MathProf - Kartesisches Blatt (Berechnen - Zeichnen)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kartesisches Blatt
(Berechnen - Zeichnen)

 

Das kleine Unterprogramm [Analysis] - [Kurven n-ter Ordnung] - Kartesisches Blatt ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Kurven, welche als Kartesische Blätter bezeichnet werden.

 

MathProf - Kartesisches Blatt

 

Ein Kartesisches Blatt ist eine Kurve 3. Ordnung, welche folgendermaßen beschrieben werden kann:

 

Kartesisch:

 

x²+y²-3axy = 0

 

In Parameterform:

 

x = 3at/(1+t³)

y = 3at²/(1+t³)

 

In Polarform:

 

r = 3·a·sin(φ)·cos(φ)/(sin²(φ)+cos²(φ))

 

Der Scheitel einer Kurve dieser Art befindet sich in S (3/2a | 3/2a).

Die Fläche zwischen der Kurve und ihrer Asymptote beträgt, ebenso wie Fläche der Schleife: A = 3/2a²

Krümmungsradius: ρ = 3/2a

Die Tangenten der Kurve im Koordinatenursprung sind X = 0 und Y = 0.

 

Sachverhalte zu diesem Thema können Sie in diesem Programmmodul analysieren.
 

Darstellung

Führen Sie Folgendes durch, um Untersuchungen vorzunehmen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Kurvenanalyse oder Punktanalyse, ob die Kurve über einen gesamten Winkelwertebereich -180° φ 180° darzustellen ist, oder ob Koordinatenwerte der Kurve bei einer festgelegten Winkelposition φ in Punkt P auszugeben sind, bzw. bis zu dieser darzustellen sind.
     

  2. Stellen Sie den Wert für Funktionsparameter a durch die Positionierung des Rollbalkens Param. a ein und legen Sie durch eine Bedienung des Rollbalkens Winkel φ die entsprechende Position eines Kurvenpunkts fest.
     

  3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Kartesisch - Blatt - Scheitel


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Asymptote: Darstellung der Asymptote der Kurve ein-/ausschalten
  • Scheitel: Darstellung des Scheitelpunkts der Kurve ein-/ausschalten
  • Kurve hervorh.: Linienstärke der Kurve normal/fett

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

Darstellung implizit definierter Funktionen

 

Beispiel

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Punktanalyse, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 5 sowie den Rollbalken Winkel φ auf den Wert -280°, so stellt das Programm das kartesische Blatt dar, welches durch die Gleichung r = 15·sin(φ)·cos(φ)/(sin²(φ)+cos²(φ)) über einen Winkelwertebereich von -180° φ 180° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Koordinatenwerte des Kurvenpunkts bei Winkelposition φ = -280° lauten: P (0,464 / 2,63)

Der Scheitel der Kurve besitzt die Koordinatenwerte: S (7,5 / 7,5)

Die Asymptote kann durch die Funktion y = -x+5 beschrieben werden.

Die Fläche zwischen der Kurve und der Asymptote, wie auch die Fläche der Schleife beträgt: A = 37,5 FE
 

Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen


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