MathProf - Obersumme und Untersumme - Integralrechnung - Bestimmtes Integral

MathProf - Mathematik-Software - Obersummen | Untersummen | Integral | Aufleitung

Fachthemen: Obersumme - Untersumme

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik für das Berufskolleg, die Oberstufe, das Abitur und das Studium zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Obersummen | Untersummen | Integral | Aufleitung

Online-Hilfe
für das Modul zum Zeichnen der Graphen der Obersumme und Untersumme von Streifenflächen (Aufleitung), welche zur Herleitung der Integralrechnung dienlich sind.

In diesem Teilprogramm erfolgt die Anwendung der Streifenmethode zur näherungsweisen Berechnung des Flächeninhalts, welcher von einer definierten Kurve und der Abszisse innerhalb eines bestimmten Intervalls begrenzt wird. Die entsprechenden Intervallgrenzen sind frei festlegbar.


Der Rechner führt hierzu Untersuchungen durch und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht das Berechnen der Werte aller relevanter Größen zu diesem Fachthema.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Obersummen - Untersummen - Obersumme berechnen - Untersumme berechnen - Obersumme bestimmen - Untersumme bestimmen - Summenbildung zur Herleitung der Integralrechnung - Integral - Bestimmtes Integral - Numerische Integration - Intervall - Riemann-Summe - Ober- und Untersumme - Rechtecksumme - Rechtecke - Rechner - Streifenmethode - Differenz - Bild - Grafik - Zeichnen - Berechnen - Bestimmen - Bestimmung - Zerlegung - Untersuchen - Untersuchung - Plotten - Bilder - Graph - Animation - Plotter - Plotten - Beispiel - Darstellung - Intervall - Berechnung - Darstellen - Grafische Darstellung

 
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Obersumme und Untersumme

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Integrationsverfahren] - Ober- und Untersummen ermöglicht es, sich das Prinzip der Integration, anhand der Bildung von Obersummen und Untersummen (u.a. unter Durchführung der numerischen Quadratur) verständlich machen zu können.

 

MathProf - Obersummen - Untersummen - Integralrechnung - Stützstellen - Mittelwert - Obersumme - Untersumme - Integral

 

Bestimmte Integrale werden errechnet, indem man das zu berechnende Flächenstück, zwischen den Grenzen x1 = a und x2 = b in eine festgelegte Anzahl von Streifen (bei der hier gezeigten klassischen Methode sind dies Rechtecke) zerlegt und eine Grenzwertbildung der Obersummen und Untersummen der Streifenflächen durchführt. Bei einer zunehmenden Verfeinerung der Zerlegung nimmt die Untersumme zu, die Obersumme ab. Beim Grenzübergang der Anzahl der Schritte gegen unendlich, streben Ober- und Untersummen gegen einen gemeinsamen Grenzwert, wenn die Breite der Streifen gegen Null tendiert.

Dieser Grenzwert wird als das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) in den Grenzen von x1 = a bis x2 = b bezeichnet.

Das Modul ermöglicht die Untersuchung explizit definierter Funktionen bzgl. Ober- und Untersummen innerhalb eines frei wählbaren Intervallbereichs, in Abhängigkeit einer festlegbaren Anzahl von Stützstellen.

Es werden die Berechnungsergebnisse folgender Werte ausgegeben:

  • Obersumme
  • Untersumme
  • Mittelwert (von Obersumme u. Untersumme)
  • Fehlerintervall (Differenz Obersumme / Untersumme)
  • Fläche (Flächeninhalt) orientiert (Der exakte Wert des Integrals zwischen den Grenzen x1 und x2, mit welchem die Berechnungsergebnisse verglichen werden können)

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Obersumme - Untersumme - Integral - Integralrechnung - Summenbildung - Streifenmethode


Die Ermittlung der Ober- und Untersummen einer stetigen Funktion f(x) innerhalb eines definierten Bereichs, können Sie wie nachfolgend beschrieben durchführen lassen:

  1. Definieren Sie die mathematische Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =, gemäß den geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie die Intervallgrenzen, über welche die Aufsummierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die hierfür zur Verfügung stehenden Eingabefelder (Bereich von x1 = und bis x2 =) fest.
     
  3. Geben Sie in das Feld Anzahl Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch die Aktivierung des Kontrollschalters Obersumme, Untersumme oder Ober- und Untersumme, welche Art der Summenbildung durchgeführt werden soll. 
     
  7. Um sich die Kurve vor den Balken liegend ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kurve vorne.

Beachten Sie:

Die numerische Ermittlung des 'exakten' Werts der Fläche wird durch die Anzahl vorgegebener Stützstellen beeinflusst (voreingestellt: 10000). Je mehr Stützstellen verwendet werden, desto genauer wird dieses Ergebnis. Einstellen können Sie die Anzahl zu verwendender Stützstellen durch eine Positionierung des Rollbalkens Anzahl Stützstellen für Vergleichswert.

 

Führen Sie Analysen dieser Art nur mit Funktionen durch, die einen stetigen Verlauf vorweisen, bzw. legen Sie den Intervallbereich in einen Abschnitt in welchem die Funktion stetig ist, da es ansonsten zu verfälschten Ergebnissen, wie ggf. auch zu Darstellungsfehlern kommen kann.

 

Hinweis:

Um Untersuchungen zu diesem Fachthema mit parameterhaltigen Funktionen durchzuführen, verwenden Sie das Unterprogramm Ober- und Untersummen - Interaktiv.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Untersumme - Obersumme - Funktion


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Bereichsmarkierungsgrenzen ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Bereichsmarkierungsgrenzen ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Ober- und Untersummen - Interaktiv

Mathematische Funktionen I

Integrationsmethoden

Integration

 

Beispiel


Es gilt, die Bildung der Ober- und Untersummen der Funktion f(x) = sin(x)² innerhalb eines Bereichs -0 x 2 unter der Verwendung verschiedener Anzahlen von Stützstellen (5, 10, 50, 100 und 500) durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Definieren Sie den Term SIN(X)^2 im Eingabefeld f(x) =. Geben Sie hierauf aufeinanderfolgend die Anzahl zu verwendender Stützstellen in das dafür vogesehene Feld ein und bedienen Sie danach jedesmal die Schaltfläche Berechnen.

Fünf aufeinanderfolgend ausgeführte Berechnungen ergeben nachfolgend gezeigte Resultate:

 Anzahl Stützstellen: 5 10 50
 Untersumme: 2,1243 1,8632 1,6292
 Obersumme: 0,9982 1,2722 1,7103
 Mittelwert: 1,5612 1,5677 1,5698
 Fehlerintervall D: 1,1261 0,5916 0,1188
 

Aus den oben gezeigten Tabellenwerten ist zu entnehmen, dass sich sowohl die Ober- als auch die Untersumme bei einer Erhöhung der Stützstellenanzahl stets mehr dem nachfolgend aufgeführten exakten Wert für den Flächeninhalt des Bereichs unter der Kurve nähern und das auftretende Fehlerintervall gegen den Wert Null strebt.

Die Durchführung einer exakten Berechnung des Wertes für dieses Integral (Fläche orientiert) ergibt:

Obersummen - Untersummen - Gleichung 1
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Obersumme - Untersumme - Integral - Integralrechnung - Berechnen - Bilden - Bestimmen - Mathematik - Graph - Beispiel - Streifenmethode - Obersummen - Untersummen
MathProf - Obersummen - Untersummen - Summenbildung - Rechner - Graph - Mathematik - Summenregel - Analysis - Beispiel - Obersumme - Untersumme - Streifenmethode
MathProf - Obersumme - Untersumme - Integral - Integralrechnung - Berechnen - Bilden - Bestimmen - Mathematik - Graph - Beispiel - Streifenmethode - Obersummen - Untersummen
MathProf - Obersumme - Untersumme - Summenbildung - Graph - Berechnen - Mathematik - Analysis - Beispiel - Streifenmethode - Obersummen - Untersummen
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Riemannsches Integral zu finden.
 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


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Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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