MathProf - Funktionen im Kugelkoordinatensystem - Plot3d - Surface plot - 3D

MathProf - Mathematik-Software - 3D-Plotter | Fläche in Kugelkoordinaten | Darstellung | Raum

Fachthema: Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten

MathProf - Flächen im Raum - Software für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels 2D- und 3D-Simulationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren. Neben der Durchführung numerischer Berechnungen zum entsprechenden Fachthema, ermöglicht dieses Programm auch die Ausgabe dreidimensonaler Echtzeitdarstellungen sowie die Erstellung mathematischer 3D-Bilder.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - 3D-Plotter | Fläche in Kugelkoordinaten | Darstellung | Raum

Online-Hilfe
für das Modul zur Darstellung von Gebilden mit einem 3D-Funktionsplotter, welche durch mathematische Funktionen mit mehreren Variablen in sphärischen Koordinaten (räumlichen 3D-Polarkoordinaten) definiert werden.

Ermöglicht wird in diesem Unterprogramm das Plotten des Graphen einer räumlichen Fläche, welche durch eine Funktion der Form r = f(
φ,ν) in krummlinigen Koordinaten beschrieben wird.


Ein frei bewegbares und drehbares, dreidimensionales Kugelkoordinatensystem lässt die Durchführung interaktiver Analysen hinsichtlich Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema zu.

Auch wird das Abtasten der Konturen dargestellter Gebilde zur Ausgabe derer Koordinatenwerte sowie die Ausführung von 3D-Rotationen und 3D-Animationen ermöglicht. Die Aus- und Einblendung einzelner Flächenelemente des entsprechenden Objekts kann ebenfalls vollzogen werden.

Das Berechnen der Funktionswerte eines definierten Gebildes dieser Art kann ebenfalls veranlasst werden. Nach deren Ermittlung durch den hierfür zur Verfügung stehenden Rechner erfolgt deren Ausgabe in einer Wertetabelle.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Kugelkoordinaten - Funktionen - Flächen - 3D-Plotter zur Darstellung von Gebilden in sphärischen Koordinaten - Graph zur Ausgabe der 3D-Flächen von Funktionen in Kugelkoordinaten - Plotter für mehrdimensionale Funktionen - Graph für Funktionen mit mehreren Variablen - Krummlinige Koordinaten - Krummlinig - Fläche in Kugelkoordinaten - Funktion in Kugelkoordinaten - Raumwinkel - Räumliche Polarkoordinaten - Koordinatentransformation - Volumenelement - Funktionen in 3D-Polarkoordinaten - Funktionen in sphärischen Koordinaten - Kugelflächenfunktion - Transformation - Bilder - Darstellung - Berechnung - Rechner - Darstellen - Plotter - Rotation - Formel - Winkel - Plot - Plot3d - 3D - Graphen - Grafisch - Funktionen mehrerer Veränderlicher in sphärischen Polarkoordinaten - Rotation von Flächen in Kugelkoordinaten - Sphärische Koordinaten - Kartesische Koordinaten - Sphärisches Koordinatensystem - Sphärische Koordinaten umrechnen - Flächen im Kugelkoordinatensystem - Graph Plotter für Funktionen in Kugelkoordinaten - Polarkoordinaten 3D - Flächen in sphärischen Koordinaten

  
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Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten im Raum

 

Unter dem Menüpunkt [3D-Mathematik] - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten können Gebilde dargestellt werden, welche durch Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten beschrieben werden (Plot von Gebilden in Kugelkoordinaten).

 

MathProf - Kugelkoordinaten - Fläche - 3D - Räumliche Polarkoordinaten - Funktion - Funktion mit 2 Variablen - Mehrdimensionale Funktionen


In den zur Verfügung gestellten Modulen wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Sie ermöglichen die Darstellung von Gebilden, welche definiert werden durch
 

  • Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten, beschrieben durch einen Term der Form r = f(φ,ν,p) bzw. r = f(u,v,p)

     

    Screenshots


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Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Definition

 

r = f(φ,ν)

 

Für Polarwinkel φ muss in diesem Unterprogramm das Zeichen U, für Polarwinkel ν das Zeichen V verwendet werden.

 

Beispiele:

 

r = φ+ν = U+V

r = sin(φ)-ν = SIN(U)-V

 

Zusammenhänge bzgl. Koordinaten - Koordinatentransformation - Koordinaten umrechnen - Formel

 

MathProf - kartesische Koordinaten


Koordinaten umrechnen (Formel):

Bezüglich der in diesem Modul umgesetzten Koordinatentransformation wird folgender Zusammenhang zwischen kartesischen und sphärischen Koordinaten (Raumwinkel) zugrundegelegt (Kugelkoordinaten - Transformation):

 

Fläche im Raum - Kugelkoordinaten - Gleichung  - 1

 

Darstellung

 

MathProf - Gebilde - Kugelkoordinaten - 3D - Raum - Räumliche Polarkoordinaten

 

Um sich derartige Gebilde darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
     
  2. Definieren Sie eine Funktion, unter Beachtung der geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(φ ,ν ,p) =.
     
  3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den zu durchlaufenden Bereich für die Winkel u und v fest (Winkel von u1 = und bis u2 = ; Winkel von v1 = und bis v2 =). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen (voreingestellt: 0 u p ; 0 v 2π).
     
  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest.
     
  5. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:

    Definieren Sie, durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ..., den Startwert, sowie den Endwert des vom Parameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Parameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.

    Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simul. oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
     
  6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Hinweis:

Werden Untersuchungen mit Funktionen durchgeführt, die nicht das Einzelzeichen P enthalten (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen eine Funktion definiert, welche dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

 

Funktionswerte

 

Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen von Ortskoordinaten eines derart beschriebenen Gebildes innerhalb eines gewählten Bereichs ermöglicht.

 

MathProf - Kugelkoordinaten - 3D - Funktion - Winkel - Räumliche Polarkoordinaten

 

Wird der Menüpunkt Werte - Funktionswerte gewählt und möchten Sie sich die Koordinatenwerte von Punkten, die dieses Gebilde beschreiben innerhalb frei wählbarer Wertebereiche für die Winkel u und v ausgeben lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(φ ,ν) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 = sowie Von v1 = und bis v2 = die Winkelwertebereiche fest, über welche Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
     
  3. Wählen Sie die Schrittweite mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Wertebereichsanalyse

 

MathProf - Kugelkoordinaten - Winkel - 3D - Flächenelement - Animation - Polarkoordinaten

 

Bei Durchführung einer Wertebereichsanalyse können die Werte der Winkel u und v innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegeben wurden. Einstellbar sind diese durch die Positionierung der Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V.

 

Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Wertebereichsanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

Koordinatenwertanalyse

 

MathProf - Kugelkoordinaten - Winkel - 3D - Fläche - Raum -  Polarkoordinaten - Plot

 

Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur des dargestellten Gebildes in Abhängigkeit von den Winkeln u und v und somit die Analyse entsprechender Koordinatenwerte. Diese Werte können innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms definiert wurden.

 

Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V im Formularbereich Winkel zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Kontur des Gebildes steuern können. Die x-, y- und z-Koordinatenwerte des entsprechenden Oberflächenpunktes werden ausgegeben.

 

Um eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

Darstellungsbereich

 

Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet das Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Option

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.

 

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Beispiel

 

Es gilt, sich die Darstellung einer Fläche ausgeben zu lassen, welche durch eine Funktion r = f(φ,ν) = cos(2·(ν-5))-sin(3·φ²) in Kugelkoordinaten beschrieben wird. Der Wertebereich für φ sei: 0 φ π, der Wertebereich für ν sei: 0 n π.

 

Vorgehensweise:

 

Geben Sie in das Feld r = f(φ,ν,p) = den Term COS(2*(V-5))-SIN(3*U^2) ein. 

 

Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 3,14159 in die Felder Winkel von u1 = und bis u2 = den Wertebereich für Winkel u fest und definieren Sie hierauf durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 3,14159 in die Felder Winkel von v1 = und bis v2 = den Wertebereich für Winkel v (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).

 

Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Kugelkoordinaten zu finden. 

  
Implementierte Module zum Themenbereich 3D-Mathematik


Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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