MathProf - Horner-Schema - Rechner - Ableitung - Algorithmus
Fachthema: Horner-Schema - Nullstellen
MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.
Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Abiturvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung des Horner-Schemas zum Berechnen der Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dieses Schema ersetzt die Durchführung der Polynomdivision.
In diesem Programmteil erfolgt neben der Durchführung der Nullstellenberechnung die Ermittlung der Ableitungen eines aufgefundenen Polynoms sowie die Ausgabe derer Funktionswerte bei den entsprechenden Nullstellen.
Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. Das Programm ermittelt die numerischen Lösungen des Problems und listet die Ergebnisse in einer Tabelle. Der in diesem Unterprogramm integrierte Rechner ermöglicht auch die Ausgabe der grafischen Darstellung der entsprechenden Zusammenhänge.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Horner-Schema - Horner Schema - Horner-Methode - Horner - Hornerschema - Nullstellen - Ableitung - Ableiten - Lösungsweg - Vollständiges Horner Schema - Horner-Verfahren - Hornersche Regel - Funktion - Stützstellen - Grad - Rest - Restpolynom - Bild - 3. Grades - 4. Grades - 5. Grades - Polynom - Plotter - Plot - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Rechner - Graph - Formel - Grafik - Darstellung - Bedeutung - Erklärung - Einfach erklärt - Einführung - Beschreibung - Definition - Berechnen - Berechnung - Beispiele - Bestimmen - Bestimmung - Reduziertes Polynom - Reduzieren - Algorithmus - Tabelle - Darstellen - Nullstellenbestimmung - Produktdarstellung - Polynomdivision |
Horner-Schema - Horner-Methode
Modul Horner-Schema
Das Unterprogramm [Analysis] - [Nullstellen] - Horner-Schema ermöglicht die Anwendung des Horner-Schemas, welches u.a. zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen Anwendung findet.
Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren, welches unter anderem zur Berechnung der Funktionswerte ganzzahliger Funktionen (Polynome) genutzt werden, wie auch zur Berechnung der Nullstellen von Polynomfunktionen zum Einsatz kommen kann.
Mit Hilfe dieses Moduls können Berechnungen mit Funktionen folgender Art durchgeführt werden:
Hierzu gehören u.a.:
-
Berechnung der Funktionswerte einer ganzrationalen Funktion
-
Schrittweise Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung von Polynomen)
-
Bestimmung der Ableitungswerte einer ganzrationalen Funktion an einer Stelle x0
-
Taylorreihenentwicklung an einer Stelle x0
In diesem Programmteil wird es ermöglicht, Nullstellenberechnungen mit ganzrationalen Funktionen bis 6. Grades (n = 6) nach folgendem Schema durchführen zu lassen:
Das zu untersuchende Polynom muss der Potenz der entsprechenden Exponenten geordnet von links nach rechts (höchste Potenz links) gegliedert sein. Die Koeffizienten an bis a0 der entsprechenden Glieder des Polynoms werden gemäß dem oben gezeigten Bild eingegeben. Kommt eine Potenz in einem zu untersuchenden Term nicht vor, so ist für den entsprechenden Koeffizienten die Zahl Null einzutragen.
Beispiel zur Anwendung des Horner-Schemas:
Es gilt die nachfolgend aufgeführte Aufgabe unter Anwendung des Horner-Schemas zu lösen.
(x³ + 2x² - x + 6) : (x + 3) = ?
Zunächst werden die Polynomkoeffizienten des Terms x³ + 2x² - x + 6 in die oberste Zeile des Schemas von links nach rechts eingetragen. Hierbei wird mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz begonnen und es werden die Zahlen 1, 2, -1 und 6 in die Spalten mit den Bezeichnungen a3, a2, a1 und a0 geschrieben.
In die Spalte mit der Bezeichnung x wird die Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen eingetragen, die sich im Nenner des Bruchs befindet. Im vorliegenden Fall ist dies die Zahl -3, da der zu dividierende Term (x + 3) lautet. Somit wird in dieses Feld der Ausdruck x1 = -3 geschrieben.
Hierauf erfolgt die Übernahme des Koeffizenten a3 in die vierte Zeile. Im vorliegenden Fall handelt es sich um die Zahl 1.
Der zuletzt übertragene Wert (die Zahl 1) wird nun mit dem Wert der Zahl x1 multipliziert. Diese Multiplikation führt zum Ergebnis -3, denn -3 · 1 = -3. Die hierdurch ermittelte Zahl (-3) wird zum Wert des Koeffizienten a2 addiert. Aus dieser Rechenoperation resultiert die Zahl -1, denn 2 - 3 = -1. Dieses Ergebnis wird in das unterste Feld der Spalte a2 übernommen.
Wiederum wird der zuletzt übertragene Wert (die Zahl -1) mit dem Wert der Zahl x1 multipliziert. Diese Multiplikation führt zum Ergebnis 3, denn -3 · (-1) = 3. Die hierdurch ermittelte Zahl (3) wird zum Wert des Koeffizienten a1 addiert. Aus dieser Rechenoperation resultiert die Zahl 2, denn -1 + 3 = 2. Dieses Ergebnis wird in das unterste Feld der Spalte a1 übernommen.
Im letzten durchzuführenden Schritt wird der zuletzt übertragene Wert (die Zahl 3) mit dem Wert der Zahl x1 multipliziert. Diese Multiplikation führt zum Ergebnis -6, denn 2 · (-3) = -6. Die hierdurch ermittelte Zahl (-6) wird zum Wert des Koeffizienten a0 addiert. Aus dieser Rechenoperation resultiert die Zahl 0, denn 6 - 6 = 0. Dieses Ergebnis wird in das unterste Feld der Spalte a0 übernommen.
Ergebnis:
Das Resultat dieser durchgeführten Rechenoperationen kann aus der untersten Zeile des Horner-Schemas aus den Spalten a3, a2, a1 und a0 abgelesen werden. Im vorliegenden Fall sind dies die Zahlen 1, -1, 2 und 0.
Somit ergibt sich für die Lösung der durchgeführten Rechenoperation (x³ + 2x³ - x + 6) : (x + 3) das Ergebnis (x³ + 2x³ - x + 6) : (x + 3) = x² - x + 2.
Berechnung und Darstellung
Die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit Hilfe des Horner-Schemas kann in diesem Modul folgendermaßen ausgeführt werden:
-
Geben Sie die Koeffizienten des zu untersuchenden Polynoms, sowie den Wert der zu verwendenden Startstelle x0 in die entsprechenden Felder ein und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
-
Möchten Sie sich die definierte Polynomfunktion grafisch ausgeben lassen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Bei einer zuvor ausgeführten Aktivierung des Kontrollkästchens Ableitungen darstellen werden auch die Ableitungen der Funktion (bis zu deren festgelegtem Grad) dargestellt.
-
Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchen Startstelle markieren wird eine Vertikale an der festgelegten Startstelle ausgegeben. Eine Aktivierung der Kontrollkästchens Punkte bezeichnen bewirkt die Einblendung von Punkten auf der Kurve bzw. derer Ableitungen an der Startstelle.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und leichten Bedienbarbarkeit der einzelnen Module dieser Software werden oftmals häufig gestellte Fragen mit den Anfangsworten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? zum entsprechenden Themengebiet auf verständliche Weise beantwortet und einfach erklärt sich durch dessen Benutzung vieles von alleine. Zudem liefert diese Applikation zu vielen gestellten Fragen eine verständliche Antwort, Beschreibung und Erklärung.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Ermittlung ganzrationaler Funktionen
Interpolation ganzrationaler Funktionen
Beispiele - Aufgaben
Horner-Schema Beispiel 1:
Gesucht wird der Funktionswert der Funktion f(x) = 5,2·x4-3·x2+0,4·x-6 an der Stelle x0 = 0,5.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts 0,5 im Feld X0, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:
| a4 | 5,2 |
| a3 | 0 |
| a2 | -3 |
| a1 | 0,4 |
| a0 | -6 |
erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:
| 5,2 | 0 | -3 | 0,4 | -6 | |
| x0 = 0,5 | 5,2 | 2,6 | 1,3 | -0,85 | -0,225 |
| 5,2 | 2,6 | -1,7 | 0,45 | -6,225 |
Aus der Tabelle Spalte 6, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(0,5) gleich -6,225 ist. f(0,5) = -6,225
Horner-Schema Beispiel 2:
Es gilt zu zeigen, dass die Funktion f(x) = 3·x3+18·x2+9·x-30 an der Stelle x0 = -5 eine Nullstelle besitzt. Zudem soll die Produktdarstellung des Polynoms ermittelt werden.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts -5 im Feld X0, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:
| a3 | 3 |
| a2 | -18 |
| a1 | 9 |
| a0 | -30 |
erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:
| 3 | -18 | 9 | -30 | |
| x0 = -5 | 3 | -15 | -15 | 30 |
| 3 | 3 | -6 | 0 |
Reduziertes Polynom: f(x) = 3·x2 + 3·x - 6 = x2 + x - 2
Aus der Tabelle in Spalte 5, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(-5) gleich 0 ist. Die Nullstellen des reduzierten Polynoms f(x) sind: x1 = 1 und x2 = -2. Somit lautet die Produktdarstellung des Polynoms: f(x) = 3·(x+5)·(x-1)·(x+2).
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Horner-Schema
Wikipedia - Nullstelle
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Nullstellen - Iterationsverfahren
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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