MathProf - Rekursive Folge - Zahlenreihen - Konvergenz von Folgen - Divergenz

MathProf - Mathematik-Software - Rekursive Zahlenfolgen | Glieder | Reihen | Funktion

Fachthema: Rekursive Folge

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium und die Wissenschaft.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Rekursive Zahlenfolgen | Glieder | Reihen | Funktion

Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Analyse und Darstellung
rekursiver Zahlenfolgen.

Neben der Ausgabe der grafischen Darstellung der Glieder von Reihen dieser Art untersucht das Programm in diesem Teil unter anderem, ob für eine definierte Folge eine Konvergenz oder eine Divergenz vorliegt. Zudem wird der ggf. vorhandene Grenzwert einer derartigen Zahlenfolge bestimmt.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. 

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Rekursive Zahlenfolge - Rekursive Zahlenreihe - Konvergenz - Divergenz - Konvergente Folge - Konvergente Zahlenfolge - Divergente Folge - Divergente Zahlenfolge - Argumente - Parameter - Graph - Plotten - Bild - Berechnen - Eigenschaften - Darstellung - Berechnung - Darstellen

 
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Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

 

Zur interaktiven Untersuchung von Zahlenfolgen steht das Unterprogramm [Analysis - Zahlenfolgen] - [Rekursive Zahlenfolgen] - Interaktiv zur Verfügung.

 

MathProf - Rekursive Zahlenfolge - Glieder - Rekursive Zahlenreihe - Darstellen - Limes - Grenzwert


Reelle Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich eine Gesamt- bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen. Von einer rekursiven Definition einer Zahlenfolge spricht man, wenn mindestens ein Glied einer Folge durch eine Verknüpfung mit einem zuvor berechneten Glied der Folge enthalten ist.

Zahlenfolgen heißen konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzen, andernfalls sind sie divergent.

Die Argumente von Zahlenfolgen werden in diesem Programm durch den Buchstabe K definiert, rekursive Argumente (Anfangsglieder) müssen die Bezeichnung A(K-1) tragen. Diese Bezeichnung steht hierbei für ein Glied der Form ak-1. Es besteht zudem die Möglichkeit eine, oder zwei Zahlenfolgen gemeinsam, zu untersuchen. Zudem ermöglicht das Modul die Durchführung einer Analyse von Zahlenfolgen mit zwei Anfangsgliedern A(K-1) und A(K-2).

 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Rekursive Zahlenfolge berechnen - Grenzwert - Rekursive Zahlenreihen - Graphisch - Limes - Konvergenz - Divergenz


Um sich eine rekursive Zahlenfolge grafisch darstellen zu lassen und interaktiv zu analysieren, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die zu analysierende Zahlenfolge a(k,k-1,p) im dafür vorgesehenen Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren Sie das Kontrollkästchen a(k,k-1,k-2,p). Möchten Sie eine zweite Zahlenfolge b(k,k-1,p) gleichzeitig untersuchen, so definieren Sie den hierfür relevanten Term im entsprechenden Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren das Kontrollkästchen b(k,k-1,k-2,p).
     
  2. Bestimmen Sie den Startwert, von welchem ausgehend eine Aufsummierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld mit den Bezeichnung 1. Glied. Vordefiniert ist hierbei für den Wert des 1. Gliedes die Zahl 1, für den Wert des letzen Gliedes ist stets die Zahl 500 festgelegt.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  4. Legen Sie bei Bedarf den Intervallbereich der ε-Umgebung mit Hilfe des Schiebereglers Eta-Umgeb. fest. Die Markierung der ε-Umgebung wird lediglich dann angezeigt, wenn die entsprechende Zahlenfolge über einen Grenzwert verfügt ! Der Schieberegler steht jedoch immer zur Verfügung.
     
  5. Verändern Sie den Startwert der rekursiven Zahlenfolge(n) durch eine Bedienung des Rollbalkens Startwert a(k-1).
     
  6. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.
     
  7. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so definieren Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, den zu durchlaufenden Funktionsparameterwertebereich und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters Parameter P und positionieren Sie den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  8. Möchten Sie eine Parameterwertsimulation durchführen lassen, so starten Sie die Autosimulation mit dem Schalter Simulation. Diese Schaltfläche trägt hierauf die Bezeichnung Sim. Stop. Angehalten werden kann die Simulation durch eine erneute Betätigung dieser, oder durch die Beendigung der grafischen Darstellung des Unterprogramms. Vor dem Start einer Parametersimulation wird ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie den Wert für die gewünschte Verzögerung einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK.

Hinweis:

Besitzt eine Zahlenfolge einen Grenzwert, so wird dieser durch horizontale Begrenzungslinien markiert. Die Breite der Markierung hängt vom festgelegten Wert der ε-Umgebung an.

 

Wichtig:

Bei der Darstellung parameterhaltiger, rekursiver Zahlenfolgen ist die Verwendung des Startglieds A(K-2) nicht möglich!

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Enthält keiner der im Hauptformular des Unterprogramms definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung folgendes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Rekusive Zahlenfolgen - Konvergenz  - Analysieren - Darstellen - Limes - Grenzwerte

 

Enthält wenigstens einer der im Hauptformular des Unterprogramms definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.

 

MathProf - Rekursive Zahlenfolgen - Mathematik - Rekursive Zahlenreihe - Graphik
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung / Beschr.: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Umgebung mark. / Umgebung: Markierung der ε-Umgebung ein-/ausschalten

Allgemein


Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlenfolgen

Zahlenfolgen - Interaktiv

Rekursive Zahlenfolgen

Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Ohne Parameter P:

 

Die rekursiv definierte Zahlenfolge

 

a(k,k-1,k-2) = 3·a(k-1)/5+1

 

ist zu untersuchen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Geben Sie in das Feld a(k,k-1,k-2,p) = den Term 3*A(K-1)/5+1 ein und aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen. Legen Sie im Feld 1. Glied den Zahlenwert 1 fest und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 

Das Programm gibt hierauf die grafische Darstellung der definierten Zahlenfolge aus und ermittelt beim voreingestellten Wert 0,2 für die ε-Umgebung zudem:

 

Das erste Glied in der definierten ε-Umgebung ist die Zahl 6.

Dieses besitzt den Wert 2,306.

Der Grenzwert dieser Zahlenfolge ist lim ak = 2,5.

 

Beispiel 2 - Mit Parameter P:

 

Es gilt, das Verhalten sowie die Eigenschaften der rekursiven Zahlenfolge

 

a(k,k-1,k-2,p) = (p·k-a(k-1))/(k/2-1)

 

in Abhängigkeit von Parameter P zu untersuchen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Legen Sie im Eingabefeld a(k,k-1,k-2,p) = den Term (P*K-A(K-1))/(K/2-1) fest. Aktivieren Sie das oben angeordnete Kontrollkästchen und geben Sie in das Feld 1. Glied die Zahl -10 ein. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen und stellen Sie mit den daraufhin zur Verfügung stehenden Rollbalken folgendes ein:

 

Parameter P: 1

Startwert A(K-1): 0

Eta-Umgeb.: 0,2

 

Das Programm gibt hierauf folgende Ergebnisse für die rekursiv definierte Zahlenfolge aus:

 

a(k,k-1,k-2,p) = ((1)*K-A(K-1))/(K/2-1)

 

Das erste Glied in der mit 0,2 definierten ε-Umgebung ist die Zahl -8.

Dieses besitzt den Wert 1,927.

Für den Grenzwert dieser Zahlenfolge gibt das Programm aus: lim ak = 2.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Folge zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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