MathProf - Horner-Schema - Rechner - Ableitung - Algorithmus - Nullstellen

Fachthema: Horner-Schema - Nullstellen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Abiturvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung des Horner-Schemas zum Berechnen der Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dieses Schema ersetzt die Durchführung der Polynomdivision.

 In diesem Programmteil erfolgt neben der Durchführung der Nullstellenberechnung die Ermittlung der Ableitungen eines aufgefundenen Polynoms sowie die Ausgabe derer Funktionswerte bei den entsprechenden Nullstellen.

Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. Das Programm ermittelt die numerischen Lösungen des Problems und listet die Ergebnisse in einer Tabelle. Der in diesem Unterprogramm integrierte Rechner ermöglicht auch die Ausgabe der grafischen Darstellung der entsprechenden Zusammenhänge.  

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm

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Themen und Stichworte: Horner-Schema - Horner-Methode - Berechnung von Nullstellen - Ableitung - Ableiten - Ableitungen von Polynomen - Nullstellen von Polynomen - Nullstellen von ganzrationalen Funktionen - Rechner für das Horner-Schema - Nullstellen bestimmen - Lösungsweg zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen - Horner-Verfahren - Funktion - Stützstellen - Grad - Rest - Restpolynom - Bild - Lösungen - Grafik - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. Grades - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 4. Grades - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 5. Grades - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 6. Grades - Nullstellenbestimmung - Tabelle - Produktdarstellung - Polynomdivision

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Nullstellen] - Horner-Schema ermöglicht die Anwendung des Horner-Schemas, welches u.a. zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen Anwendung findet.

Mit Hilfe dieses Moduls können Berechnungen mit Funktionen folgender Art durchgeführt werden:

Hierzu gehören u.a.:
 

• Berechnung der Funktionswerte einer ganzrationalen Funktion

• Schrittweise Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung von Polynomen)

• Bestimmung der Ableitungswerte einer ganzrationalen Funktion an einer Stelle x₀

• Taylorreihenentwicklung an einer Stelle x₀

In diesem Programmteil wird es ermöglicht, Nullstellenberechnungen mit ganzrationalen Funktionen bis 6. Grades (n = 6) nach folgendem Schema durchführen zu lassen:

Die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit Hilfe des Horner-Schemas kann folgendermaßen ausgeführt werden:
 

1. Geben Sie die Koeffizienten des zu untersuchenden Polynoms, sowie den Wert der zu verwendenden Startstelle x₀ in die entsprechenden Felder ein und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    

2. Möchten Sie sich die definierte Polynomfunktion grafisch ausgeben lassen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Bei einer zuvor ausgeführten Aktivierung des Kontrollkästchens Ableitungen darstellen werden auch die Ableitungen der Funktion (bis zu deren festgelegtem Grad) dargestellt.
    

3. Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchen Startstelle markieren wird eine Vertikale an der festgelegten Startstelle ausgegeben. Eine Aktivierung der Kontrollkästchens Punkte bezeichnen bewirkt die Einblendung von Punkten auf der Kurve bzw. derer Ableitungen an der Startstelle.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Ermittlung ganzrationaler Funktionen

Interpolation ganzrationaler Funktionen

Kurvendiskussion

Horner-Schema Beispiel 1:

Gesucht wird der Funktionswert der Funktion f(x) = 5,2·x⁴-3·x²+0,4·x-6 an der Stelle x₀ = 0,5.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts 0,5 im Feld X₀, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:

erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:

Aus der Tabelle Spalte 6, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(0,5) gleich -6,225 ist. f(0,5) = -6,225

Horner-Schema Beispiel 2:

Es gilt zu zeigen, dass die Funktion f(x) = 3·x³+18·x²+9·x-30 an der Stelle x₀ = -5 eine Nullstelle besitzt. Zudem soll die Produktdarstellung des Polynoms ermittelt werden.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts -5 im Feld X₀, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:

erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:

Reduziertes Polynom: f(x) = 3·x² + 3·x - 6 = x² + x - 2

Aus der Tabelle in Spalte 5, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(-5) gleich 0 ist. Die Nullstellen des reduzierten Polynoms f(x) sind: x₁ = 1 und x₂ = -2. Somit lautet die Produktdarstellung des Polynoms: f(x) = 3·(x+5)·(x-1)·(x+2).
 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Analysis aufgerufen werden.
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
 
Wikipedia - Horner-Schema
Wikipedia - Nullstelle 

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