Rotationskörper Drehung um X-Achse - Parameterdarstellung (3D)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Rotation von Kurven in Parameterdarstellung um die X-Achse - Rotationskörper - 3D-Plot

 

Das Unterprogramm [3D-Mathematik] - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (Rotationskörper) ermöglicht die Darstellung und Untersuchung von Rotationskörpern, welche durch mathematische Funktionen in Parameterform beschrieben werden und bei Durchführung einer Rotation um die X-Achse entstehen.

 

MathProf - Rotation - Körper - 3D

 

Rotationskörper entstehen durch die Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene liegende Achse.

 

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Darstellung von Körpern, die durch die Rotation einer Kurve um die X-Achse entstehen und definiert werden durch
 

  • Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)

Es besteht die Möglichkeit, sich einen oder zwei Rotationskörper darstellen zu lassen.

 

MathProf - Rotation - Kurve

 

Hinweis

 

Rotationskörper dieser Art können durch Funktionsterme der folgenden Formen beschrieben werden:

 

x = f(k)

y = g(k)
 

Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche
Bezeichnung
Bezeichnung in MathProf
x = f(t)  y = g(t) x = f(k)  y = g(k)

 

Darstellung

 

MathProf - 3D - Rotation

 

Um sich entsprechende Rotationskörper darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Selektieren Sie das Registerblatt Darstellung.
     
  2. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
     
  3. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x1 = f1(k,p) = sowie y1 = g1(k,p) = und aktivieren Sie das hier zugehörige Kontrollkästchen oberhalb der entsprechenden Eingabefelder.

    Möchten Sie gleichzeitig einen zweiten Rotationskörper darstellen lassen, so aktivieren Sie hierfür ebenfalls das entsprechende Kontrollkästchen und definieren die Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x2 = f2(k,p) =
    und y2 = g2(k,p) =.

    B
    eachten Sie hierbei die geltenden
    Syntaxregeln.
     
  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Ohne Schnitt bzw. Mit Schnitt, ob der Rotationskörper bei Ausgabe der Darstellung beschnitten werden soll.
     
  5. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte im Formularbereich Voreinstellung für Integrationsbereich den Bereich fest, über den die Integration durchgeführt werden soll (Integration von k1 = und bis k2 =). Diese Voreinstellung kann bei Ausgabe der grafischen Darstellung geändert werden.
     
  6. Legen Sie den zu verwendenden Darstellungsbereich durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest. Auch diese Einstellung kann nach Aufruf der grafischen Darstellung angepasst werden.
     

  7. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:

    Definieren Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ... den Startwert, sowie den Endwert des vom Funktionsparameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Funktionsparameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.

    Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simulation oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
     

  8. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.

Hinweise:

Werden Untersuchungen mit Funktionstermen durchgeführt, von welchen keiner das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen wenigstens ein Funktionsterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

 

Bei gemeinsamer Darstellung zweier Rotationskörper kann durch die Aktivierung der Kontrollkästchen R1 bzw. R2 auf dem Bedienformular gewählt werden, welcher dieser eingeblendet wird.

 

Integrationsbereichsanalyse

 

MathProf - Rotation - Integral - Volumen

 

Bei Durchführung einer Integrationsbereichsanalyse erfolgt die Darstellung des Rotationskörpers, beginnend beim Parameterwert K, der im Eingabefeld Integration von k1 auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde, bis zum Parameterwert der durch die Position des Rollbalkens K unter Integrationsbereich auf dem Bedienformular eingestellt ist. Der wählbare Bereich entspricht dem unter Voreinstellung für Integrationsbereich auf dem Hauptformulars des Unterprogramms eingestellten Wertebereich.

 

Möchten Sie diesen, oder die Dimensionierung des räumlichen Darstellungsbereichs verändern, so bedienen Sie die Schaltfläche Bereich und legen den Wertebereich für den Funktionsparameter K durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von k1 = und bis k2 = fest. Durch die Festlegung eines Werts im Feld Abs. Darstellungsbereich definieren Sie die Abmaße des räumlichen Darstellungsbereichs. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok.

 

Um eine Integrationsbereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Integrationsbereichsanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

Koordinatenwertanalyse

 

MathProf - Integral - Berechnung

 

Das Programm erlaubt die Abtastung der Manteloberfläche eines Rotationskörpers und somit die Analyse von Koordinatenwerten auf dieser. Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen K und α im Formularbereich Parameter K - Peripheriewinkelposition zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Peripherie des Körpers in Abhängigkeit vom Funktionsparameter K steuern können.

 

Die Peripherie einzelner Kreise des Körpers wird innerhalb eines Wertebereichs von -180° bis 180° mit einer Schrittweite von 1° durchlaufen. Hierbei werden die Koordinatenwerte von Ortspunkten, sowie der Radius r des Rotationskörpers, den dieser bzgl. der gewählten Rotationsachse besitzt, beim entsprechenden Parameterwert K ausgegeben.

 

Um eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

Ortskoordinaten und Radien

 

Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen von Ortskoordinaten auf der Mantelfläche des Rotationskörpers, sowie die numerische Ermittlung der Radien des Rotationskörpers an bestimmten Abszissenpositionen ermöglicht.

 

Ortskoordinaten

 

MathProf - Rotation - Koordinaten - 3D

 

Wird der Menüpunkt Werte - Ortskoordinaten gewählt, so ermittelt das Programm die räumlichen Koordinatenwerte der Punkte, die auf der Peripherie des Kreises beim gewählten Funktionsparameterwert K liegen. Die Peripherie des Kreises wird hierbei mit einer Schrittweite von 1° durchlaufen.
 

Um die entsprechenden Koordinatenwerte von Ortspunkten bei einem bestimmten Parameterwert K ausgeben zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k) = sowie y = g(k) = und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe des entsprechenden Werts für den Funktionsparameter K die Stelle fest, bei welcher die Untersuchung durchgeführt werden soll.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Der Radius, den der Kreis an der entsprechenden Stelle, bzgl. der gewählten Rotationsachse besitzt, wird ebenfalls angezeigt. Die Ausgabe der Winkelpositionen erfolgt im Grad- wie im Bogenmaß.

 

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich bei der Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.

 

Hinweis:

Befinden sich in den beiden oberen Eingabefeldern des Hauptformulars dieses Unterprogramms bereits Funktionsdeklarationen, so werden diese bei Aufruf dieses Befehls in die Eingabefelder des erscheinenden Unterformulars übernommen.

 

Radien

 

MathProf - Rotation - Radius

 

Bei einer Wahl des Menüpunkts Werte - Radien ermittelt das Programm den Radius des Rotationskörpers, den dieser bzgl. der gewählten Rotationsachse und des festgelegten Wertebereichs für Funktionsparameter K besitzt.
 

Um sich die entsprechenden Werte über einen bestimmten Bereich ausgeben zu lassen, müssen Sie folgendermaßen vorgehen:

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k) = sowie y = g(k) = und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie den Anfangs- und Endwert des Bereichs fest, über welchen die Radien ermittelt werden sollen. Führen Sie dies anhand der Eingabe entsprechender Werte in die Felder im Formularbereich Wertebereich durch (voreingestellt: 0 k π).
     
  3. Wählen Sie die Schrittweite mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Hinweis:

Befinden sich in den beiden oberen Eingabefeldern des Hauptformulars des Unterprogramms bereits Funktionsdeklarationen, so werden diese bei Aufruf dieses Befehls in die Eingabefelder des erscheinenden Unterformulars übernommen.

 

Berechnung

 

MathProf - 3D - Integration - Körper

 

Bei der Ausführung von Berechnungen werden die Werte folgender Größen innerhalb des festgelegten Parameterintervallbereichs ermittelt und ausgegeben:
 

  • Volumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Mantelfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche (abs.)A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks
  • Statisches Moment Mxy des Drehkörpers
  • Bogenlänge s der Kurve

Möchten Sie die Durchführung o.a. Berechnungen veranlassen, so sollten Sie folgendermaßen verfahren:
 

  1. Wählen Sie das Registerblatt Berechnung.
     
  2. Deklarieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k) = sowie y = g(k) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Integration von k1 = und bis k2 = im Formularbereich Einstellungen für numerische Berechnung den Wertebereich für Funktionsparameter K fest (voreingestellt: 0 &le k &le π), über welchen die numerische Integration durchgeführt werden soll. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Definieren Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellenanzahl die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
     
  5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.

Hinweise:

Die numerische Ermittlung dieser Werte wird durch die Anzahl vorgegebener Stützstellen beeinflusst. Je mehr Stützstellen verwendet werden, desto genauer werden die Ergebnisse. Dennoch gilt es zu beachten, dass die Berechnungszeit durch eine Erhöhung der Stützstellenanzahl exponentiell steigt. Den Abbruch der Durchführung von Berechnungen können Sie durch eine Bedienung der Taste ESC veranlassen.

Prinzipiell sollten diese numerischen Integrationsverfahren nur bei stetigen Funktionen verwendet werden, bzw. bei unstetigen Funktionen nur innerhalb derer stetiger Wertebereiche, da es ansonsten zu Verfälschungen der Ergebnisse kommen kann. Die Genauigkeit bei der Errechnung der Bogenlänge und der Mantelfläche hängt von der Differenzierbarkeit der Funktion ab. Somit kann es hierbei zu erheblichen Abweichungen kommen.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich bei der Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.
 

Mathematische Zusammenhänge bei Funktionen in Parameterform

Die mathematischen Zusammenhänge zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Parameterform sind nachfolgend aufgezeigt:

 

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

Rotation - Volumen - Gleichung - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

Rotation - Volumen - Gleichung - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Rotation - Bogenlänge - Gleichung - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Rotation - Mantelfläche - Gleichung - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Rotation - Mantelfläche - Gleichung - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung - 5

 

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Kurve:

 

Schwerpunkt - Gleichung - 1    Schwerpunkt - Gleichung - 2

 

Darstellungsbereich

 

In Bezug auf die Wahl des Darstellungsbereichs ermöglicht das Programm die Darstellung von Rotationskörpern auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Ohne Schnitt

  • Mit Schnitt

  1. Ohne Schnitt:
     
    Voreingestellt ist die Darstellung von Rotationskörpern Ohne Schnitt. Den Darstellungsbereich, der zur Ausgabe der grafischen Darstellung verwendet werden soll, legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Abs. Bereich im Formularbereich Voreinstellung - Darstellungsbereich fest.
     

    Das Programm benutzt den Wert Abs. Bereich, um die räumliche Dimensionierung in allen Richtungen gleichermaßen festzulegen. Wird beispielsweise der Wert 4 eingegeben, so wird der räumliche Darstellungsbereich bemessen mit: -4 x 4, -4 y 4, -4 z 4. Besitzt eine Funktion in diesem Fall über den gewählten Integrationsbereich hinweg stetig Ordinatenwerte, deren Absolutbeträge größer sind als der Wert welcher für den Darstellungsbereich festgelegt wurde, so liegt die gesamte Kontur des Rotationskörpers außerhalb dieses Darstellungsbereichs und ist somit nicht sichtbar. Liegt nur ein Teil der Funktionswerte außerhalb des eingestellten Darstellungsbereichs, so stellt das Programm die Segmente des Rotationskörpers lediglich an Stellen dar bei welchen die Absolutbeträge der Funktionswerte kleiner sind als der eingestellte Darstellungsbereich.
     

    Um dies ggf. zu beheben, bzw. um Änderungen dieser Einstellungen bei Ausgabe der grafischen Darstellung vorzunehmen, steht auf dem Bedienformular der Schalter Bereich zur Verfügung. Nach dessen Bedienung legen Sie im hierauf erscheinenden Eingabeformular die Abmaße des gewünschten räumlichen Darstellungsbereichs durch die Eingabe des entsprechenden Werts in das Feld mit der Bezeichnung Abs. Darstellungsbereich fest. Führen Sie hierauf einen Klick auf die Schaltfläche Ok aus.

     

    Den Wertebereich für den Funktionsparameter K über welchen die Darstellung eines Rotationskörpers ausgegeben werden soll, definieren Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Darstellung - Integration von k1 = und bis k2 = im Formularbereich Darstellung - Voreinstellung für Integrationsbereich. Eine Änderung dieser Einstellungen ist bei Ausgabe der grafischen Darstellung ebenfalls möglich. Bedienen Sie auch hierzu die Schaltfläche Bereich und definieren Sie den Darstellungsbereich (Integrationsbereich) des Rotationskörpers durch Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von k1 = und bis k2 =. Klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Ok.


     

  2. Mit Schnitt:
     
    Wird der Kontrollschalter Mit Schnitt aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet den Rotationskörper an Stellen die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Hinweis:

Ist nach Aufruf einer Darstellung kein Rotationskörper zu sehen, so ist ggf. der Darstellungsbereich zu vergößern.

 

Sonstiges

 

Da es unter Umständen notwendig sein kann, bei gleichzeitiger Darstellung zweier Rotationskörper verschiedene Integrationsbereiche für diese zu verwenden, steht der Menüpunkt Optionen - Darstellung - Verschiedene Integrationsbereiche für beide Funktionen zur Verfügung. Nach einer Wahl dessen werden zwei weitere Eingabefelder eingeblendet, durch welche es ermöglicht wird, beiden Funktionen verschiedene Integrationsbereiche zuzuweisen.

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Optionen - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Optionen - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung.

 

Beide o.a. Einstellungen werden sitzungsübergreifend gespeichert.

 

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse

Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse

 

Beispiel


Es gilt, Untersuchungen mit dem durch die Funktionen in Parameterform x = f(k) = 3·sin(k) und y = g(k) = 2·cos(k) beschriebenen Ellipsoid über einen Integrationsbereich von k1 = 0 bis k2 = π durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Öffnen Sie das Unterprogramm Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse. Nach der Wahl des Registerblatts Berechnung, der Definition der Funktionsterme durch die Eingabe der Zeichenfolgen 3*SIN(K) und 2*COS(K) in die dafür vorgesehenen Felder x = f(k) = sowie y = g(k) =, der Eingabe der Zahlenwerte 0 und 3,14159 in die Felder Integration von k1 = und bis k2 = unter Einstellungen für numerische Berechnung führt die Ausführung der erforderlichen Berechnungen bei einer eingestellten Stützstellenzahl von ca. 100000 nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen zu den Ergebnissen:

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: V(x) = 50,265 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: V(y) = 75,398 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: A(x) = 89,001 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: A(y) = 67,672 FE

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = 14,165

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 6

Statisches Moment des Körpers bei Rotation um x-Achse: Myz = 0

 

Bogenlänge der Kurve s: 7,933 LE
 

Module zum Themenbereich 3D-Mathematik


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