothesentest rechtsseitig, sowie ein zweiseitiger Hypothesentest durchgeführt werden.
Der implementierte Rechner ermitttelt hierbei unter anderem, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder nicht und stellt die entsprechenden Ergebnisse sowie das resultierende Signifikanzniveau grafisch dar. Zudem erfolgt das Berechnen sowie die Darstellung der Zusammenhänge bzgl. des Eintretens des Fehlers 2. Art in einer Grafik.
Beispiele zur Durchführung und Auswertung von derartigen statistischen Tests sind eingebunden.

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Hypothesentest - Testen von Hypothesen - Nullhypothese - Stochastik - Statistik - Signifikanztest - Hypothese - Statistische Hypothese - Definition - Gegenhypothese - Linksseitig - Rechtsseitig - Einseitig - Zweiseitig - Beidseitig - Fehler 1. Art - Fehler 2. Art - Fehler erster Art - Fehler zweiter Art - Alpha - Alpha-Fehler - Beta-Fehler - Risiko 1. Art - Risiko 2. Art - Irrtumswahrscheinlichkeit - Ungerichtete Hypothese - Zusammenhangshypothese - Signifikanzniveau - Berechnen - Statistische Signifikanz - Annahmebereich - Ablehnungsbereich - Signifikanz - Risiko - Tabelle - Parameter - Alternativtest - Stichprobe - Prüfgröße - Entscheidungsregel - Beidseitiger Hypothesentest - Einseitiger Signifikanztest - Nullhypothese annehmen - Nullhypothese ablehnen - Nullhypothese verwerfen - Gerichtete Hypothese - Erstellen - Statistischer Test - Linksseitiger Signifikanztest - Rechtsseitiger Signifikanztest - Zweiseitiger Signifikanztest - Einseitiger Hypothesentest - Rechtsseitiger Hypothesentest - Wahrscheinlichkeit - P - Linksseitiger Hypothesentest - Zweiseitiger Hypothesentest - Binomialverteilung - Testen einer Hypothese - Hypothesen aufstellen - Fehlerwahrscheinlichkeit - Fehler beim Testen einer Hypothese - Fehler bei Hypothesentests - Statistische Tests - Einseitiger Test - Zweiseitiger Test - Linksseitiger Test - Rechtsseitiger Test - Hypothesenprüfung - Signifikanztests - Statistische Hypothese - Verwerfungsbereich - Grafik - Graphisch - Plotter - Bild - Rechner - Beispiel - Was ist - Bedeutung - Was bedeutet - Wieviel - Erklärung - Einfach erklärt - Aufgaben - Beispielaufgaben - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Darstellung - Bestimmen - Bestimmung - Auswertung - Auswerten - Durchführen - Intervall - Nullhypothesentest - Darstellen - Formel - Testgröße - Vermutung - Berechnung - Plotten - Zeichnen - Wert - Testen - Graph - P-Wert - Kritischer Wert - Schranke - Kritische Werte - Hypothese aufstellen - Hypothesen auswerten - Hypothesen annehmen - Hypothesen ablehnen - Hypothesen bilden - Hypothesen erstellen - Grafisch darstellen - Hypothesen prüfen - Hypothesen untersuchen - Hypothesen verwerfen - Hypothese annehmen - Hypothese ablehnen - Hypothese verwerfen - Gegenhypothese - h0 Hypothese - h0 - h1 - Hypothesen - Einseitige Hypothese - Zweiseitige Hypothese - Alternativhypothese - Erklärung - Beschreibung - Verwerfen - Annahme - Ablehnung |
Hypothesentest
Modul Hypothesentest
Das Unterprogramm [Stochastik] - Hypothesentest ermöglicht die Durchführung eines linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Hypothesentests binomialverteilter Stichprobenergebnisse (Signifikanztest) bei der Ausführung von Zufallstests.
Mit einem Hypothesentest wird ein statistisches Verfahren bezeichnet, mit Hilfe dessen anhand vorliegender Daten geprüft werden kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein vorliegender Sachverhalt als wahrscheinlich angenommen werden kann.
Wahrscheinlichkeit - Bereiche
Beim Vorliegen einer binomialverteilten Stichprobe des Umfangs n, bei welcher das interessierende Ereignis genau k-mal eingetreten ist, beträgt die empirisch gefundene Wahrscheinlichkeit p = k/n. Bei der Erwartung, dass das Ereignis A theoretisch mit der Wahrscheinlichkeit p0 eintreten müsste, kann ein Unterschied zwischen p und p0 entweder zufällig, oder wesentlich sein. Um dies zu überprüfen wird eine Nullhypothese H0: p = p0 aufgestellt. Für eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit α wird nun der sogenannte Ablehnungsbereich ermittelt. Hierbei gilt es, zuvor zu ermitteln, ob der Irrtum gleichmäßig auf beide Randbereiche verteilt ist (zweiseitig), oder ob dieser einseitig ist (linksseitig oder rechtsseitig).
Ist dies bekannt, so gilt es die Werte a und b für die theoretische Binomialverteilung zu ermitteln. Für diese gilt:
Es ergeben sich aus diesen Werten folgende Ablehnungsbereiche (kritische Werte) K:
linksseitig: K = {0,...a}
rechtsseitig: K = {b,...n}
zweiseitig: K = {0,...a} ⋓ {b,...n}
Hypothesen - Fehler - Risiko
Eine Nullhypothese wird abgelehnt (verworfen), wenn der in der Stichprobe gefundene Wert k des Eintretens des Ereignisses A innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt. Hierbei kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α angenommen werden, dass die theoretische Wahrscheinlichkeit p0 von der empirisch ermittelten Wahrscheinlichkeit p wesentlich abweicht.
Bei Durchführung eines Tests dieser Art erfolgt eine Einteilung in gerichtete und ungerichtete Hypothesen (bzw. einseitige bzw. zweiseitige Hypothesen). Eine ungerichtete Alternativhypothese unterstellt lediglich einen Unterschied zwischen verglichenen Kennwerten. Hierbei ist es nicht von Interesse, ob dieser lediglich nach oben, oder lediglich nach unten gerichtet ist. Eine gerichtete Alternativhypothese unterstellt hingegen einen Unterschied hinsichtlich der Richtung zwischen verglichenen Kennwerten.
Es gilt jedoch zu berücksichtigen, dass mit der Wahrscheinlichkeit α ein Fehler 1. Art (Risiko 1. Art bzw. Alphafehler) auftreten kann. Dies trifft dann zu, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, die Nullhypothese H0 dennoch wahr ist.
Die Annahme bzw. Ablehnung (Verwerfung) einer Nullhypothese H0 hängt von der Anzahl der Treffer beim Testen einer Binomialverteilung ab. Da Entscheidungen dieser Art lediglich von einer Stichprobe abhängen, treten auch Fehler auf. Ein Fehler 1. Art wird begangen, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, sie dennoch richtig ist. Von einem Fehler 2. Art wird gesprochen, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, jedoch die Gegenhypothese (Alternativhypothese) gilt. Ein Fehler 1. Art wird mit α bezeichnet, heißt Risiko 1. Art und ist meist vorgegeben. Nach der Durchführung einer Berechnung des Risikos 1. Art kann das Risiko 2. Art (bzw. Betafehler) ermittelt werden.
Die Festlegung der Entscheidungsregel bestimmt die Größe des Annahmebereichs sowie des Ablehnungsbereichs (des Signifikanzniveaus), welche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. bzw. 2. Art angenommen wird.
Risiko 1. Art
Um ermitteln zu lassen, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder abgelehnt werden muss, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
- Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art.
- Legen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters im Formularbereich Art des Tests fest, ob Sie einen einseitigen oder zweiseitigen Test durchführen lassen möchten (Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test, Zweiseitiger Test).
- Definieren Sie den Umfang der Stichprobe im Eingabefeld Umfang der Stichprobe n.
- Legen Sie die Anzahl der Objekte, mit der entsprechenden Eigenschaft, im dafür vorgesehenen Eingabefeld fest (Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k).
- Deklarieren Sie im Feld Wahrscheinlichkeit p0 durch die Eingabe eines entsprechenden Werts, die theoretische Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses.
- Geben Sie den Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit (in %) in das Feld Irrtumswahrscheinlichkeit α in % ein.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
Das Programm ermittelt den Annahmebereich K und gibt aus, ob die Nullhypothese angenommen werden kann, oder ob sie abgelehnt werden muss.
- Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen. Hierbei wird das entsprechende Binomialverteilungs-Diagramm dargestellt und der ermittelte Annahme- bzw. Ablehnungsbereich farblich markiert. Grün markiert ist der Annahmebereich, blau markiert wird der Ablehnungsbereich ausgewiesen.
Risiko 2. Art
Um die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art ermitteln zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, ist Folgendes auszuführen:
- Führen Sie zunächst, wie oben beschrieben, eine Nullhypothesen-Analyse durch (Registerblatt Risiko 1. Art).
- Wählen Sie das Registerblatt Risiko 2. Art. Die Ergebnisse der Nullhypothesenberechnung werden ausgegeben. Ferner wird im Formularbereich Ergebnis das Risiko 2. Art für den gegebenen Fall angezeigt.
- Im Formularbereich Tabelle wird für alle theoretischen Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 mit einem Intervallbereich von 0.01 die Wahrscheinlichkeit β ausgegeben.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen, so werden alle Wahrscheinlichkeiten β des Risikos 2. Art im Bereich von 0 bis 1 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art für den konkreten Fall wird durch eine Liniendarstellung bei der Wahrscheinlichkeit po gekennzeichnet.
Hinweise zur Darstellung
Das Programm stellt nach Aufruf der grafischen Darstellung zunächst das Diagramm bzw. die Kurve für die Art des gewählten Tests dar. Durch eine Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test oder Zweiseitiger Test auf dem Bedienformular können die Diagramme bzw. Kurven der anderen Arten von Tests für die gegebenen Werte aufgerufen werden. Dies gilt sowohl für Untersuchungen des Risikos 1. Art, wie auch für Untersuchungen des Risikos 2. Art. Die Art des Risikos wählen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollschalters Risiko 1. Art bzw. Risiko 2. Art.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Diagramm und Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken und Linien
- Nur Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Linien
- Nur Diagramm: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken
- Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des Diagramms des Risikos 1. Art
- Beschriftung: Anzeige der Verteilungswerte ein-/ausschalten
- Markierung: Makierungslinie(n) zur Kennzeichnung des Annahmebereichs ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Binomialverteilung - grafische Analyse
Beispiel - Aufgabe
Vom Hersteller eines Produktes wird garantiert, dass der Ausschussanteil höchstens 2% beträgt. Von einem Käufer werden unter 100 erworbenen Artikeln 8 defekte Artikel entdeckt. Ist der Käufer bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% berechtigt zu reklamieren?
Vorgehensweise und Lösung:
Es ist ein rechtsseitiger Test durchzuführen.
Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art und geben Sie folgende Werte in die entsprechenden Felder ein:
Umfang der Stichprobe n: 100
Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k: 8
Wahrscheinlichkeit p0: 0,02
Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%
Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Rechtsseitiger Test sowie der Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird ausgegeben:
Nullhypothese kann angenommen werden im Bereich von 0 bis 5.
Resultat: Nullhypothese kann nicht angenommen werden.
Dies bedeutet:
Da der Wert k = 8 außerhalb des ermittelten Annahmebereichs von 0 bis 5 liegt, kann diese Nullhypothese nicht angenommen werden und eine Reklamation des Käufers ist berechtigt.
Nach der Wahl des Registerblatts Risiko 2. Art erhalten Sie die Information über das Risiko 2. Art:
Dieses beträgt 98,45%.
Bei der grafischen Darstellung wird bei einer Wahrscheinlichkeit von po = 0,02 eine vertikale Linie eingezeichnet. Aus der horizontal, bis zur Position der festgelegten Wahrscheinlichkeit p0 verlaufenden Linie kann dieser Wert an der linksseitig angebrachten Skalierung abgelesen werden.
Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Risiko 1. Art
Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Risiko 1. Art
Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Risiko 1. Art
Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Risiko 1. Art
Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Risiko 2. Art
Grafische Darstellung - Beispiel 6 - Risiko 2. Art
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Statistischer Test
Wikipedia - Fehler 1. und 2. Art
Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
Startfenster des Unterprogramms Hypothesentest
MathProf 5.0 - Unterprogramm Binomialverteilung - Interaktiv
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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