MathProf - Kurvendiskussion - Ableitung - Höhere Ableitungen - Lokale Extrema

MathProf - Mathematik-Software - Kurvendiskussion | Extrempunkt | Ableitungsfunktion | Differentialrechnung

MathProf - Analysis - Software für Ingenieurmathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kurvendiskussion | Extrempunkt | Ableitungsfunktion | Differentialrechnung

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Kurvendiskussionen mit mathematischen Funktionen, welche frei definierbare Parameter enthalten können.

In diesem Teilprogramm, welches zum Themengebiet der Differential- und Integralrechnung zählt, wird das Ableiten mathematischer Funktionen sowie das Berechnen der lokalen Nullstellen von Funktionen, der Pole bzw. Polstellen von Funktionen, der Maxima von Funktionen, der Minima von Funktionen und der Wendepunkte bzw. der Wendestellen dieser ermöglicht. Auch das Berechnen und Darstellen einer Wendetangente in einem relevanten Punkt kann veranlasst werden.


Zudem erfolgt bei Durchführung der Kurvenuntersuchung das
Berechnen der vorliegenden Art der Krümmung bei relevanten Kurvenpunkten sowie die Berechnung des Krümmungsmittelpunkts und des Krümmungsradius vom Krümmungskreis im entsprechenden Punkt. Somit kann das Krümmungsverhalten der definierten Funktion untersucht werden. Beim Plotten des Graphen einer Funktion lassen sich neben der ersten Ableitung auch die zweite Ableitung sowie die dritte Ableitung dieser ausgeben.


Das Ermitteln der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte:

Anwendung der Differentiation - Komplette Kurvendiskussion - Kurvendiskussion mit Parameter - Numerische Berechnung von Hochpunkten, Tiefpunkten, Wendestellen, Polen (Polstellen), Krümmungskreisen (Krümmungsradius und Krümmungsmittelpunkt) sowie die Darstellung der Ableitungen definierter Funktionen bei Durchführung der Differentialrechnung - Tangenten - Nullstellen berechnen - Graph einer Ableitung darstellen - Krümmung einer Kurve berechnen - Extrema einer Kurve berechnen - Extremstellen einer Kurve berechnen - Durchführung der Extremwertberechnung - Untersuchen von Funktionen - Differentiation - Achsenschnittpunkte einer Kurve - Höhere Ableitungen darstellen - Lokale Extrema - Globale Extrema - Lokale Extremwerte berechnen - Lokale Extrema bestimmen - Lokale Extrempunkte berechnen - Lokale Extremstellen finden - Extrempunkte berechnen und darstellen - Extremalstellen ermitteln - Lokales Minimum berechnen - Lokales Maximum berechnen - Kurvendiskussion von Funktionen mit Parametern - Kurvendiskussion mit einer ln-Funktion - Kurvendiskussion mit einer Wurzelfunktion - Kurvendiskussion mit einer e-Funktion - Kurvendiskussion mit einer Exponentialfunktion - Nullstellen einer ln-Funktion - Nullstellen einer e-Funktion - Berechnen der Wendestellen von Funktionen - Wendetangenten - Randextrema - Durchführung der Extremwertbestimmung - Erste Ableitung darstellen - Zweite Ableitung darstellen - Dritte Ableitung darstellen - Nullstellen von Funktionen - Nullstellen berechnen - Untersuchung von Funktionen mit Parametern - Ableitungen höherer Ordnung - Nullstellen bestimmen - Lokale Minima berechnen - Graph - Plotten - Grafisch - Charakteristische Kurvenpunkte - Charakteristische Punkte einer Funktion - Lokale Maxima berechnen - Wendepunkte von Funktionen - Extrema von Funktionen - Hoch- und Tiefpunkte von Funktionen - Darstellung einer Ableitungsfunktion

  

Kurvendiskussion und Funktionsuntersuchung interaktiv

 

Im Programmteil [Analysis] - [Kurvendiskussion] - Kurvendiskussion - Interaktiv wird die interaktive Durchführung von Analysen zur Bestimmung von Nullstellen, Extrema (Extrempunkten) und Wendepunkten sowie weiterer Eigenschaften mathematischer Funktionen in expliziter Form ermöglicht (Funktionsuntersuchung und Differentialrechnung).

 

MathProf - Funktion - Ableitung - Ableitungsfunktion - Kurvendiskussion - Ableiten - Nullstellen - Extrempunkte - Differentialrechnung

 

Das Programm führt eine numerische Analyse (Differentialrechnung) durch und untersucht hierbei derartige Funktionen auf folgende Punkte und Eigenschaften:

  • Nullstellen
  • Pole (Polstellen)
  • Extremstellen / Extrempunkte (Hochpunkte und Tiefpunkte)
  • Wendepunkte (Wendestellen)

Grafisch darstellen lassen sich:

  • Die zu untersuchende Funktion f(x,p)
  • 1. Ableitung f'(x,p) (Steigungsfunktion, Ableitungsfunktion) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • 2. Ableitung f''(x,p) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • 3. Ableitung f'''(x,p) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Polstellen (Pole) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Tangenten in Nullstellen, Extremstellen (Hochpunkten und Tiefpunkten) und Wendepunkten (Wendestellen) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Normalen in Nullstellen, Extremstellen (Hochpunkten und Tiefpunkten) und Wendepunkten (Wendestellen) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)
  • Krümmungskreise durch Nullstellen und Extremstellen  (Extrempunkten) der zu untersuchenden Funktion f(x,p)

Nullstellen sind Punkte, in welchen eine Funktion die horizontale Achse des Koordinatensystems schneidet bzw. berührt. Extrempunkte (Hochpunkte und Tiefpunkte) sind Punkte einer Kurve, bei welchen eine Funktion lokale Maxima bzw. Minima besitzt. In Wendepunkten (Wendestellen) liegt eine Änderung der Art der Kurvenkrümmung vor, d.h. eine Kurve geht von einer Links- in eine Rechtskurve, oder umgekehrt, über. Pole sind Definitionslücken besonderer Art. Nähert man sich einer Stelle dieser Art, so strebt der Funktionswert an dieser Stelle gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich.

 

Differenzieren - Darstellung der Kurven und derer Ableitungsfunktionen (Steigungsfunktionen)

 

MathProf - Wendepunkte - Extremstellen - Kurvendiskussion - Steigungsfunktion - Differentiation - Funktionsuntersuchung - Beispiel - Krümmungskreis - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Wendepunkt - Hochpunkt - Nullstellen - Tiefpunkt - Extremwerte - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Hochpunkte - Tiefpunkte - Differentialrechnung - Krümmungskreis - Krümmungsradius - Krümmung berechnen - Nullstellen berechnen  - 1. Ableitung - 2. Ableitung

 

MathProf - Nullstelle - Hochpunkt - Tiefpunkt - Ableitungsfunktion - Extrempunkte - Differenzieren - Ableiten - Beispiel - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Wendepunkte - Extrempunkte - Extremwerte - Extremstellen - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Hochpunkte - Tiefpunkte - Differentialrechnung - Nullstellen berechnen  - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Kurvendiskussion


Führen Sie eine interaktive Kurvendiskussion folgendermaßen durch:

  1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  3. Bestimmen Sie den zu analysierenden Bereich, indem Sie in die entsprechenden, rechteckig umrahmten Mausfangbereiche klicken und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  4. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Pole aus, ob ermittelte Nullstellen, Extrema, Wendepunkte bzw. Pole der Funktion angezeigt werden sollen.
     
  5. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung, 2. Ableitung, 3. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung, 2. Ableitung oder 3. Ableitung der Funktion ausgegeben werden soll.
     
  6. Möchten Sie sich ggf. die Tangenten oder Normalen, die durch Hoch-, Tief- und Wendepunkte der Funktion verlaufen, zeigen lassen, so aktivieren Sie hierfür das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten bzw. Normalen. Um sich Krümmungskreise darstellen zu lassen, die durch Nullstellen oder Extrema verlaufen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Krümmungskreise.
     
  7. Sollen die Bereichsgrenzen zur Untersuchung der Funktion mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  9. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Bereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.

    Um den Bereich simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung der Simulation zur Änderung des Untersuchungsbereichs wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Prinzipielles


Nicht in jedem Fall ist eine eindeutige Bestimmung aller evtl. vorhandener Punkte innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs einer Kurve möglich. Somit kann es vorkommen, dass insbesondere Nullstellen und Wendepunkte nicht ermittelt werden können. Dies kann u.a. bei der Analyse von Kurven auftreten, bei welchen sich viele eng beieinander liegende Stellen dieser Art befinden. Auch kann dies bei derartigen Analysen auftreten, bei welchen an einer Nullstelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.

Es werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

N Nullstelle
HP Hochpunkt (Maximum)
TP Tiefpunkt (Minimum)
W Wendepunkt (Wendestelle)
KM Mittelpunkt des Krümmungskreises

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Wurde zur Durchführung einer Kurvendiskussion eine Funktion definiert, die kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

MathProf - Kurvendiskussion - Ableitung - Steigungsfunktion - Pol - Tangente - Normale

Wurde zur Durchführung einer Kurvendiskussion (beim Differenzieren) eine Funktion definiert, die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.

 

MathProf - Hochpunkt - Ableitung - Steigung - Nullstelle - Krümmung - Ableiten - Maxima - Minima


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte beschriften: Beschriftung ermittelter Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Kreismittelpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte ermittelter Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Kreismittelpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kurvendiskussion

Mathematische Funktionen II

Tangente – Normale

Tangente – Sekante

 

Beispiel


Beispiel zur Funktionsuntersuchung:

Es gilt, die Funktion f(x) = cos(x/10)²+3·sin(x/3) innerhalb eines Bereichs -10 x 10 zu differenzieren und auf Nullstellen, Extremstellen (Maxima und Minima) und Wendepunkte untersuchen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Definieren Sie den Funktionsterm COS(X/10)^2+3*SIN(X/3) im Eingabefeld und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema und Wendepunkte auf dem Bedienformular ermittelt das Programm:

Die Funktion besitzt innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs:

Nullstellen: N1 (-9,041 / 0) N2 (-1,009 / 0) N3 (9,741 / 0)
Extrema (Extrempunkte): T (-4,964 / -2,216) H (4,478 / 3,803)  
Wendepunkte: W1 (-9,482 / 0,398) W2 (-0,18 / 0,82) W3 (9,371 / 0,404)


Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Krümmungskreise (sowie einer Aktivierung des Menüeintrags Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear) und der Durchführung einer Darstellungsbereichsvergößerung kann entnommen werden, dass die Kurve Krümmungskreise mit folgenden Eigenschaften besitzt:

Krümmungskreis durch Nullstelle N1: Mittelpunkt KM1 (25,09 / 38,15), Radius r = 51,19

Krümmungskreis durch Nullstelle N2: Mittelpunkt KM2 (-21,586 / 21,345), Radius r = 29,649

Krümmungskreis durch Nullstelle N3: Mittelpunkt KM3 (65,643 / 51,408), Radius r = 75,946

 

Krümmungskreis durch Tiefpunkt TP: Mittelpunkt KM4 (-4,964 / 0,897), Radius r = 3,113

Krümmungskreis durch Hochpunkt HP: Mittelpunkt KM5 (4,478 / 0,903), Radius r = 2,9

 

Um weitere Eigenschaftsdetails (z.B. Tangenten, Normalen) der Kurve in den ermittelten Punkten zu erfahren, markieren Sie den sich im Eingabefeld befindenden Funktionsterm, kopieren ihn in die Zwischenablage (mit Tastenkombination Strg-C), öffnen das Unterprogramm Kurvendiskussion positionieren den Mauscursor in das Eingabefeld, verwenden die Tastenkombination Strg-V um den Funktionsterm in das Eingabefeld zu übernehmen und bedienen die dort vorhandene Schaltfläche Berechnen.

 

Klicken Sie den entsprechenden Eintrag in einer obig positionierten Tabelle an, so werden weitere Informationen zu den Eigenschaften dieser Kurve in den entsprechenden Punkten in der unten angeordneten Tabelle ausgegeben.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Kurvendiskussion - Krümmung - Polstellen - Punkte - Polynom - Rechner - Zeichnen - Zweite Ableitung - Beispiel - Differentialrechnung - Krümmungskreis - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Wendepunkt - Hochpunkt - Extremstellen - Nullstellen - Tiefpunkt - Extrema - Extremwerte - Wendestellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Dritte Ableitung - Hochpunkte - Tiefpunkte - Differentialrechnung - Krümmungskreis - Krümmungsradius - Krümmung berechnen - Nullstellen berechnen  - 1. Ableitung - 2. Ableitung
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Kurzbeschreibungen einiger Module zum Themenbereich Analysis

 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Analysis aufgerufen werden.

 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Differentialrechnung
Wikipedia - Tangente
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Extremwert
Wikipedia - Krümmung

  

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


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