MathProf - Kugel und Gerade im Raum (3D)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kugel und Gerade im Raum (3D)

 

Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Kugel - Gerade ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Geraden und Kugeln.

 

MathProf - Kugel - Gerade


Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Moduls sind:

  • Ermittlung der Schnittpunkte einer Geraden und einer Kugel
  • Ermittlung der Sehnenlänge (Bereich einer Geraden, der innerhalb einer Kugel liegt)
  • Durchführung der Spiegelung einer Kugel an einer Geraden

Definitionsformen von Kugeln

Um eine Kugel zu beschreiben, bestehen in diesem Unterprogramm folgende Möglichkeiten:

Definition der Kugel in vektorieller Form:

Kugel - Gerade - Gleichung - 1

Definition der Kugel durch vier auf ihr liegende Punkte:

A(x;y;z), B(x;y;z), C(x;y;z) und D(x;y;z)

Definitionsformen von Geraden

Eine Gerade kann vektoriell definiert werden durch:

Parameterdarstellung in Punkt-Richtungs-Form:

Kugel - Gerade - Gleichung - 2

Parameterdarstellung in Zwei-Punkte-Form:

Kugel - Gerade - Gleichung - 3

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

d: Abstand einer Geraden vom Koordinatenursprung
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Gerade
g: Gerade in 2-Punkte- oder Punkt-Richtungs-Form
α,β,γ: Neigungswinkel einer Geraden bzgl. entspr. Achsen
r,r1: Ortsvektor einer Geraden
a: Richtungsvektor einer Geraden
λ: Parameterwert für den Richtungsvektor einer Geraden
g: Gerade
P1,P2: Geradenpunkte
SP1,SP2: Schnittpunkte einer Kugel und einer Geraden
MP: Mittelpunkt einer Kugel
x,y,z: Koordinaten des Mittelpunkts einer Kugel
r: Radius einer Kugel
A,B,C,D: Auf einer Kugel liegende Punkte
s: Sehnenlänge (Bereich einer Geraden innerhalb der Kugel)

 

MathProf - Kugel - Gerade - Schnittpunkt

 

Eigenschaftsanalyse einer Geraden


MathProf - Kugel - Gerade - Abstand

Die Untersuchung einer Geraden auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

  1. Soll die Analyse mit einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form durchgeführt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in P-R-Form und geben die Koeffizientenwerte der Vektoren der Gerade in die dafür vorgesehenen Felder r1 und a ein.

    Soll diese mit einer Geraden durchgeführt werden, die durch zwei auf ihr liegende Punkte beschrieben wird, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in 2-P-Form und geben die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Gerade beschrieben wird, in die Felder mit den Bezeichnungen P1 und P2 ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  2. Wählen Sie den Menüpunkt Details Gerade.

Nachfolgend aufgeführte Details einer Geraden werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse errechnet und ausgegeben:

  • Abstand d der Geraden vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Gerade
  • Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Achsen
  • Streckenlänge der Geraden zwischen zwei Punkten P1 und P2
  • Definition der Geraden in 2-Punkte- sowie Punkt-Richtungs-Form

Kugel - Gerade
Berechnung und Darstellung

 

Um die Lage einer Geraden und einer Kugel zu untersuchen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Kugel in vekt. Form bzw. Kugel in 4-Punkte-Form aus, in welcher Form die Kugel beschrieben werden soll und geben Sie die erforderlichen Koeffizienten- bzw. Koordinatenwerte in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  2. Soll die Analyse mit einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form durchgeführt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in P-R-Form und geben Koeffizientenwerte der Vektoren der Gerade in die hierfür vorgesehenen Felder r1 und a ein. Soll diese mit einer Geraden durchgeführt werden, die durch zwei auf ihr liegende Punkte beschrieben wird, o aktivieren Sie den Kontrollschalter Gerade in 2-P-Form und geben die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Gerade beschrieben wird, in die Felder mit den Bezeichnungen P1 und P2 ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich die Lage der Gerade und der Kugel grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Soll bei Ausgabe der grafischen Darstellung die Spiegelung der Kugel an der Gerade durchgeführt werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Kugel an Gerade spiegeln. Das Programm ermittelt die Eigenschaften der gespiegelten Kugel und zeigt diese an.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:

    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Körpers erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet den Körper an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Zoom positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


In den Formularbereichen Darstellung - Optionen und Darstellung - Spiegelung können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten
  • Kugelpunkte: Darstellung der auf der Kugel liegenden Punkte ein-/ausschalten
    (nur verfügbar wenn Kugel in 4-Punkte-Form gewählt wird)
  • Geradenpunkte: Darstellung zweier auf der Gerade liegender Punkte ein-/ausschalten (bei Darstellung einer Geraden in 2-Punkte-Form sind dies die Punkte, welche durch Eingaben festgelegt wurden)
  • Vektoren: Darstellung des Orts- und des Richtungsvektors der Geraden ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien der Gerade ein-/ausschalten
  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
  • Spiegellinien darstellen: Bei Durchführung einer Spiegelung, die Darstellung der Spiegellinien ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

Kugel - Kugel (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Schnittpunkt einer Kugel in vektorieller Form und einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Es gilt, den Schnittpunkt einer Kugel, welche in vektorieller Form durch die Gleichung

Kugel - Gerade - Gleichung - 4

beschrieben wird, und einer Geraden, welche in Punkt-Richtungs-Form mit

Kugel - Gerade - Gleichung - 5

beschrieben wird, ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung der Kontrollschalter Kugel in vekt. Form und Gerade in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel in vektorieller Form und der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Kugel und Gerade schneiden sich in den Punkten SP1 (-1,757 / -2,311 / 0,068) und SP2 (5,911 / -4,228 / -5,683).

Die Sehnenlänge s (Bereich der Geraden, welcher innerhalb der Kugel liegt) beträgt 9,774.
 

Beispiel 2 - Schnittpunkt einer Kugel in 4-Punkte-Form und einer Geraden in 2-Punkte-Form:

Es ist der Schnittpunkt einer Kugel, welche durch die vier auf ihr liegenden Punkte A (3 / -1 / 4), B (-4 / 1 / -2), C (1 / 4 / 3) und D (-4 / 1 / -3) beschrieben wird und einer Geraden, welche durch die beiden Punkte P1 (2 / 0 / 2) und P2 (-3 / 1 / -5) verläuft, zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Kugel in 4-Punkte-Form, der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte zur Definition einer Kugel in 4-Punkte-Form, sowie einer Aktivierung des Kontrollschalters Gerade in 2-P-Form und der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte zur Definition einer Geraden in 2-Punkte-Form, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Kugel und Gerade schneiden sich in den Punkten SP1 (-3,325 / 1,065 / -5,455) und SP2 (3,49 / -0,298 / 4,086).

Die Sehnenlänge s (Bereich der Geraden, welcher innerhalb der Kugel liegt) beträgt 11,804.

Nach einer Wahl des Menüpunkts Details-Gerade erhalten Sie darüber hinaus folgende Informationen bzgl. der Eigenschaften, der durch die beiden Punkte P1 und P2 definierten Gerade:

Die Gleichung der Geraden g in vektorieller Schreibweise (Punkt-Richtungs-Form) lautet:

 

Kugel - Gerade - Gleichung - 6
 

Die Richtungswinkel der Gerade g sind:

α = 125,264°

β = 83,369°

γ = 143,929°

 

Der Abstand der Gerade g vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,566.
 

Die Spurpunkte der Gerade g sind:

Sx (0 / 0,4 / -0,8)

Sy (2 / 0 / 2)

Sz (0,571 / 0,286 / 0)
 

Die Länge der Strecke zwischen den Geradenpunkten P1 und P2 beträgt 8,66.

Bei Ausgabe der grafischen Darstellung lässt sich u.a. entnehmen, dass die durch die vier Punkte beschriebene Kugel in folgender Form vektoriell beschreiben werden kann, mit:

Kugel - Gerade - Gleichung - 7
 

Beispiel 3 - Spiegelung einer Kugel in vektorieller Form an einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Es ist die Spiegelung einer Kugel, welche in vektorieller Form beschrieben wird, mit

Kugel - Gerade - Gleichung - 8

an einer Geraden g, welche in Punkt-Richtungs-Form beschrieben wird, mit

Kugel - Gerade - Gleichung - 9

durchzuführen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung der Kontrollschalter Kugel in vekt. Form und Gerade in P-R-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition einer Kugel K1 und der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Geraden g, wird nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen Folgendes ausgegeben:

Für die Eigenschaften der Spiegelgeraden g (linksseitig angezeigt):

Die Gleichung der Gerade g in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

Kugel - Gerade - Gleichung - 10

Zwei Punkte, durch welche Gerade g verläuft, sind:

P1 (1 / -4 / 3)

P2 (-3 / -5 / 8)
 

Die Richtungswinkel der Geraden g sind:

α = 128,113°

β = 98,876°

γ = 39,51°
 

Die Koordinatenwerte der Spurpunkte der Geraden g lauten:

Sx (0 / -4,25 / 4,25)

Sy (17 / 0 / -17)

Sz (3,4 / -3,4 / 0)

 

Der Abstand der Geraden g vom Koordinatenursprung beträgt d = 4,543.
 

Für die Eigenschaften der Kugel K1 (linksseitig angezeigt) wird ausgegeben:

Mittelpunkt der Kugel M: (-4 / -2 / -1)

Radius der Kugel: r = 3

Kugel und Gerade schneiden sich nicht.

Der Mittelpunkt der gespiegelten Kugel gespiegelten Kugel K2 (rechtsseitig angezeigt) ist M' (6,381 / -5,905 / 6,524)
 

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