MathProf - Trilineare Koordinaten - Trilinear - Dreieck - Dreiecksgeometrie

Modul Trilineare Koordinaten

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Das Unterprogramm [Trigonometrie] - Trilineare Koordinaten ermöglicht die Darstellung von speziellen Dreieckspunkten, die durch trilineare Koordinaten beschrieben werden.

 

 
Mittels der Verwendung trilinearer Koordinaten ist es möglich, Punkte eines Dreiecks, ohne die Zuhilfenahme eines Koordinatensystems zu beschreiben. Die Position eines Punktes T wird durch die Abhängigkeit seiner Lage von den Seitenlängen und Innenwinkeln des Dreiecks beschrieben. Sie beschreibt dessen geringsten Abstand von den Seiten des Dreiecks.

Trilineare Koordinaten werden in folgender Schreibweise verwendet (a, b, g sind hierbei keine Winkelbezeichnungen!):

a : b : g

Es gilt:

a = ka₁
b = kb₁
g = kg₁

für k ¹ 0

a₁, b₁, g₁ bezeichnen die kleinsten Abstände des Punktes T zu den Dreiecksseiten. k ist ein Faktor. Für P = a : b : g sind ka₁,  kb₁,  kg₁ die trilinearen Koordinaten von P, wenn k = 2d / (aa ₁  + bb ₁  + cg ₁ ), wobei d den Flächeninhalt des Dreiecks DABC bezeichnet und a, b, c die Seitenlängen des Dreiecks sind.

Die Eckpunkte eines Dreiecks besitzen die trilinearen Koordinaten (1:0:0), (0:1:0) und (0:0:1). Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks wird angegeben mit cos(a) : cos(b) : cos(g) und die Koordinaten des Inkreismittelpunkts lauten (1:1:1).
 

 
Sie können ein beliebiges Dreieck ABC darstellen lassen, dessen Eckpunktkoordinaten Sie entweder durch die Festlegung von Koordinatenwerteingaben, oder die Durchführung von Mausoperationen definieren. Nach der Definition eines Punktes T in trilinearer Form stellt das Programm diesen dar.
 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um einen Dreieckspunkt T darstellen zu lassen, der durch trilineare Koordinaten beschrieben wird:
 

1. Bedienen Sie die Schaltfläche Trilin. Koord. und geben Sie die entsprechenden Koordinatenwertbezeichnungen für diesen Punkt in die Felder mit den Bezeichnungen a, b und g ein. Bestätigen Sie mit OK.
   
   Folgende Kürzel können zur Definition verwendet werden:
   
   Seitenlängen des Dreiecks: SA,SB,SC
   Innenwinkel des Dreiecks: WA,WB,WC
    
2. Möchten Sie die Punkte des Dreiecks exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Sollen die Positionen von Anfasspunkten des Dreiecks mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok.Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Um die trilinearen Koordinaten eines allgemeinen Dreiecks, dessen Eckpunkte an beliebigen Orten in einem kartesischen Koordiatensystem definiert sind, in kartesische Koordinaten umwandeln zu können, wird das entsprechende Dreieck so ausgerichtet, dass dessen Seite BC parallel zur Abszisse verläuft und sein Inkreismittelpunkt sich im Koordinatenursprung befindet. Dies wird in diesem Unterprogramm durchgeführt, da die Definition der Eckpunkte des entsprechenden Dreiecks an beliebigen Ortspunkten vorgenommen werden kann. Das transformierte Dreieck kann durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Transform. Dreieck eingeblendet werden. Dessen Punkte tragen die Bezeichnungen A', B', C' bzw. T'.
 
Wird das Kontrollkästchen Vertikalen aktiviert, so stellt das Programm die Vertikalen durch Punkt T dar, die den geringsten Abstand dieses Punktes zu den Seitenlinien des Dreiecks beschreiben.
 
Zudem besteht die Möglichkeit, sich die Inkreise, wie auch die Inkreismittelpunkte der dargestellten Dreiecke anzeigen zu lassen. Aktivieren Sie hierfür die Kontrollkästchen Inkreis bzw. Inkreis-MP.
 
Hinweis:
Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Inkreis-MP: Anzeige der Inkreismittelpunkte dargestellter Dreiecke ein-/ausschalten
• Füllen: Farbfüllung des Dreiecks ein-/ausschalten

 


Nach einem Klick auf die Schaltfläche Trilin. Koord. auf dem Hauptformular des Unterprogramms wird oben gezeigtes Bedienformular geöffnet. Mit Hilfe dessen können trilineare Koordinaten definiert werden.

Zugelassen sind die Kürzelbezeichnungen mathematischer Funktionen und Konstanten, wie unter Syntaxregeln beschrieben, Zahlenwerte, sowie die Bezeichnungen WA, WB, WC für Winkelhalbierende und die Kürzel SA, SB und SC für Seitenhalbierende des Dreiecks.

Nach korrekter Definition dieser werden sie durch eine Bedienung der Schaltfläche Ok übernommen. Liegen fehlerhafte Eingaben vor, so wird ein entsprechender Hinweis ausgegeben. Möchten Sie Eingaben verwerfen, so benutzen Sie die Schaltfläche Abbrechen.

Unter dem Menüpunkt Beispiele finden Sie Beispiele vordefinierter Punkte.
   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln
Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte
Allgemeines Dreieck – Interaktiv
   
Möchten Sie sich den Apollonius-Punkt eines beliebigen Dreiecks darstellen lassen, so bedienen Sie die Schaltfläche Trilin. Koord. und geben die folgenden trilinearen Koordinatenwertbezeichnungen in die entsprechenden Felder ein:
 
a:  SA*(SB+SC)^2/(SB+SC-SA)
b:  SB*(SC+SA)^2/(SC+SA-SB)
g:  SC*(SA+SB)^2/(SA+SB-SC)
 
Nach einer Bestätigung der Eingaben mit Ok wird der Apollonius-Punkt des Dreiecks dargestellt. Werden die Eckpunkte des Dreiecks mit A (4 / -4), B (-6 / -5) und C (-1 / 8) festgelegt, so befindet sich dieser Punkt im kartesischen Koordinatensystem bei T (-0,5 / -2,235).
 
Für die Eigenschaften des Dreiecks werden ausgegeben:
 
Innenwinkel des Dreiecks BAC: 73,091°
Innenwinkel des Dreiecks ABC: 63,252°
Innenwinkel des Dreiecks ACB: 43,657°
 
Länge der Seite a: 13,928
Länge der Seite b: 13
Länge der Seite c: 10,05
 
Fläche des Dreiecks ABC: 62,5 FE
 
Aktivieren Sie zusätzlich das Kontrollkästchen Inkreis, so gibt das Programm für die Eigenschaften dessen Folgendes aus:
 
Mittelpunkt: M1 (-0,874 / -1,09)
Radius: ri = 3,38
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Trilineare Koordinaten zu finden.
 

 

Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangens und Cotangens am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt - Nachweis des Satz des Pythagoras - Nachweis des Kathetensatzes - Gergonne-Punkt - Exeter-Punkt - Brocard-Punkte - Epstein-Punkte - Feuerbachkreis - Mittenpunkt des Dreiecks - Lemoine-Punkt - Nagel-Punkt - Napoleon- und Fermat-Punkt - Fuhrmann-Dreieck - Morley-Dreieck - Yff-Dreieck - Verwandtes Dreieck - Quadrate und Kreise im rechtwinkligen Dreieck
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kathetensatz

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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