MathProf - Obersummen und Untersummen (Integral berechnen)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Obersummen und Untersummen

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Integrationsverfahren] - Ober- und Untersummen ermöglicht es, sich das Prinzip der Integration, anhand der Bildung von Ober- und Untersummen verständlich machen zu können.

 

MathProf - Obersummen - Untersummen


Bestimmte Integrale werden errechnet, indem man das zu berechnende Flächenstück, zwischen den Grenzen x1 = a und x2 = b in eine festgelegte Anzahl von Streifen (bei der hier gezeigten klassischen Methode sind dies Rechtecke) zerlegt und eine Grenzwertbildung der Ober- und Untersummen der Streifenflächen durchführt. Bei einer zunehmenden Verfeinerung der Zerlegung nimmt die Untersumme zu, die Obersumme ab. Beim Grenzübergang der Anzahl der Schritte gegen unendlich, streben Ober- und Untersummen gegen einen gemeinsamen Grenzwert, wenn die Breite der Streifen gegen Null tendiert.

Dieser Grenzwert wird als das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) in den Grenzen von x1 = a bis x2 = b bezeichnet.

Das Modul ermöglicht die Untersuchung explizit definierter Funktionen bzgl. Ober- und Untersummen innerhalb eines frei wählbaren Intervallbereichs, in Abhängigkeit einer festlegbaren Anzahl von Stützstellen.

Es werden die Berechnungsergebnisse folgender Werte ausgegeben:

  • Obersumme
  • Untersumme
  • Mittelwert (von Ober- u. Untersumme)
  • Fehlerintervall (Differenz Ober- / Untersumme)
  • Fläche orientiert (Der exakte Wert des Integrals zwischen den Grenzen x1 und x2, mit welchem die Berechnungsergebnisse verglichen werden können)

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Obersumme - Integral


Die Ermittlung der Ober- und Untersummen einer stetigen Funktion f(x) innerhalb eines definierten Bereichs, können Sie wie nachfolgend beschrieben durchführen lassen:

  1. Definieren Sie die mathematische Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =, gemäß den geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie die Intervallgrenzen, über welche die Aufsummierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die hierfür zur Verfügung stehenden Eingabefelder (Bereich von x1 = und bis x2 =) fest.
     
  3. Geben Sie in das Feld Anzahl Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch die Aktivierung des Kontrollschalters Obersumme, Untersumme oder Ober- und Untersumme, welche Art der Summenbildung durchgeführt werden soll. 
     
  7. Um sich die Kurve vor den Balken liegend ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kurve vorne.

Beachten Sie:

Die numerische Ermittlung des 'exakten' Werts der Fläche wird durch die Anzahl vorgegebener Stützstellen beeinflusst (voreingestellt: 10000). Je mehr Stützstellen verwendet werden, desto genauer wird dieses Ergebnis. Einstellen können Sie die Anzahl zu verwendender Stützstellen durch eine Positionierung des Rollbalkens Anzahl Stützstellen für Vergleichswert.

 

Führen Sie Analysen dieser Art nur mit Funktionen durch, die einen stetigen Verlauf vorweisen, bzw. legen Sie den Intervallbereich in einen Abschnitt in welchem die Funktion stetig ist, da es ansonsten zu verfälschten Ergebnissen, wie ggf. auch zu Darstellungsfehlern kommen kann.

 

Hinweis:

Um Untersuchungen zu diesem Fachthema mit parameterhaltigen Funktionen durchzuführen, verwenden Sie das Unterprogramm Ober- und Untersummen - Interaktiv.

 

Bedienformular

 

MathProf - Untersumme - Funktion


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Bereichsmarkierungsgrenzen ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Bereichsmarkierungsgrenzen ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Ober- und Untersummen - Interaktiv

Mathematische Funktionen I

Integrationsmethoden

Integration

 

Beispiel


Es gilt, die Bildung der Ober- und Untersummen der Funktion f(x) = sin(x)² innerhalb eines Bereichs -0 x 2 unter der Verwendung verschiedener Anzahlen von Stützstellen (5, 10, 50, 100 und 500) durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Definieren Sie den Term SIN(X)^2 im Eingabefeld f(x) =. Geben Sie hierauf aufeinanderfolgend die Anzahl zu verwendender Stützstellen in das dafür vogesehene Feld ein und bedienen Sie danach jedesmal die Schaltfläche Berechnen.

Fünf aufeinanderfolgend ausgeführte Berechnungen ergeben nachfolgend gezeigte Resultate:

 Anzahl Stützstellen: 5 10 50 100 500
 Untersumme: 2,1243 1,8632 1,6292 1,5995 1,5758
 Obersumme: 0,9982 1,2722 1,7103 1,5401 1,5639
 Mittelwert: 1,5612 1,5677 1,5698 1,5698 1,5699
 Fehlerintervall D: 1,1261 0,5916 0,1188 0,059 0,0119


Aus den oben gezeigten Tabellenwerten ist zu entnehmen, dass sich sowohl die Ober- als auch die Untersumme bei einer Erhöhung der Stützstellenanzahl stets mehr dem nachfolgend aufgeführten exakten Wert für den Flächeninhalt des Bereichs unter der Kurve nähern und das auftretende Fehlerintervall gegen den Wert Null strebt.

Die Durchführung einer exakten Berechnung des Wertes für dieses Integral (Fläche orientiert) ergibt:


 

Module zum Themenbereich Analysis


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