MathProf - Horner-Schema - Rechner - Ableitung - Algorithmus

Fachthema: Horner-Schema - Nullstellen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen. Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Abiturvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung des Horner-Schemas zum Berechnen der Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Dieses Schema ersetzt die Durchführung der Polynomdivision.

 In diesem Programmteil erfolgt neben der Durchführung der Nullstellenberechnung die Ermittlung der Ableitungen eines aufgefundenen Polynoms sowie die Ausgabe derer Funktionswerte bei den entsprechenden Nullstellen.

Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. Das Programm ermittelt die numerischen Lösungen des Problems und listet die Ergebnisse in einer Tabelle. Der in diesem Unterprogramm integrierte Rechner ermöglicht auch die Ausgabe der grafischen Darstellung der entsprechenden Zusammenhänge.  

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Horner-Schema - Horner-Methode - Nullstellen - Berechnung von Nullstellen - Ableitung - Ableiten - Ableitungen von Polynomen - Nullstellen von Polynomen - Nullstellen von ganzrationalen Funktionen - Rechner für das Horner-Schema - Nullstellen bestimmen - Lösungsweg zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen - Vollständiges Horner Schema - Horner-Verfahren - Funktion - Stützstellen - Grad - Rest - Restpolynom - Bild - Polynom - Plotter - Plot - Aufgaben - Rechner - Graph - Lösungen - Formel - Grafik - Darstellung - Berechnen - Beispiele - Bestimmen - Bestimmung - Algorithmus - Tabelle - Darstellen - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. Grades - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 4. Grades - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 5. Grades - Nullstellen ganzrationaler Funktionen 6. Grades - Nullstellenbestimmung - Produktdarstellung - Polynomdivision

 

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Nullstellen] - Horner-Schema ermöglicht die Anwendung des Horner-Schemas, welches u.a. zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen Anwendung findet.

Mit Hilfe dieses Moduls können Berechnungen mit Funktionen folgender Art durchgeführt werden:

Hierzu gehören u.a.:
 

• Berechnung der Funktionswerte einer ganzrationalen Funktion

• Schrittweise Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung von Polynomen)

• Bestimmung der Ableitungswerte einer ganzrationalen Funktion an einer Stelle x₀

• Taylorreihenentwicklung an einer Stelle x₀

In diesem Programmteil wird es ermöglicht, Nullstellenberechnungen mit ganzrationalen Funktionen bis 6. Grades (n = 6) nach folgendem Schema durchführen zu lassen:

Die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit Hilfe des Horner-Schemas kann folgendermaßen ausgeführt werden:
 

1. Geben Sie die Koeffizienten des zu untersuchenden Polynoms, sowie den Wert der zu verwendenden Startstelle x₀ in die entsprechenden Felder ein und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    

2. Möchten Sie sich die definierte Polynomfunktion grafisch ausgeben lassen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Bei einer zuvor ausgeführten Aktivierung des Kontrollkästchens Ableitungen darstellen werden auch die Ableitungen der Funktion (bis zu deren festgelegtem Grad) dargestellt.
    

3. Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchen Startstelle markieren wird eine Vertikale an der festgelegten Startstelle ausgegeben. Eine Aktivierung der Kontrollkästchens Punkte bezeichnen bewirkt die Einblendung von Punkten auf der Kurve bzw. derer Ableitungen an der Startstelle.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Ermittlung ganzrationaler Funktionen

Interpolation ganzrationaler Funktionen

Kurvendiskussion

Horner-Schema Beispiel 1:

Gesucht wird der Funktionswert der Funktion f(x) = 5,2·x⁴-3·x²+0,4·x-6 an der Stelle x₀ = 0,5.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts 0,5 im Feld X₀, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:

erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:

Aus der Tabelle Spalte 6, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(0,5) gleich -6,225 ist. f(0,5) = -6,225

Horner-Schema Beispiel 2:

Es gilt zu zeigen, dass die Funktion f(x) = 3·x³+18·x²+9·x-30 an der Stelle x₀ = -5 eine Nullstelle besitzt. Zudem soll die Produktdarstellung des Polynoms ermittelt werden.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts -5 im Feld X₀, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:

erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:

Reduziertes Polynom: f(x) = 3·x² + 3·x - 6 = x² + x - 2

Aus der Tabelle in Spalte 5, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(-5) gleich 0 ist. Die Nullstellen des reduzierten Polynoms f(x) sind: x₁ = 1 und x₂ = -2. Somit lautet die Produktdarstellung des Polynoms: f(x) = 3·(x+5)·(x-1)·(x+2).
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
 
Wikipedia - Horner-Schema
Wikipedia - Nullstelle 

 
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

 

 

  

PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
   

Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 

 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 

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