MathProf - Strecke im Raum - Dreiecke im Raum - Pyramide - Quader
Fachthemen: Strecke im Raum - Dreieck im Raum - Quader im Raum - Pyramide im Raum
MathProf - Räumliche Geometrie - Mathematik zweidimensional und dreidimensional. Software zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Ausführung von interaktiven Untersuchungen mit Strecken im Raum, dem dreidimensionalen Dreieck im Raum, der quadratischen Pyramide im Raum sowie dem Quader und dem Würfel in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.
Dieses Unterprogramm ermöglicht neben derer räumlichen Darstellung die Durchführung von Berechnungen mit geometrischen Gebilden dieser Art sowie die Praktizierung dreidimensionaler Simulationen zu diesem Themengebiet der Stereometrie. Bei der Untersuchung einer Strecke im Raum erfolgt unter anderem die Ermittlung der euklidischen Distanz (euklidischer Abstand) zweier definierter Punkte.
Ferner lassen sich die Werte folgender Eigenschaften dieser Gebilde berechnen: Mittelpunkte von Strecken, Rauminhalt (Volumen) vom Quader, Rauminhalt (Volumen) der Pyramide und des 3D-Würfels, Flächeninhalt vom Dreieck im Raum, Oberfläche bzw. Mantelfäche einer quadratischen Pyramide, Oberfläche bzw. Mantelfäche vom Quader, Oberfläche bzw. Mantelfäche vom Würfel, Raumdiagonalen vom Würfel, Raumdiagonalen vom Quader sowie der Abstand zweier Punkte im Raum.
Nach einer Festlegung der Werte erforderlicher Größen führt der Rechner hierfür relevante Untersuchungen durch, ermittelt die Lösungen der gestellten Aufgabe, gibt die erforderten Ergebisse aus und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht das Berechnen der Werte vieler wichtiger Größen zu diesem Fachthema.
Ein frei bewegbares und drehbares 3D-Koordinatensystem erlaubt die Praktizierung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener Simulationen mit den entsprechenden Gebilden im 3D-Raum kann veranlasst werden. Neben der Ausgabe fachthemenrelevanter Darstellungen ermöglicht das Programm zudem das Einblenden zusätzlicher Koordinatenebenen.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte:3D-Würfel - 3D-Quader - 3D-Dreieck - 3D-Pyramide - Dreidimensional - Hexaeder - Körper im Raum - Raumgeometrie - 3D-Geometrie - Stereometrie - Geometrie im Raum - Räumliche Geometrie - Trigonometrie im Raum - Eigenschaften und Raumdiagonalen von Würfel und Quader - Euklidischer Abstand - Euklidische Distanz - Abstand Punkt-Punkt - Abstand zwischen zwei Punkten - Entfernung zwischen zwei Punkten - Entfernung zweier Punkte - Abstand zweier Punkte im Raum - Distanz zweier Punkte - Länge einer Strecke im Raum - Gerade Pyramide - Schiefe Pyramide - Geometrische Körper berechnen - Innenwinkel eines Dreiecks - Richtungswinkel einer Strecke im Raum - Kantenlängen von Pyramiden - Kantenlängen von Quadern - Kantenlängen von Würfeln - Kante eines Kegels - Kanten eines Quaders - Kanten eines Würfels - Kanten einer Pyramide - Tetraeder im Würfel - Oberfläche eines Würfels - Volumen eines Würfels - Oberfläche bzw. Mantelfläche einer Pyramide - Volumen einer quadratischen Pyramide - Pyramidenhöhe - Oberfläche bzw. Mantelfläche eines Quaders - Volumen eines Quaders - Flächeninhalt einer Pyramide - Flächeninhalt eines Quaders - Räumliche Darstellung - Quader zeichnen - Raumdiagonale berechnen - Flächeninhalt eines Würfels - Diagonalen im Würfel - Quader zeichnen - Grundfläche eines Quaders - Grundfläche eines Würfels - Grundfläche einer Pyramide - Deckfläche eines Quaders - Deckfläche eines Würfels - Grundkante einer Pyramide - Oberflächeninhalt des Quaders - Oberflächeninhalt der Pyramide - Rechteckige Pyramide - Seiten einer Pyramide - Dreidimensionales Dreieck - Schwerpunkt eines Dreiecks im Raum - 3D-Dreieck zeichnen - 3D-Würfel zeichnen - Raumdiagonale - Innenwinkel eines Dreiecks im Raum - Winkel eines Dreiecks im Raum - Oberflächenberechnung eines Würfels - Oberflächenberechnung eines Quaders - Oberflächenberechnung einer Pyramide - Körperberechnung von Würfel und Quader - Volumenberechnung von Pyramide, Quader und Würfel - Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum - Umfang eines Dreiecks im Raum - Seitenkanten eines Quaders - Dreidimensionale Würfel - Ebener Schnitt eines Würfels - Schrägbilder - Schrägbild eines Quaders - Schrägbild eines Würfels - Seitenkanten eines Würfels - Seitenkanten einer Pyramide - Seitenlängen einer Pyramide - Rotierender Quader - Graph - Plotten - Grafisch - Bild - Tabelle - Beispiel - Grafik - Zeichnen - Bilder - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Eigenschaften - Grafische Darstellung - Seitenlängen eines Würfels - Seitenlängen eines Quaders - Seitenlängen eines Dreiecks - Körper mit rechteckiger Grundfläche |
Strecke im Raum - Dreieck im Raum - Pyramide - Quader
Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum können einfache, planflächige Gebilde im Raum numerisch, wie auch grafisch analysiert werden. Ermittelt werden unter anderem die Oberflächeninhalte dieser.
Es stehen folgende Objekte aus dem Bereich der Stereometrie zur Verfügung, mit welchen Untersuchungen durchgeführt werden können:
- Strecke im Raum
- Dreieck im Raum
- Pyramide im Raum
- Würfel (Hexaeder) im Raum
- Quader im Raum
Screenshots
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Berechnung und Darstellung
Untersuchen und darstellen lassen können Sie sich Gebilde im Raum, wenn Sie wie nachfolgend geschildert vorgehen:
- Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Strecke, Dreieck, Pyramide ...) das Gebilde mit dem Berechnungen durchgeführt werden sollen.
- Geben Sie die erforderlichen Werte der Größen bzw. Punktkoordinaten in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
- Möchten Sie sich das durch die Eingabewerte definierte Gebilde grafisch ausgeben lassen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Sollen die Ergebnisse einer durchgeführten Berechnung bei der Darstellung ausgegeben werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Textausgabe auf dem Hauptformular des Unterprogramms. Wird das Kontrollkästchen Beschriftung aktiviert, so erfolgt die Beschriftung relevanter Raumpunkte des Gebildes bei dessen grafischer Ausgabe. Bei grafischer Ausgabe eines Dreiecks besteht darüber hinaus die Möglichkeit den Schwerpunkt dessen, durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Schwerpunkt, darstellen zu lassen.
Um die Kanten eines Gebildes als Rohre darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kanten als Rohre.
Hinweise zur Durchführung von Berechnungen
Nachfolgend aufgeführt finden Sie die zur Durchführung numerischer Berechnungen benötigten Eingabewerte, sowie die vom Programm numerisch ermittelten Ergebnisse.
Strecke
Erforderliche Eingaben:
- Ortskoordinaten der Punkte A und B, durch welche die Strecke bestimmt wird
Folgende Werte werden nach der Definition der Strecke ermittelt und ausgegeben:
- Länge der Strecke (Streckenlänge AB)
- Richtungswinkel α, β, γ der Strecke
- Streckenmittelpunkt
Dreieck
Erforderliche Eingaben:
- Ortskoordinaten der Punkte A, B und C, durch welche das Dreieck bestimmt wird
Folgende Werte werden nach der Definition des Dreiecks ermittelt und ausgegeben:
- Innenwinkel α, β, γ des Dreiecks
- Länge der Ortsvektoren zu den Punkten A, B und C
- Normalenvektor der Ebene durch die Punkte A, B und C
- Normalenvektoren zu den Ebenen, die durch zwei Dreieckspunkte und dem Koordinatenurprung (0/0/0) gebildet werden (0AB, 0AC, 0BC)
- Flächeninhalt des Dreiecks
- Schwerpunkt des Dreiecks
- Längen der Strecken AB, AC, und BC
- Richtungswinkel α, β, γ der Strecken AB, AC, und BC
- Mittelpunkte der Strecken AB, AC, und BC
- Umfang u des Dreiecks
- Inkreisradius ri und Umkreisradius ru des Dreiecks
Pyramide
Erforderliche Eingaben:
- Ortskoordinaten der Punkte A, B, C und D, durch welche die Pyramide bestimmt wird
Folgende Werte werden nach der Definition der Pyramide ermittelt und ausgegeben:
- Höhen auf den Flächen ABC, ABD, ACD und BCD
- Richtungswinkel α, β, γ der Strecken AB, AC, BC, AD, BD und CD
- Inhalt der Flächen ABC, ABD, ACD und BCD
- Längen der Strecken AB, AC, BC, AD, BD und CD
- Mittelpunkte der Strecken AB, AC, BC, AD, BD und CD
- Volumen der Pyramide
Würfel (Hexader)
Erforderliche Eingaben:
- Mittelpunkt des Würfels
- Seitenlängen des Würfels
Folgende Werte werden nach der Definition des Würfels ermittelt und ausgegeben:
- Volumen des Würfels
- Flächeninhalt des Würfels
- Diagonalenlänge des Würfels
Quader
Erforderliche Eingaben:
- Mittelpunkt des Quaders
- Seitenlängen a, b und c des Quaders
Folgende Werte werden nach der Definition des Quaders ermittelt und ausgegeben:
- Volumen des Quaders (Quadervolumen)
- Flächeninhalt des Quaders
- Diagonalenlänge des Quaders
Allgemein
Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
Weitere Themenbereiche
Eben- und krummflächig begrenzte Körper
Beispiele
Beispiel 1 - Berechnung einer Strecke:
Eine Strecke im Raum sei durch die Punkte A (-1 / -1 / -2) und B (0 / -1 / 3) eindeutig bestimmt.
Es gilt, sich weitere wesentliche Eigenschaften dieses Gebildes ausgeben zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach der Aktivierung des Kontrollschalters Strecke, der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, ermittelt das Programm:
Länge der Strecke AB (Abstand Punkt-Punkt): 5,099
Richtungswinkel α: 101,31°
Richtungswinkel β: 90°
Richtungswinkel γ: 168,69°
Streckenmittelpunkt: SM (-0,5 / -1 / 0,5)
Beispiel 2 - Berechnung eines Dreiecks:
Die Eckpunkte eines Dreieck im Raum seien gegeben mit A (-1 / 2 / 4), B (2 / -4 / 3) und C (3 / -1 / 1).
Es gilt, sich weitere wesentliche Eigenschaften dieses Gebildes ausgeben zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Dreieck, der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:
Innenwinkel des Dreiecks α = 33,4423°
Innenwinkel des Dreiecks β = 59,1847°
Innenwinkel des Dreiecks γ = 87,3729°
Länge des Ortsvektors nach A: 4,5826 LE
Länge des Ortsvektors nach B: 5,3852 LE
Länge des Ortsvektors nach C: 3,3166 LE
Normalenvektor n zu Fläche ABC: (15 | 5 | 15)
Normalenvektor n zu Fläche OAB: (22 | 11 | 0)
Normalenvektor n zu Fläche OAC: (6 | 13| -5)
Normalenvektor n zu Fläche OBC: (-1 | 7 | 10)
Flächeninhalt des Dreiecks: A = 10,897 FE
Schwerpunkt des Dreiecks: S (1,333 / -1 / 2,667)
Länge der Strecke (Dreiecksseite) AB: 6,782 LE
Länge der Strecke (Dreiecksseite) AC: 5,831 LE
Länge der Strecke (Dreiecksseite) BC: 3,741 LE
Richtungswinkel α der Strecke AB: 116,252°
Richtungswinkel β der Strecke AB: 27,791°
Richtungswinkel γ der Strecke AB: 181,521°
Richtungswinkel α der Strecke AC: 133,313°
Richtungswinkel β der Strecke AC: 59,036°
Richtungswinkel γ der Strecke AC: 59,036°
Richtungswinkel α der Strecke BC: 105,501°
Richtungswinkel β der Strecke BC: 143,3°
Richtungswinkel γ der Strecke BC: 57,688°
Mittelpunkt der Strecke AB: MP1 (0,5 / -1 / 3,5)
Mittelpunkt der Strecke AC: MP2 (1 / 0,5 / 2,5)
Mittelpunkt der Strecke BC: MP3 (2 / -2,5 / 2)
Umfang des Dreiecks U: 16,354
Radius des Inkreises des Dreiecks ri: 1,332
Radius des Umkreises des Dreiecks ru: 3,394
Beispiel 3 - Berechnung einer Pyramide:
Eine Pyramide im Raum sei durch die Punkte A (1 / 2 / 2), B (-4 / -3 / -5), C (2 / 1 / -1) und D (1 / -4 / 3) definiert. Es gilt, sich weitere wesentliche Eigenschaften dieses Gebildes ausgeben zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Pyramide, der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm folgende Berechnungsergebnisse aus:
Pyramidenhöhe auf Fläche ABC: 5,578 LE
Pyramidenhöhe auf Fläche ABD: 2,536 LE
Pyramidenhöhe auf Fläche ACD: 7,117 LE
Pyramidenhöhe auf Fläche BCD: 2,704 LE
Richtungswinkel α der Strecke AB: 59,833°
Richtungswinkel β der Strecke AB: 59,833°
Richtungswinkel γ der Strecke AB: 45,289°
Richtungswinkel α der Strecke AC: 107,548°
Richtungswinkel β der Strecke AC: 72,451°
Richtungswinkel γ der Strecke AC: 25,239°
Richtungswinkel α der Strecke BC: 136,686°
Richtungswinkel β der Strecke BC: 119,017°
Richtungswinkel γ der Strecke BC: 119,017°
Richtungswinkel α der Strecke AD: 90°
Richtungswinkel β der Strecke AD: 170,538°
Richtungswinkel γ der Strecke AD: 80,538°
Richtungswinkel α der Strecke BD: 58,194°
Richtungswinkel β der Strecke BD: 96,051°
Richtungswinkel γ der Strecke BD: 32,513°
Richtungswinkel α der Strecke CD: 98,876°
Richtungswinkel β der Strecke CD: 140,49°
Richtungswinkel γ der Strecke CD: 51,887°
Fläche ABC: 12,728 FE
Fläche ABD: 27,991 FE
Fläche ACD: 9,975FE
Fläche BCD: 26,249 FE
Länge der Strecke (Seitenlänge) AB: 9,95 LE
Länge der Strecke (Seitenlänge) AC: 3,317 LE
Länge der Strecke (Seitenlänge) BC: 8,246 LE
Länge der Strecke (Seitenlänge) AD: 6,083 LE
Länge der Strecke (Seitenlänge) BD: 9,487 LE
Länge der Strecke (Seitenlänge) CD: 6,481 LE
Mittelpunkt der Strecke AB: MP1 (-1,5 / -0,5 / -1,5)
Mittelpunkt der Strecke AC: MP2 (1,5 / 1,5 / 0,5)
Mittelpunkt der Strecke BC: MP3 (-1 / -1 / -3)
Mittelpunkt der Strecke AD: MP4 (1 / -1 / 2,5)
Mittelpunkt der Strecke BD: MP5 (-1,5 / -3,5 / -1)
Mittelpunkt der Strecke CD: MP6 (1,5 / -1,5 / 1)
Volumen der Pyramide V: 23,667 VE
Beispiel 4 - Berechnung eines Würfels (Hexaeders):
Nach der Definition eines Würfels im Raum, mit:
Seitenlängen des Würfels: a = 3
Mittelpunkt des Würfels: MP (2 / -1 / -1)
(Mittelpunkt = Diagonalenschnittpunkt)
erhalten Sie nach Aktivierung des Kontrollschalters Würfel und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Werte für den Würfel:
Volumen: V = 27 VE
Flächeninhalt: A = 54 FE
Diagonalenlänge (Raumdigonalen): d = 5,196 LE
Dessen Eckpunkte besitzen die Koordinatenwerte:
E1 (0,5 / -2,5 / -2,5)
E2 (3,5 / -2,5 / -2,5)
E3 (0,5 / 0,5 / -2,5)
E4 (0,5 / -2,5 / 0,5)
E5 (3,5 / 0,5 / -2,5)
E6 (0,5 / 0,5 / 0,5)
E7 (3,5 / -2,5 / 0,5)
E8 (3,5 / 0,5 / 0,5)
Beispiel 5 - Berechnung eines Quaders:
Nach der Definition eines Quaders im Raum, mit:
Seitenlängen des Quaders: a = 3; b = 4; c = 1;
Mittelpunkt des Quaders: MP (-1 / 1 / -2)
(Mittelpunkt = Diagonalenschnittpunkt)
erhalten Sie nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Quader und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Werte für den Quader:
Quadervolumen: V = 12 VE
Flächeninhalt: A = 38 FE
Diagonalenlänge: d = 5,099 LE
Dessen Eckpunkte besitzen die Koordinatenwerte:
E1 (-2,5 / -1 / -2,5)
E2 (0,5 / -1 / -2,5)
E3 (-2,5 / 3 / -2,5)
E4 (-2,5 / -1 / -1,5)
E5 (0,5 / 3 / -3,5)
E6 (-2,5 / 3 / -1,5)
E7 (0,5 / -1 / -1,5)
E8 (0,5 / 3 / -1,5)
Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Geometrie aufgerufen werden.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Pyramide
Wikipedia - Quader
Wikipedia - Würfel
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)