MathProf - Strecke im Raum - Dreiecke im Raum - Pyramide - Quader

 

Modul Dreieck - Pyramide - Quader im Raum

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum können einfache, planflächige Gebilde im Raum numerisch, wie auch grafisch analysiert werden. Ermittelt werden unter anderem die Oberflächeninhalte dieser.

 

Es stehen folgende Objekte aus dem Bereich der Stereometrie zur Verfügung, mit welchen Untersuchungen durchgeführt werden können:

• Strecke im Raum
• Dreieck im Raum
• Pyramide im Raum
• Würfel (Hexaeder) im Raum
• Quader im Raum

 

 
Quader:

Der Quader ist ein Gebilde, welcher aus drei Paaren kongruenter Rechtecke gebildet ist. Er besitzt 6 rechteckige Seitenflächen, welche rechtwinklig Winkel aufeinander stehen, 8 Ecken sowie 12 Kanten, von welchen jeweils vier die gleiche Länge besitzen und parallel zueinander liegen. Sein Volumen errechnet sich durch dei Multiplikation seiner Länge, Breite und Höhe.
 
Würfel:

Der Würfel ist ein Sonderfall des Quaders. Er besitzt acht rechtwinklige Körperecken, besteht aus 12 Kanten gleicher Länge und wird von sechs kongruenten Quadraten begrenzt.
 

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines Körpers benötigt werden.

Quader:

Umfang: u = 2·a + 2·b
Grundfläche: A_G = a·b
Mantelfläche: A_M = 2·a·c + 2·b·c
Oberfläche: A_O = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b
Volumen: V = a·b·c
Flächendiagonale: d_ab = √ a² + b²
Flächendiagonale: d_bc = √ b² + c²
Flächendiagonale: d_ac = √ a² + c²
Raumdiagonale: e = √ a² + b²+ c²
Gesamtlänge aller Seiten: l = 4·a+4·b+4·c 
 
Mit:
a,b,c: Seiten bzw. Länge, Breite und Höhe

Würfel:

Umfang: u = 4·a
Grundfläche: A_G = a²
Mantelfläche: A_M = 4·a²
Oberfläche: A_O = 6·a²
Volumen: V = a³
Flächendiagonale: d = a·√ 2
Raumdiagonale: d = a·√ 3
Gesamtlänge aller Seiten: l = 12·a

Mit:
a: Länge einer Seite bzw. Länge, Breite und Höhe
 
Gerade quadratische Pyramide:

Höhe: h_a = √ h² + (a/2)³
Diagonale: d = a·√ 2
Seitenkante: s = √ h² + (d/2)²
Umfang Grundfläche: u = 4·a
Grundfläche: G = a²
Mantelfläche: A_M = 2·a·h_a
Oberfläche: O = a² + 2·a·h_a
Volumen: V = 1/3·a²·h
Neigung der Seitenfläche: α = arctan( h_a/2)
Neigung der Seitenkante: β = arctan( 2·h/d)
Flächeninhalt einer Seitenfläche: A_s = 1/2·a·h_a

Mit:
a: Länge einer Grundseite
h: Höhe der Pyramide

Euklidischer Abstand - Euklidische Distanz:

Der Abstand zweier Punkte P1(x1;y1;z1) und P2(x2;y2;z2) im Raum beträgt: d_P1P2 = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²+ (z₂ - z₁)²

Fläche eines Dreiecks im Raum:

Die Fläche eines Dreiecks mit den Koordinaten P1(x1|y1|z1) , P1(x2|y2|z2) und P3(x3|y3|z3) beträgt:

A = √ A₁² + A₂²+ A₃²

mit:






 

 
Ein Würfelnetz ist das geometrische Netz eines Würfels. Es besteht aus sechs kongruenten, zusammenhängenden Quadraten, welche sich zu einem Würfel zusammenzufalten lassen.


Abbildung 1 - Würfelnetz

Ein Quadernetz besteht ebenso aus sechs kongruenten, zusammenhängenden Quadranten. Diese lassen sich zu einem Würfel zusammenfalten.


Abbildung 2 - Quadernetz

Das Pyramidennetz einer vierseitigen regelmäßigen Pyramide bildet sich aus vier gleichseitigen Dreiecken sowie einem Quadrat. Durch das Zusammenfalten der Dreiecke, in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen des Quadrats bildet sich eine derartige Pyramide.


Abbildung 3 - Pyramidennetz
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Dreieck
 

Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Pyramide


Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Quader


Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Würfel
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Untersuchen und darstellen lassen können Sie sich Gebilde im Raum, wenn Sie wie nachfolgend geschildert vorgehen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Strecke, Dreieck, Pyramide ...) das Gebilde mit dem Berechnungen durchgeführt werden sollen.
    
2. Geben Sie die erforderlichen Werte der Größen bzw. Punktkoordinaten in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
4. Möchten Sie sich das durch die Eingabewerte definierte Gebilde grafisch ausgeben lassen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Sollen die Ergebnisse einer durchgeführten Berechnung bei der Darstellung ausgegeben werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Textausgabe auf dem Hauptformular des Unterprogramms. Wird das Kontrollkästchen Beschriftung aktiviert, so erfolgt die Beschriftung relevanter Raumpunkte des Gebildes bei dessen grafischer Ausgabe. Bei grafischer Ausgabe eines Dreiecks besteht darüber hinaus die Möglichkeit den Schwerpunkt dessen, durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Schwerpunkt, darstellen zu lassen.

Um die Kanten eines Gebildes als Rohre darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kanten als Rohre.

Hinweise zur Durchführung von Berechnungen

Nachfolgend aufgeführt finden Sie die zur Durchführung numerischer Berechnungen benötigten Eingabewerte, sowie die vom Programm numerisch ermittelten Ergebnisse.
 

Strecke

Erforderliche Eingaben:

• Ortskoordinaten der Punkte A und B, durch welche die Strecke bestimmt wird

Folgende Werte werden nach der Definition der Strecke ermittelt und ausgegeben:

• Länge der Strecke (Streckenlänge AB)
• Richtungswinkel α, β, γ der Strecke
• Streckenmittelpunkt

Dreieck

Erforderliche Eingaben:

• Ortskoordinaten der Punkte A, B und C, durch welche das Dreieck bestimmt wird

Folgende Werte werden nach der Definition des Dreiecks ermittelt und ausgegeben:

• Innenwinkel α, β, γ des Dreiecks
• Länge der Ortsvektoren zu den Punkten A, B und C
• Normalenvektor der Ebene durch die Punkte A, B und C
• Normalenvektoren zu den Ebenen, die durch zwei Dreieckspunkte und dem Koordinatenurprung (0/0/0) gebildet werden (0AB, 0AC, 0BC)
• Flächeninhalt des Dreiecks
• Schwerpunkt des Dreiecks
• Längen der Strecken AB, AC, und BC
• Richtungswinkel α, β, γ der Strecken AB, AC, und BC
• Mittelpunkte der Strecken AB, AC, und BC
• Umfang u des Dreiecks
• Inkreisradius r_i und Umkreisradius r_u des Dreiecks

Pyramide

Erforderliche Eingaben:

• Ortskoordinaten der Punkte A, B, C und D, durch welche die Pyramide bestimmt wird

Folgende Werte werden nach der Definition der Pyramide ermittelt und ausgegeben:

• Höhen auf den Flächen ABC, ABD, ACD und BCD
• Richtungswinkel (Innenwinkel) α, β, γ der Strecken AB, AC, BC, AD, BD und CD
• Inhalt der Flächen ABC, ABD, ACD und BCD
• Längen der Strecken AB, AC, BC, AD, BD und CD
• Mittelpunkte der Strecken AB, AC, BC, AD, BD und CD
• Volumen der Pyramide

Würfel (Hexader)

Erforderliche Eingaben:

• Mittelpunkt des Würfels
• Seitenlängen des Würfels

Folgende Werte werden nach der Definition des Würfels ermittelt und ausgegeben:

• Volumen des Würfels
• Flächeninhalt des Würfels
• Diagonalenlänge des Würfels

Quader

Erforderliche Eingaben:

• Mittelpunkt des Quaders
• Seitenlängen a, b und c des Quaders

Folgende Werte werden nach der Definition des Quaders ermittelt und ausgegeben:

• Volumen des Quaders (Quadervolumen)
• Flächeninhalt des Quaders
• Diagonalenlänge des Quaders

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

 

Krummflächig begrenzte Körper

Eben- und krummflächig begrenzte Körper

 

Beispiel 1 - Berechnung einer Strecke:

Eine Strecke im Raum sei durch die Punkte A (-1 / -1 / -2) und B (0 / -1 / 3) eindeutig bestimmt.

Es gilt, sich weitere wesentliche Eigenschaften dieses Gebildes ausgeben zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Aktivierung des Kontrollschalters Strecke, der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, ermittelt das Programm:

Länge der Strecke AB (Abstand Punkt-Punkt): 5,099

 

Richtungswinkel α: 101,31°

Richtungswinkel β: 90°

Richtungswinkel γ: 168,69°

 

Streckenmittelpunkt: SM (-0,5 / -1 / 0,5)

Beispiel 2 - Berechnung eines Dreiecks:

Die Eckpunkte eines Dreieck im Raum seien gegeben mit A (-1 / 2 / 4), B (2 / -4 / 3) und C (3 / -1 / 1).

Es gilt, sich weitere wesentliche Eigenschaften dieses Gebildes ausgeben zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Dreieck, der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Innenwinkel des Dreiecks α = 33,4423°

Innenwinkel des Dreiecks β = 59,1847°

Innenwinkel des Dreiecks γ = 87,3729°

 

Länge des Ortsvektors nach A: 4,5826 LE

Länge des Ortsvektors nach B: 5,3852 LE

Länge des Ortsvektors nach C: 3,3166 LE

 

Normalenvektor n zu Fläche ABC: (15 | 5 | 15)

Normalenvektor n zu Fläche OAB: (22 | 11 | 0)

Normalenvektor n zu Fläche OAC: (6 | 13| -5)

Normalenvektor n zu Fläche OBC: (-1 | 7 | 10)

 

Flächeninhalt des Dreiecks: A = 10,897 FE

Schwerpunkt des Dreiecks: S (1,333 / -1 / 2,667)

 

Länge der Strecke (Dreiecksseite) AB: 6,782 LE

Länge der Strecke (Dreiecksseite) AC: 5,831 LE

Länge der Strecke (Dreiecksseite) BC: 3,741 LE

 

Richtungswinkel α der Strecke AB: 116,252°

Richtungswinkel β der Strecke AB: 27,791°

Richtungswinkel γ der Strecke AB: 181,521°

 

Richtungswinkel α der Strecke AC: 133,313°

Richtungswinkel β der Strecke AC: 59,036°

Richtungswinkel γ der Strecke AC: 59,036°

 

Richtungswinkel α der Strecke BC: 105,501°

Richtungswinkel β der Strecke BC: 143,3°

Richtungswinkel γ der Strecke BC: 57,688°

 

Mittelpunkt der Strecke AB: MP1 (0,5 / -1 / 3,5)

Mittelpunkt der Strecke AC: MP2 (1 / 0,5 / 2,5)

Mittelpunkt der Strecke BC: MP3 (2 / -2,5 / 2)

 

Umfang des Dreiecks U: 16,354

Radius des Inkreises des Dreiecks r_i: 1,332

Radius des Umkreises des Dreiecks r_u: 3,394
 

Beispiel 3 - Berechnung einer Pyramide:

Eine Pyramide im Raum sei durch die Punkte A (1 / 2 / 2), B (-4 / -3 / -5), C (2 / 1 / -1) und D (1 / -4 / 3) definiert. Es gilt, sich weitere wesentliche Eigenschaften dieses Gebildes ausgeben zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Pyramide, der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte in die hierfür vorgesehenen Felder und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm folgende Berechnungsergebnisse aus:

Pyramidenhöhe auf Fläche ABC: 5,578 LE

Pyramidenhöhe auf Fläche ABD: 2,536 LE

Pyramidenhöhe auf Fläche ACD: 7,117 LE

Pyramidenhöhe auf Fläche BCD: 2,704 LE

 

Richtungswinkel α der Strecke AB: 59,833°

Richtungswinkel β der Strecke AB: 59,833°

Richtungswinkel γ der Strecke AB: 45,289°

 

Richtungswinkel α der Strecke AC: 107,548°

Richtungswinkel β der Strecke AC: 72,451°

Richtungswinkel γ der Strecke AC: 25,239°

 

Richtungswinkel α der Strecke BC: 136,686°

Richtungswinkel β der Strecke BC: 119,017°

Richtungswinkel γ der Strecke BC: 119,017°

 

Richtungswinkel α der Strecke AD: 90°

Richtungswinkel β der Strecke AD: 170,538°

Richtungswinkel γ der Strecke AD: 80,538°

 

Richtungswinkel α der Strecke BD: 58,194°

Richtungswinkel β der Strecke BD: 96,051°

Richtungswinkel γ der Strecke BD: 32,513°

 

Richtungswinkel α der Strecke CD: 98,876°

Richtungswinkel β der Strecke CD: 140,49°

Richtungswinkel γ der Strecke CD: 51,887°

 

Fläche ABC: 12,728 FE

Fläche ABD: 27,991 FE

Fläche ACD: 9,975FE

Fläche BCD: 26,249 FE

 

Länge der Strecke (Seitenlänge) AB: 9,95 LE

Länge der Strecke (Seitenlänge) AC: 3,317 LE

Länge der Strecke (Seitenlänge) BC: 8,246 LE

Länge der Strecke (Seitenlänge) AD: 6,083 LE

Länge der Strecke (Seitenlänge) BD: 9,487 LE

Länge der Strecke (Seitenlänge) CD: 6,481 LE

 

Mittelpunkt der Strecke AB: MP1 (-1,5 / -0,5 / -1,5)

Mittelpunkt der Strecke AC: MP2 (1,5 / 1,5 / 0,5)

Mittelpunkt der Strecke BC: MP3 (-1 / -1 / -3)

Mittelpunkt der Strecke AD: MP4 (1 / -1 / 2,5)

Mittelpunkt der Strecke BD: MP5 (-1,5 / -3,5 / -1)

Mittelpunkt der Strecke CD: MP6 (1,5 / -1,5 / 1)

 

Volumen der Pyramide V: 23,667 VE
 

Beispiel 4 - Berechnung eines Würfels (Hexaeders):

Nach der Definition eines Würfels im Raum, mit:

Seitenlängen des Würfels: a = 3

Mittelpunkt des Würfels: MP (2 / -1 / -1)

(Mittelpunkt = Diagonalenschnittpunkt)
 

erhalten Sie nach Aktivierung des Kontrollschalters Würfel und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Werte für den Würfel:

Volumen: V = 27 VE

Flächeninhalt: A = 54 FE

Diagonalenlänge (Raumdigonalen): d = 5,196 LE
 

Dessen Eckpunkte besitzen die Koordinatenwerte:

E1 (0,5 / -2,5 / -2,5)

E2 (3,5 / -2,5 / -2,5)

E3 (0,5 / 0,5  / -2,5)

E4 (0,5 / -2,5 / 0,5)

E5 (3,5 / 0,5 / -2,5)

E6 (0,5 / 0,5 / 0,5)

E7 (3,5 / -2,5 / 0,5)

E8 (3,5 / 0,5 / 0,5)
 

Beispiel 5 - Berechnung eines Quaders:

Nach der Definition eines Quaders im Raum, mit:

Seitenlängen des Quaders: a = 3; b = 4; c = 1;

Mittelpunkt des Quaders: MP (-1 / 1 / -2)

(Mittelpunkt = Diagonalenschnittpunkt)
 

erhalten Sie nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Quader und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Werte für den Quader:

Quadervolumen: V = 12 VE

Flächeninhalt: A = 38 FE

Diagonalenlänge: d = 5,099 LE
 

Dessen Eckpunkte besitzen die Koordinatenwerte:

E1 (-2,5 / -1 / -2,5)

E2 (0,5 / -1 / -2,5)

E3 (-2,5 / 3 / -2,5)

E4 (-2,5 / -1 / -1,5)

E5 (0,5 / 3 / -3,5)

E6 (-2,5 / 3 / -1,5)

E7 (0,5 / -1 / -1,5)

E8 (0,5 / 3 / -1,5)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Dreieck


Grafische Darstellung - Beispiel 6 - Dreieck


Grafische Darstellung - Beispiel 7 - Pyramide


Grafische Darstellung - Beispiel 8 - Pyramide


Grafische Darstellung - Beispiel 9 - Würfel


Grafische Darstellung - Beispiel 10 - Würfel


Grafische Darstellung - Beispiel 11 - Quader


Grafische Darstellung - Beispiel 12 - Quader

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Pyramide
Wikipedia - Quader
Wikipedia - Würfel
 

 
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Dreieck, Pyramide und Quader im Raum
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Krummflächig begrenzte Körper

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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