MathProf - Hypothesentests - Signifikanztest - Alternativtest

Fachthema: Hypothesentest

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Hypothesentests binomialverteilter Ergebnisse aus Stichproben.

Mit Hilfe dieses Teilprogramms können ein einseitiger Hypothesentest linksseitig, ein einseitiger Hypothesentest rechtsseitig, sowie ein zweiseitiger Hypothesentest durchgeführt werden.

Der implementierte Rechner ermitttelt hierbei unter anderem, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder nicht und stellt die entsprechenden Ergebnisse sowie das resultierende Signifikanzniveau grafisch dar. Zudem erfolgt das Berechnen sowie die Darstellung der Zusammenhänge bzgl. des Eintretens des Fehlers 2. Art in einer Grafik.

 Beispiele zur Durchführung und Auswertung von derartigen statistischen Tests sind eingebunden.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Hypothesentest - Nullhypothese - Stochastik - Statistik - Signifikanztest - Hypothese - Gegenhypothese - Linksseitig - Rechtsseitig - Einseitig - Zweiseitig - Beidseitig - Fehler 1. Art - Fehler 2. Art - Fehler erster Art - Fehler zweiter Art - Alpha - Alpha-Fehler - Beta-Fehler - Risiko 1. Art - Risiko 2. Art - Irrtumswahrscheinlichkeit - Signifikanzniveau - Berechnen - Statistische Signifikanz - Annahmebereich bestimmen - Ablehnungsbereich bestimmen - Signifikanz - Risiko - Tabelle - Parameter - Alternativtest - Stichprobe - Beidseitiger Hypothesentest - Einseitiger Signifikanztest - Nullhypothese annehmen - Nullhypothese ablehnen - Nullhypothese verwerfen - Gerichtete Hypothese - Statistischer Test - Linksseitiger Signifikanztest - Rechtsseitiger Signifikanztest - Zweiseitiger Signifikanztest - Einseitiger Hypothesentest - Rechtsseitiger Hypothesentest - Wahrscheinlichkeit - Linksseitiger Hypothesentest - Zweiseitiger Hypothesentest - Binomialverteilung - Testen einer Hypothese - Hypothesen aufstellen - Fehlerwahrscheinlichkeit - Fehler beim Testen einer Hypothese - Fehler bei Hypothesentests - Statistische Tests - Einseitiger Test - Zweiseitiger Test - Linksseitiger Test - Rechtsseitiger Test - Hypothesenprüfung - Signifikanztests - Statistische Hypothese - Verwerfungsbereich - Grafik - Graphisch - Plotter - Bild - Rechner - Beispiel - Aufgaben - Darstellung - Bestimmen - Bestimmung - Auswertung - Auswerten - Durchführen - Intervall - Nullhypothesentest - Darstellen - Formel - Testgröße - Vermutung - Berechnung - Plotten - Zeichnen - Wert - Testen - Graph - P-Wert - Kritischer Wert - Schranke - Kritische Werte - Hypothesen aufstellen - Hypothesen auswerten - Hypothesen annehmen - Hypothesen ablehnen - Hypothesen bilden - Hypothesen erstellen - Grafisch darstellen - Hypothesen prüfen - Hypothesen untersuchen - Hypothesen verwerfen - Hypothese annehmen - Hypothese ablehnen - Hypothese verwerfen - Gegenhypothese - h0 Hypothese - h0 - h1 - Hypothesen - Einseitige Hypothese - Zweiseitige Hypothese - Alternativhypothese - Definition - Verwerfen - Annahme - Ablehnung

 

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Das Unterprogramm [Stochastik] - Hypothesentest ermöglicht die Durchführung eines linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Hypothesentests binomialverteilter Stichprobenergebnisse (Signifikanztest) bei der Ausführung von Zufallstests.

Beim Vorliegen einer binomialverteilten Stichprobe des Umfangs n, bei welcher das interessierende Ereignis genau k-mal eingetreten ist, beträgt die empirisch gefundene Wahrscheinlichkeit p = k/n. Bei der Erwartung, dass das Ereignis A theoretisch mit der Wahrscheinlichkeit p₀ eintreten müsste, kann ein Unterschied zwischen p und p₀ entweder zufällig, oder wesentlich sein. Um dies zu überprüfen wird eine Nullhypothese H₀: p = p₀ aufgestellt. Für eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit α wird nun der sogenannte Ablehnungsbereich ermittelt. Hierbei gilt es, zuvor zu ermitteln, ob der Irrtum gleichmäßig auf beide Randbereiche verteilt ist (zweiseitig), oder ob dieser einseitig ist (linksseitig oder rechtsseitig).

Ist dies bekannt, so gilt es die Werte a und b für die theoretische Binomialverteilung zu ermitteln. Für diese gilt:

Es ergeben sich aus diesen Werten folgende Ablehnungsbereiche (kritische Werte) K:

linksseitig: K = {0,...a}

rechtsseitig: K = {b,...n}

zweiseitig: K = {0,...a} ⋓ {b,...n}

Eine Nullhypothese wird abgelehnt, wenn der in der Stichprobe gefundene Wert k des Eintretens des Ereignisses A innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt. Hierbei kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α angenommen werden, dass die theoretische Wahrscheinlichkeit p₀ von der empirisch ermittelten Wahrscheinlichkeit p wesentlich abweicht.

Es gilt jedoch zu berücksichtigen, dass mit der Wahrscheinlichkeit α ein Fehler 1. Art (Risiko 1. Art bzw. Alphafehler) auftreten kann. Dies trifft dann zu, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, die Nullhypothese H₀ dennoch wahr ist.

Die Annahme bzw. Ablehnung einer Nullhypothese H₀ hängt von der Anzahl der Treffer beim Testen einer Binomialverteilung ab. Da Entscheidungen dieser Art lediglich von einer Stichprobe abhängen, treten auch Fehler auf. Ein Fehler 1. Art wird begangen, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, sie dennoch richtig ist. Von einem Fehler 2. Art wird gesprochen, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, jedoch die Gegenhypothese (Alternativhypothese) gilt. Ein Fehler 1. Art wird mit α bezeichnet, heißt Risiko 1. Art und ist meist vorgegeben. Nach der Durchführung einer Berechnung des Risikos 1. Art kann das Risiko 2. Art (bzw. Betafehler) ermittelt werden.

Um ermitteln zu lassen, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder abgelehnt werden muss, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:

1. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art.
    
2. Legen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters im Formularbereich Art des Tests fest, ob Sie einen einseitigen oder zweiseitigen Test durchführen lassen möchten (Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test, Zweiseitiger Test).
    
3. Definieren Sie den Umfang der Stichprobe im Eingabefeld Umfang der Stichprobe n.
    
4. Legen Sie die Anzahl der Objekte, mit der entsprechenden Eigenschaft, im dafür vorgesehenen Eingabefeld fest (Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k).
    
5. Deklarieren Sie im Feld Wahrscheinlichkeit p₀ durch die Eingabe eines entsprechenden Werts, die theoretische Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses.
    
6. Geben Sie den Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit (in %) in das Feld Irrtumswahrscheinlichkeit α in % ein.
    
7. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
   
   Das Programm ermittelt den Annahmebereich K und gibt aus, ob die Nullhypothese angenommen werden kann, oder ob sie abgelehnt werden muss.
    
8. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen. Hierbei wird das entsprechende Binomialverteilungs-Diagramm dargestellt und der ermittelte Annahme- bzw. Ablehnungsbereich farblich markiert. Grün markiert ist der Annahmebereich, blau markiert wird der Ablehnungsbereich ausgewiesen.

Um die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art ermitteln zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, ist Folgendes auszuführen:

1. Führen Sie zunächst, wie oben beschrieben, eine Nullhypothesen-Analyse durch (Registerblatt Risiko 1. Art).
    
2. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 2. Art. Die Ergebnisse der Nullhypothesenberechnung werden ausgegeben. Ferner wird im Formularbereich Ergebnis das Risiko 2. Art für den gegebenen Fall angezeigt.
    
3. Im Formularbereich Tabelle wird für alle theoretischen Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 mit einem Intervallbereich von 0.01 die Wahrscheinlichkeit β ausgegeben.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen, so werden alle Wahrscheinlichkeiten β des Risikos 2. Art im Bereich von 0 bis 1 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art für den konkreten Fall wird durch eine Liniendarstellung bei der Wahrscheinlichkeit p_o gekennzeichnet.

Das Programm stellt nach Aufruf der grafischen Darstellung zunächst das Diagramm bzw. die Kurve für die Art des gewählten Tests dar. Durch eine Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test oder Zweiseitiger Test auf dem Bedienformular können die Diagramme bzw. Kurven der anderen Arten von Tests für die gegebenen Werte aufgerufen werden. Dies gilt sowohl für Untersuchungen des Risikos 1. Art, wie auch für Untersuchungen des Risikos 2. Art. Die Art des Risikos wählen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollschalters Risiko 1. Art bzw. Risiko 2. Art.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des Diagramms des Risikos 1. Art
   
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungswerte ein-/ausschalten
• Markierung: Makierungslinie(n) zur Kennzeichnung des Annahmebereichs ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

Vom Hersteller eines Produktes wird garantiert, dass der Ausschussanteil höchstens 2% beträgt. Von einem Käufer werden unter 100 erworbenen Artikeln 8 defekte Artikel entdeckt. Ist der Käufer bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% berechtigt zu reklamieren?

Vorgehensweise und Lösung:

Es ist ein rechtsseitiger Test durchzuführen.

Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art und geben Sie folgende Werte in die entsprechenden Felder ein:

Umfang der Stichprobe n: 100

Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k: 8

Wahrscheinlichkeit p₀: 0,02

Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Rechtsseitiger Test sowie der Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird ausgegeben:

Nullhypothese kann angenommen werden im Bereich von 0 bis 5.

Resultat: Nullhypothese kann nicht angenommen werden.

Dies bedeutet:

Da der Wert k = 8 außerhalb des ermittelten Annahmebereichs von 0 bis 5 liegt, kann diese Nullhypothese nicht angenommen werden und eine Reklamation des Käufers ist berechtigt.
 

Nach der Wahl des Registerblatts Risiko 2. Art erhalten Sie die Information über das Risiko 2. Art:

Dieses beträgt 98,45%.
 

Bei der grafischen Darstellung wird bei einer Wahrscheinlichkeit von p_o = 0,02 eine vertikale Linie eingezeichnet. Aus der horizontal, bis zur Position der festgelegten Wahrscheinlichkeit p₀ verlaufenden Linie kann dieser Wert an der linksseitig angebrachten Skalierung abgelesen werden.
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Statistischer Test
Wikipedia - Fehler 1. und 2. Art

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

 

 

  

PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
   

Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 

 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 

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